漸開線齒輪齒根曲率半徑對齒根應(yīng)力的影響

1、文章編號 : 1006 22343 ( 2007) 032074205漸開線齒輪齒根曲率半徑對齒根應(yīng)力的影響賀靜 ,張志強(qiáng) ,唐勇 ,夏尊鳳(長沙大學(xué)機(jī)電工程系 ,長沙410003 , e2m a il: he jingg 163. com )摘 要 :基于任意轉(zhuǎn)角位置的漸開線齒輪齒廓數(shù)學(xué)模型 ,構(gòu)建了齒根任一點局部應(yīng)力的折截面法計算數(shù)學(xué)模型 ,提出了漸開線齒輪齒根過渡曲線曲率半徑的計算公式 ,并驗證了曲率半徑計算公式的準(zhǔn)確性 ,應(yīng)用齒 根應(yīng)力計算數(shù)學(xué)模型分析討論了不同參數(shù)條件下曲率半徑對齒根應(yīng)力的影響 。其分析結(jié)果將為漸開線齒輪設(shè) 計 、參數(shù)優(yōu)化選擇等提供參考數(shù)據(jù) ,同時為齒根應(yīng)力數(shù)值分析提

2、供了新的數(shù)學(xué)模型 。關(guān)鍵詞 : 漸開線齒輪 ;曲率半徑 ;齒根應(yīng)力中圖分類號 : th132文獻(xiàn)標(biāo)識碼 : athe effec t of too th roo t tran s it ion c urve for in vo lu te gea r s on roo t s tre sszhan g zh i2q iang,x ia zun2fengh e j ing,tan g yong,(d ep a rtm en t of m echan ica l & e lec trica l enginee ring, changsha u n ive rsity, changsha 41000

3、3 )a b stra c t: b a sed on the m a them a tica l mode l of of invo lu te gea r too th p rofile a t any ro ta ry angle, the stre ss ca lcu2 la tion m a them a tica l mode l of any po in t on the roo t by b roken2line sec tion m e thod we re con struc ted, the ca lcu la te ing fo r2 m u la we re p u

4、tted fo rwa rd fo r the cu rva tu re rad iu s of invo lu te gea r tran sition cu rve, and the accu racy of the fo rm u la fo r cu rva tu re rad iu s is va lida ted. u sing the stre ss ca lcu la tion m a them a tica l mode l, the influence of cu rva tu re rad iu s on roo t stre ss w ith d iffe ren t

5、p a ram e te r we re ana lyzed and d iscu ssed . the re su lt w ill offe r refe rence da ta fo r de sign of invo lu te gea r and op tim iza tion of p a ram e te r cho ice, and a lso new m a them a tica l mode l fo r num e rica l ana lysis on roo t stre ss.key word s: invo lu te gea r; cu rva tu re r

6、ad iu s; roo t stre ss漸開線齒輪齒根過渡曲線的曲率半徑是描述齒根過渡曲線的重要參數(shù) ,齒根過渡曲線的形狀對齒根彎曲應(yīng)力 、齒 輪的承載能力等都有直接影響 。因此 ,對漸開線齒輪的齒根過渡曲線的曲率半徑進(jìn)行研究具有重要意義 。但是 ,目前對 齒根過渡曲線形狀的精確描述有待進(jìn)一步商榷 ,而齒根過渡曲線數(shù)學(xué)模型的精度將直接影響其曲率半徑計算結(jié)果的準(zhǔn)確度 。任意轉(zhuǎn)角位置的漸開線齒輪齒廓參數(shù)方程 1 能準(zhǔn)確 、真 實的描述漸開線齒輪齒根過渡曲線上的任一點 ,因此可基于 該數(shù)學(xué)模型實現(xiàn)對漸開線齒輪齒根過渡曲線曲率半徑 (簡稱曲率半徑 )的研究 ,并揭示齒輪參數(shù)變化時曲率半徑對齒根應(yīng)力

7、的影響規(guī)律 。1 漸開線齒輪的齒廓數(shù)學(xué)模型1. 1 漸開線齒輪的齒廓數(shù)學(xué)模型漸開線齒輪的齒廓由齒頂圓弧 、漸開線齒廓曲線 、齒根 過渡圓弧 、齒根圓弧四段曲線 構(gòu)成 13 。而齒頂圓弧 、齒根圓弧可在各軟件環(huán)境中生成 ,故不需考慮 。令參考文獻(xiàn) 1 中的式 ( 14 ) 、( 15)的 = 0, 并改寫式 ( 15 ) , 使其與式 ( 14 ) 形 式相近 , 整理可得 :漸開線齒廓曲線的數(shù)學(xué)模型 :x = rco s+ ( r - sh ) sin (+t ) co sty = rsini ( r - s h ) co s (+t ) co st( 1 )式中 , s h為刀具節(jié) 線 長

8、度 的 一 半 ; 為 漸 開 線 擺 角 , cj 1 + tan a rcco s r / r ) ; 為齒輪分度圓端面壓s h / r - tan( bat力角 。其中 ,cj為漸開線齒廓曲線與齒根過渡曲線交點處的漸開線擺角 。 齒根過渡齒廓曲線數(shù)學(xué)模型 :x = rco s+ ( r - s sin + / co s( 1 )1hf )( 2 )y = rsini ( r - s co s + / co shf )( 1 )1式中 ,為漸開線擺角 ,線的距離 ,cg s f / r; s hf為包絡(luò)點距刀具中垂s = s + ( 1 - 221 ) - 0. 5co s1f co sh

9、fff1 為包絡(luò)點的端面壓力角 ,1 = a rc tan- hfr - sf其中 ,cg為齒根過渡曲線與漸開線齒廓曲線交點處的漸開線擺角 ;f 為齒根過渡曲線的離心率 ,co s22 2t - co sco sf =co s4t式 ( 1) 、( 2)中及其他參數(shù)的意義及計算詳見文獻(xiàn) 14 。1. 2 模型精度分析基金項目 : 湖南省教育廳資助科研項目 ( 06c168 )收稿日期 : 2007 - 01 - 29第 3期賀 靜等 :漸開線齒輪齒根曲率半徑對齒根應(yīng)力的影響75文獻(xiàn) 1 對齒廓模型的精度已進(jìn)行了數(shù)值校驗 , 為了進(jìn)一步校驗其準(zhǔn)確性 , 在 md t環(huán)境中將數(shù)學(xué)模型 ( 1 )

10、、( 2 ) 生 成的齒廓曲線與按范成法加工形成的包絡(luò)線進(jìn)行比較 (見圖1 ) , 并測量兩者之間的距離 ,結(jié)果為零 ,測量誤差小于 10 - 4mm (md t默認(rèn)精度 ) 。這表明所采用的數(shù)學(xué)模型有足夠的 工程精度 。增大 。3m = 3mm = 20 z = 16 = 0. 38f圖 3 過渡曲線的曲率中心圖 1 包絡(luò)線與方程曲線2 漸開線齒輪齒根過渡曲線曲率半徑2. 1 曲率半徑計算表達(dá)式文獻(xiàn) 5 闡述了基于延伸漸開線的等距曲線和歐拉 - 沙 伐爾定理的漸開線齒輪過渡曲線曲率 半徑的計算方法 , 按 等距線描述的齒根數(shù)學(xué)模型在螺旋角不為零時存在著誤差 ,其曲率半徑計算也存在偏差 。而任

11、意轉(zhuǎn)角位置的漸開線齒輪齒廓數(shù)學(xué)模型能精確的描述齒根過渡曲線 ,因此 , 可運用 歐拉 - 沙伐爾定理 ,推導(dǎo)出基于此數(shù)學(xué)模型 1 的漸開線齒輪齒根過渡曲線曲率半徑計算表達(dá)式 。 按范成法用齒條型刀具加工齒輪時 ,相當(dāng)于齒輪齒條嚙合 。由圖 2可知 ,刀具節(jié)線與齒輪節(jié)圓為兩瞬心線 ,刀具齒頂圓弧與齒輪過渡曲線為一對共軛齒廓 , c 點為刀具齒頂圓 弧中心 , e點為瞬心線接觸點 , 直線 te 為齒廓公法線 , m - m為刀具節(jié)線的中垂線 , n - n 過 e 點且垂直于直線 te。根據(jù)歐拉 - 沙伐爾定理 , d 點為過渡曲線的曲率中心 , 齒根過渡 曲線的曲率半徑計算表達(dá)式為 :3m =

12、 3 = 0. 38 = 20 z = 30圖 4 曲率半徑比較f對 m = 3mm , = 20, z = 30,3 = 0. 38,值分別為 8 、f16的齒輪進(jìn)行曲率半徑的計算和實測 , 圖 4為式 ( 3 ) 計算結(jié)果 、等距線的曲率半徑計算結(jié)果 、仿真曲率半徑 (范成法加工 形成的包絡(luò)線 ) 測 量 值 的 分 析 對 比 圖 ?？?以 看 出 , 按 公 式( 3 )計算的曲率半徑和仿真曲率半徑的測量值非常接近 。3 齒根應(yīng)力計算數(shù)學(xué)模型3. 1 齒根應(yīng)力計算數(shù)學(xué)模型在齒根應(yīng)力及齒輪參數(shù)的影響分析 , 國內(nèi)外的研究者已 經(jīng)做了大量的工作 , 并采用不同的研究方法獲得了許多有益 的成

13、果 58 。其中應(yīng)用較廣的是折截 面法和平截面法 。任 意轉(zhuǎn)角位置的漸開線齒輪齒廓數(shù)學(xué)模型能精確描述齒廓曲 線 , 折截面法齒根應(yīng)力計算公式的精度相對較高 5 , 因此二 者結(jié)合可構(gòu)建新的應(yīng)力計算數(shù)學(xué)模型 , 所構(gòu)建的基于任意轉(zhuǎn) 角位置的漸開線齒輪齒廓數(shù)學(xué)模型的齒根任一點局部應(yīng)力 的折截面法計算數(shù)學(xué)模型為 2 ( hf co s1 + ( s h f - s f ) sin1 ) rhf sin1 =-( 3)sin21rsin2 + h1 f式中各個變量的意義詳見參考文獻(xiàn) 1 。 ht co s2h - sin co s = f( 4 )s22s式中 , f為作用在齒面上任一點的力 (n )

14、 ;s 為過渡曲線上待求點的齒厚的一半 (mm ) ,s = xg sin ( / z) - yg co s ( / z) ;圖 2 齒根過渡曲線曲率半徑分析圖( 5 )2. 2 曲率半徑的分析比較在 md t中編程繪制 m = 3mm , z = 16, 3 = 0. 38 時不同為過渡曲線上待求點處的 切線與輪齒對稱線之間 夾角 ( rad) ,f螺旋角的齒輪齒廓曲線及過渡曲線曲率中心軌跡圖 , 結(jié)果見圖 3。可知 :隨著 x值的增大 , 過渡曲線的曲率半徑 值隨之 = - g - 1 - ;( 6 )z 1994-2013 china academic journal electroni

15、c publishing house. all rights reserved. 76機(jī)械設(shè)計與研究第 23卷ht 為 f力作用線與輪齒對稱線的交點到過渡曲線上待求點處的法線與輪齒對稱線的交點之間的距離 (mm ) , rb yght = co s- s co s - a rc tg- tg ;( 7)zxg為 f 力作用線與輪齒對稱線的垂線之間夾角 ( rad) ,=j +t - z ;h 的意義見文獻(xiàn) 5 ,( 8)- co sh =2ss3 + 2 co s+ co sco s+- lns22co s + ss32圖 5 不同 f 時曲率半徑與齒厚關(guān)系圖( 9) 其中 ,j 為式 ( 1

16、)中的 ;g 、1 為式 ( 2 ) 中的 、; xg 、yg 為由 式 ( 2 )所求出的過渡曲線上待求點的坐標(biāo)值 ; 由式 ( 3 ) 求得 。 其它變量的意義詳見參考文獻(xiàn) 15 。3. 2 數(shù)學(xué)模型中主要參數(shù)的分析從齒根應(yīng)力計算數(shù)學(xué)模型中可知 :在相同載荷和作用位 置下 , 齒根過渡曲線上每點的局部應(yīng)力值與 s、ht、有關(guān) 。 其中 s、ht值的精度可由漸開線齒輪齒廓數(shù)學(xué)模型的精度 得以保證 ,值的精度可由式 ( 3 )保證 。漸開線齒輪的刀廓構(gòu)成參 數(shù) m 、h3 、c3 、x、3 的不同af圖 6 不同 3 時曲率半徑與齒根應(yīng)力關(guān)系圖f取值將直接影響齒輪的齒廓形狀 , s、ht、等參

17、數(shù)的值也隨之變化 。表 1是模數(shù)分別取 3mm、5mm 時 , 根據(jù)式 ( 4 ) 計算 的齒根最大應(yīng)力值及各參數(shù)的值 。由表可見 ,隨著 m 值的增 加 , 雖然 、s /不變 , ht值增加 , 但 s 值 、值同時增加 , 齒根 應(yīng)力降低 。由此可見增加 值可以減小應(yīng)力集中 , 提高齒根曲率半徑時 , s變化 相對平緩 , 齒 根應(yīng)力值主要受曲率半 徑值影響 。分析數(shù)據(jù)表明 , 隨著 3f 增大 , 齒根最大應(yīng)力點的曲率半徑值和 s 增大 , 從而減小齒根最大應(yīng)力 。且該點位置與 s 沿曲率半徑由變化幅度較大轉(zhuǎn)為變化平緩的位置處相對應(yīng) , 說 明齒根形狀發(fā)生突變是齒根最大應(yīng)力產(chǎn)生的重要原

18、因 。綜上可知 , 增大齒根過渡曲線曲率半徑可以減小齒根應(yīng) 力 , 因此可以通過增大刀尖圓弧半徑的值達(dá)到提高齒根彎曲強(qiáng)度的目的 。2彎曲強(qiáng)度 ; s 值增加 , ht / s 的值減小 , 齒根應(yīng)力減小 ; 由此可見 , 齒厚變化較大時 , 曲率半徑和齒厚是齒根應(yīng)力的主要影 響因 素 ; 齒 厚 變 化 較 小 時 , ht是 齒 根 應(yīng) 力 變 化 的 主 要 影 響 因素 。表 1 不同模數(shù) m 時 , 式 ( 4)的各計算值表 14. 1. 2 不同 h3 、c3 時曲率半徑對齒根應(yīng)力值的影響a由圖 7 和圖 8 可知 , 減小 h33a 、c 的值 , 相同曲率半徑處齒根齒厚減小 ,

19、造成小曲率半徑處的齒根應(yīng)力值增加 。但在曲率半徑較大處 , 隨著 h33a 、c 的減小 , 齒根應(yīng)力值減小 。這注 : z = 30, = 20 , h3 = 1, c3= 0. 25,3 = 0. 38是因為曲率半徑增大 , 1 /減小 , 削弱了齒厚對齒根應(yīng)力的影af334 曲率半徑對齒根應(yīng)力的影響4. 1 曲率半徑對齒根應(yīng)力值的影響響 ; 而減小 ha 、c 使得齒高減小 , 從而力臂 ht減小 , 因此 , 此4. 1. 1 不同 3 時曲率半徑對齒根應(yīng)力值的影響f改變刀尖圓弧半徑的值齒根過渡曲線形狀將發(fā)生變化 。為分析此時曲率半徑對齒厚和齒根應(yīng)力的影響 , 應(yīng)用式 ( 4 )對 m

20、 = 3mm , z = 30, = 20 , 不同 3 的直齒輪進(jìn)行齒根應(yīng)力f計算 , 得到齒根過渡曲線齒厚和應(yīng)力隨曲率半徑變化趨勢見圖 5和圖 6。參考圖 5和 6 可知 , 增大刀尖圓弧半徑系數(shù)可以整體降低齒根應(yīng)力值 , 這是因為增大 3 會加大 s , 從而有效降低齒f根應(yīng)力 。在相同 3 時 , 曲率半徑較小處的齒根 應(yīng)力呈現(xiàn)較f3m = 3mm , z = 30, = 20 ,f = 0. 38大增長 。這與小曲率半徑時齒厚 s 較大幅度減小有關(guān) , 表明小曲率半徑時影響齒根應(yīng)力值的主要因素是 s 的變化 , 而大33圖 7 不同 ha 、c 曲率半徑與齒厚關(guān)系圖 1994-201

21、3 china academic journal electronic publishing house. all rights reserved. m /mm/ s /mm/mmh t /mms / /m pa322. 44712. 99951. 908956. 715451. 57129109. 597522. 44714. 99923. 1815811. 19241. 5712965. 75832第 3期賀 靜等 :漸開線齒輪齒根曲率半徑對齒根應(yīng)力的影響77時主要影響齒根應(yīng)力的是力臂 ht。h3 減小時明顯可見最大齒根應(yīng)力值減小 。這是因為減a小 h3 對力臂影響相對較大 。以最大應(yīng)力發(fā)

22、生處為例 : c3 =a30. 4 時 ht = 7. 15909, c = 0. 1 時 , ht = 6. 50735, 減 小 幅 度0. 09 % ; h3 = 1. 0 時 h = 6. 84263, h3 = 0. 7 時 h = 5. 28233,atat減小幅度 22. 8% 。但增大 h3 、c3 能提高齒輪傳動的重合度 ,a由此可知 , 在滿 足 齒 輪 傳 動 平 穩(wěn) 的 前 提 下 可 以 選 擇 較 小 的h3 3a 、c 來增大曲率半徑 , 從而提高齒根彎曲強(qiáng)度 。m = 3mm , z = 30, = 20 , 3 = 0. 38f圖 9 不同 x時曲率半徑與齒厚

23、關(guān)系圖m = 3mm , z = 30, = 20 ,3 = 0. 38f圖 8 不同 h3 、c3 曲率半徑與齒根應(yīng)力關(guān)系圖a4. 1. 3 不同 x時曲率半徑對齒根應(yīng)力值的影響圖 9和圖 10反映了不同變位系數(shù)時齒根齒厚和齒根應(yīng) 力相對于曲率半徑的變化趨勢 。當(dāng) x 由負(fù)變?yōu)檎龝r , 齒厚增 加明顯 , 從而齒根彎曲強(qiáng)度明顯提高 。這表明正變位齒輪強(qiáng)度大于負(fù)變位齒輪 。同時可見 , 對于正變位齒輪而言 , x的增大未能明顯改善齒根彎曲強(qiáng)度 。4. 1. 4 不同 時曲率半徑對齒根應(yīng)力值的影響結(jié)合圖 11和圖 12 可 知 , 小曲率 半徑時 , 壓 力角的改變 對齒厚和應(yīng)力值無明顯影響 。

24、曲率半徑增大到一定值后 , 齒 厚隨著壓力角增大其值明顯增加 , 齒根應(yīng)力減小 。表明壓力角的改變主要影響漸開線齒輪的齒根厚度值 , 從而齒根強(qiáng)度發(fā)生變化 。4. 2 曲率半徑對齒根應(yīng)力分布的影響m = 3mm , z = 30, = 20 , 3 = 0. 38f圖 10 不同 x時曲率半徑與齒根應(yīng)力關(guān)系圖4. 2. 1 不同 3 時曲率半徑對齒根應(yīng)力分布的影響f圖 13和圖 14為不同 3 時曲率半徑和齒根應(yīng)力沿 x 軸m = 3mm , z = 30, 3 = 0. 38ff圖 11 不同 時曲率半徑與齒厚關(guān)系圖分布情況 。隨著 3 增大 , 齒根曲率半徑沿齒根 變化較為平f緩 , 齒根

25、應(yīng)力分布也趨向平緩 ;同時 ,3 增大導(dǎo)致曲率半徑的突變點右移且值增大時 ,f與之相對應(yīng) , 齒根最大應(yīng)力點同時右移且值減小 。這驗證了齒根形狀的突變是齒根最大應(yīng)力產(chǎn)生的重要原因 。4. 2. 2 不同 h3 、c3 、x時曲率半徑對齒根應(yīng)力分布的影響a從圖 15可知 , 改變 h3 、c3 、x的值會改變過渡曲線位置 、a弧長和每點處曲率半徑的值 , 但曲率半徑沿 x 軸增長趨勢大致相同 。對比圖 16可以發(fā)現(xiàn) , 相同 x 坐標(biāo)位置 , 齒根應(yīng)力值隨著 h3 、c3 、x的改變而發(fā) 生變化 , 而 沿 x 軸應(yīng) 力值的變化a情況大致相同 。由此說明 , 曲率半徑沿齒根分布情況和齒根應(yīng)力分布

26、相似 。m = 3mm , z = 30, 3 = 0. 38f圖 12 不同 時曲率半徑與齒根應(yīng)力關(guān)系圖 1994-2013 china academic journal electronic publishing house. all rights reserved. 78機(jī)械設(shè)計與研究第 23卷3m = 3mm, z = 30, = 20 ,f = 0. 38圖 13 不同 3 曲率半徑沿齒根分布圖f圖 15 不同 h3 、c3 、x時曲率半徑沿齒根分布圖a圖 14 不同 3 時齒根應(yīng)力分布圖fm = 3mm, z = 30, = 20 3 = 0. 38f圖 16 不同 h3 、c3

27、、x時齒根應(yīng)力分布圖a5 結(jié)論參考文獻(xiàn) :( 1 ) 所采用 的漸開線齒輪齒廓數(shù)學(xué)模 型經(jīng) 進(jìn) 一 步 驗證 , 能高精度地描述整個漸開線齒輪齒廓 。( 2 ) 所建立的曲率半徑計算公式在齒輪螺旋角 不為 零時 , 其精度高于等距線的曲率半徑計算公式 。( 3 ) 基于任意轉(zhuǎn)角位置的漸開線齒輪齒廓數(shù)學(xué)模型的 齒根任一點局部應(yīng)力的折截面法數(shù)學(xué)模型經(jīng)對相關(guān)主要參數(shù)的驗證 , 能全面描述齒根應(yīng)力及其分布 , 為數(shù)值分析提供 了較好的數(shù)學(xué)模型 。 1 張志強(qiáng) ,賀靜 ,唐勇 ,等. 任意轉(zhuǎn)角位置的漸開線齒輪齒廓參數(shù)方程的研究 j . 機(jī)械傳動 , 2005 , 29 ( 2 ) : 10 13.張志強(qiáng) ,夏