38.活躍在高考中的三角形三線問題

1、中國(guó)高考數(shù)學(xué)母題一千題(第0001號(hào))愿與您共建真實(shí)的中國(guó)高考數(shù)學(xué)母題(楊培明活躍在高考中的三角形三線問題以三角形三線為背景的高考試題 三角形的三線:高線、中線和角平分線;以三角形及三線構(gòu)成的幾何圖形是高考命題的基本圖,而三角形的三線問題是高考的重要問題,它們之間既有聯(lián)系,又有區(qū)別,其中,三角形的三線長(zhǎng)統(tǒng)一公式如下.母題結(jié)構(gòu):(三線長(zhǎng)統(tǒng)一公式)在abc中,a、b、c分別為內(nèi)角a、b、c,所對(duì)的邊長(zhǎng),p是邊bc上一點(diǎn),且=,則ap2=(-1)a2+b2+(1-)c2.母題解析:()由=+=+ap2=|2=(+)2=2+2+22=2-2+22=c2-(a2+c2-b2)+

2、2a2=(-1)a2+b2+(1-)c2. 當(dāng)p是bc的中點(diǎn)f時(shí),=,可得中線公式:af2=-a2+(b2+c2),由此易得阿波羅尼定理:平行四邊形四邊的平方和等于兩對(duì)角線的平方和;當(dāng)ap是a的平分線ae時(shí),=,可得平分線公式:ae2=;利用三角形面積公式,更易求三角形的高. 1.高線問題 子題類型:(1978年全國(guó)高考試題)已知abc的三內(nèi)角的大小成等差數(shù)列,tanatanc=2+,求角a,b,c的大小.又已知頂點(diǎn)c的對(duì)邊c上的高等于4.求三角形各邊a,b,c的長(zhǎng).解析:由a,b,c成等差數(shù)列b=600;tanatanc=2+及tana+tanb+tanc=tanatanbtanctana+

3、tanc=3+tana=1,tanc=2+a=450,c=750;由a=8,b=4,c=asinb+bsina=4+4.點(diǎn)評(píng):三角形的一條高把三角形分割為兩個(gè)直角三角形,靈活運(yùn)用直角三角形的性質(zhì),是解決與三角形高有關(guān)問題的關(guān)鍵,其中,利用三角形面積公式,或設(shè)高,利用直角三角形中的三角函數(shù),建立關(guān)于高的方程,是求三角形高的基本方法. 2.中線問題 子題類型:(2006年全國(guó)高考試題)己知abc中,b=450,ac=,cosc=.()求bc邊的長(zhǎng);()記ab的中點(diǎn)為d,求中線cd的長(zhǎng).解析:()由cosc=sinc=sina=sin(b+c)=sin(450+c)=(sinc+cosc)=bc=3

4、;()由ab=2bd=ab=1;又由cd2=bd2+bc2-2bdbccosb=13cd=.點(diǎn)評(píng):關(guān)于三角形的中線問題有兩種基本解法:取另一邊的中點(diǎn),構(gòu)造中位線,并利用中位線的性質(zhì),把相關(guān)條件集中到某一個(gè)三角形中,從解這個(gè)三角形起,解決問題;倍長(zhǎng)中線,構(gòu)造平行四邊形解決問題. 3.角平分線 子題類型:(2013年課標(biāo)高考理科試題)abc中,d是bc上的點(diǎn),ad平分bac,abd面積是adc面積的2倍.()求;()若ad=1,dc=,求bd和ac的長(zhǎng).解析:()由ad平分bac,abd面積是adc面積的2倍abadsinbad=2acadsincadab=2ac=;()由abd面積是adc面積的

5、2倍bd=2dc=,設(shè)adc=,則adb=-,由ab2=ad2+bd2-2adbdcosadb=3+2cos,ac2=ad2+dc2-2addcadc=-cosab2+2ac2=6;又由ab=2acac=1.點(diǎn)評(píng):關(guān)于三角形的角平分線問題,首先應(yīng)掌握角平分線定理:若ad是abc內(nèi)角a的平分線,則ab:ac=bd:dc;其次是充分利用ad將內(nèi)角a等分為兩銳角,由此利用相關(guān)公式,解決問題. 4.子題系列:1.(2011年安徽高考試題)在abc中,a、b、c分別為內(nèi)角a、b、c,所對(duì)的邊長(zhǎng),a=,b=,1+2cos(b+c)=0,求邊bc上的高.2.(2004年全國(guó)高考試題)己知銳角三角形abc中,

6、sin(a+b)=,sin(a-b)=.()求證:tana=2tanb;()設(shè)ab=3,求ab邊的高.3.(2005年湖北高考試題)在abc中,己知ab=,cosb=,ac邊上的中線bd=,求sina的值.4.(2009年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽高一年級(jí)初賽試題)在abc中,ab=bcac,ah與am分別為bc上的高線和中線,=.試確定cosbac的值.5.(2013年課標(biāo)高考文科試題)abc中,d是bc上的點(diǎn),ad平分bac,bd=2dc.()求;()若bac=600,求b.6.(2011年“卓越聯(lián)盟”自主招生數(shù)學(xué)試題)在abc中,ab=2ac,ad是a的角平分線,且ad=kac.()求k的取值范圍;()若sabc=1,問k為何值時(shí),bc最短？ 5.子題詳解:1.解:由1+2cos(b+c)=01-2cosa=0cosa=sina=,根據(jù)正弦定理sinb=,babacosb=sinc=sin(a+b)=(+),由sabc=absinc=ah(h為邊bc上的高)h=bsinc=.2.解:()由sinacosb+cosasinb=,sinacosb-c