拉丁方試驗設(shè)計方案統(tǒng)計分析

1、前言拉丁方試驗設(shè)計及分析1 前言“拉丁方 ”的名字最初是由 R、A 、Fisher 給出的。拉丁方設(shè)計（ latin square design）是從橫行和直列兩個方向進行雙重局部控制，使得橫行和直列兩向皆成單位組，是比隨機單位組設(shè)計多一個單位組的設(shè)計。在拉丁方設(shè)計中， 每一行或每一列都成為一個完全單位組， 而每一處理在每一行或每一列都只出現(xiàn)一次， 也就是說，在拉丁方設(shè)計中，試驗處理數(shù) =橫行單位組數(shù) =直列單位組數(shù) =試驗處理的重復(fù)數(shù)。在對拉丁方設(shè)計試驗結(jié)果進行統(tǒng)計分析時，由于能將橫行、 直列二個單位組間的變異從試驗誤差中分離出來， 因而拉丁方設(shè)計的試驗誤差比隨機單位就在于提供對實驗處理順序

2、的控制， 使實驗條件均衡， 抵消由于實驗處理的先后順序的影響而產(chǎn)生的順序誤差，因而也可稱之為抵消法設(shè)計。組設(shè)計小， 試驗精確性比隨機單位組設(shè)計高。拉丁方設(shè)計又叫平衡對抗設(shè)計 (baIanced design)、輪換設(shè)計。這三個名稱是從其模式、作用和方法三個不同的角度來說明這種設(shè)計的意義。 所謂平衡對抗設(shè)計，是指在實驗中， 由于前一個實驗處理往往會影響后一個實驗處理的效果， 而該實驗設(shè)計的作用。所謂輪換設(shè)計，是指在實驗中，由于學習的首因效應(yīng)，先實驗的內(nèi)容，被試容易記?。挥忠驗閷W習的近因效應(yīng)，對于剛剛學過的內(nèi)容，被試回憶的效果一般也較好。因此、 在實驗方法上， 有必要使不同實驗條件出現(xiàn)的先后順序輪

3、換，使情境條件以及先后順序?qū)Ω鱾€實驗組的機會均等， 打破順序界限。所謂拉丁方設(shè)計，是指平衡對抗設(shè)計的結(jié)構(gòu)模式，猶如拉丁字母構(gòu)成的方陣。 例如四組被試接受 A、B、C、D 四種處理，其實驗?zāi)Ｊ綖椋荷鲜瞿Ｊ奖砜梢钥闯觯?每種處理即表中的字母在每一行和每一列都出現(xiàn)了一次而且僅出現(xiàn)了一次。像這樣的一個方陣列就稱為一個拉丁方。要構(gòu)成一個拉丁方，必須使行數(shù)等于列數(shù)，并且兩者都要等于實驗處理的種數(shù)。第1頁（共15頁）拉丁方試驗設(shè)計及分析在只有兩個實驗處理的情況下，通常采用的平衡對抗設(shè)計是以ABBA 的順序來安排實驗處理的順序?；蛘甙褑谓M被試分為兩半一半按照ABBA 的順序?qū)嵤┨幚恚硪话氚凑誃AAB 的順序

4、實施處理。2 選題背景源于生產(chǎn)實踐，在畜牧、水產(chǎn)等動物試驗中，如果要控制來自兩個方面的系統(tǒng)誤差且試驗動物的數(shù)量又較少，則常采用拉丁方設(shè)計。2.1 研究的目的和意義拉丁方設(shè)計（ latin square design）是從橫行和直列兩個方向進行雙重局部控制，使得橫行和直列兩向皆成單位組， 是比隨機單位組設(shè)計多一個單位組的設(shè)計。在拉丁方設(shè)計中， 每一行或每一列都成為一個完全單位組， 而每一處理在每一行或每一列都只出現(xiàn)一次，也就是說，在拉丁方設(shè)計中，試驗處理數(shù)=橫行單位組數(shù) =直列單位組數(shù) =試驗處理的重復(fù)數(shù)。在對拉丁方設(shè)計試驗結(jié)果進行統(tǒng)計分析時，由于能將橫行、 直列二個單位組間的變異從試驗誤差中分

5、離出來， 因而拉丁方設(shè)計的試驗誤差比隨機單位組設(shè)計小，試驗精確性比隨機單位組設(shè)計高。課題的目的是： 因為在拉丁設(shè)計中，橫行單位組數(shù)、直列單位組數(shù)、試驗處理數(shù)與試驗處理的重復(fù)數(shù)必須相等，所以處理數(shù)受到一定限制。若處理數(shù)少， 則重復(fù)數(shù)也少，估計試驗誤差的自由度就小，影響檢驗的靈敏度；若處理數(shù)多，則重復(fù)數(shù)也多，橫行、直列單位組數(shù)也多，導致試驗工作量大，且同一單位組內(nèi)試驗動物的初始條件亦難控制一致。 因此，拉丁方設(shè)計一般用于 5-8 個處理的試驗。在采用 4 個以下處理的拉丁方設(shè)計時，為了使估計誤差的自由度不少于 12，可采用“復(fù)拉丁方設(shè)計”，即同一個拉丁方試驗重復(fù)進行數(shù)次，并將試驗數(shù)據(jù)合并分析，以增

6、加誤差項的自由度。應(yīng)當注意，在進行拉丁方試驗時，某些單位組因素，如奶牛的泌乳階段，試驗因素的各處理要逐個地在不同階段實施，如果前一階段有殘效， 在后一階段的試驗中，就會產(chǎn)生系統(tǒng)誤差而影響試驗的準確性。此時應(yīng)根據(jù)實際情況， 安排適當?shù)脑囼為g歇期以消除殘效。另外，還要注意，橫行、直列單位組因素與試驗因素間不存在交互作用，否則不能采用拉丁方設(shè)計。其研究的意義在于： 1、精確性高拉丁方設(shè)計在不增加試驗單位的情況下，第2頁（共15頁）前言比隨機單位組設(shè)計多設(shè)置了一個單位組因素， 能將橫行和直列兩個單位組間的變異從試驗誤差中分離出來， 因而試驗誤差比隨機單位組設(shè)計小， 試驗的精確性比隨機單位組設(shè)計高。 2

7、、試驗結(jié)果的分析簡便2.2 現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢與研究的主攻方向拉丁方試驗從實際應(yīng)用上來說，在計算機科學、數(shù)字通訊、光纖網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、實驗設(shè)計、生物基因工程等方面都有著重要的應(yīng)用， 其不僅在基礎(chǔ)數(shù)學研究中具有極其重要的地位，在其它的學科中也有重要的應(yīng)用，如心理學、 生物等學科中均有重要應(yīng)用。近年來，正交拉丁方理論在實驗設(shè)計、計算機科學、編碼理論和保密通訊等領(lǐng)域得到了重要的應(yīng)用， 這為正交拉丁方理論的研究提供了巨大的原動力。本研究方向近年來在frame 自正交拉丁方、帶對稱正交侶的自正交拉丁方、r- 自正交拉丁方、自正交的Mendelsohn 三元系、橫截設(shè)計等方面取得了一系列的研究成果。3 試驗設(shè)計及拉

8、丁方試驗設(shè)計3.1 試驗設(shè)計試驗設(shè)計的基本工具是正交表， 正交表是根據(jù)均勻分布的思想， 運用組合數(shù)學理論構(gòu)造的一種數(shù)學表格 試驗設(shè)計的方法很多， 不同的方法用于解決在實際工作中所遇到的不同的問題， 應(yīng)用最廣泛和最具典型性的方法有區(qū)組設(shè)計、 正交設(shè)計、參數(shù)設(shè)計、回歸設(shè)計、均勻設(shè)計、混料設(shè)計、飽和設(shè)計與超飽和設(shè)計”。為比較某因子的多個水平， 按某個已知的噪聲因子把全部試驗單元分為若干個組并進行試驗和統(tǒng)計分析的方法稱為區(qū)組設(shè)計。 根據(jù)不同情況設(shè)計具體試驗的方法有隨機化完全區(qū)組設(shè)計、 平衡不完全區(qū)組設(shè)計和鏈式區(qū)組設(shè)計。 區(qū)組設(shè)計被廣泛用于因素水平比較試驗。第3頁（共15頁）拉丁方試驗設(shè)計及分析正交試驗

9、設(shè)計是一種常用多因子試驗設(shè)計方法，它利用正交表k(q選擇試驗條件和安排試驗計劃。并利用正交表的特點進行數(shù)據(jù)分析，減少試驗次數(shù)， 找出最好的或滿意的試驗計劃組合。 對應(yīng)試驗具體情況和要求不同， 正交設(shè)計方法和統(tǒng)計分析方法也有相應(yīng)的調(diào)整和優(yōu)化。 正交試驗設(shè)計中的裂區(qū)設(shè)計是現(xiàn)今一大研究熱點。試驗設(shè)計的主要作用是減低試驗次數(shù)、 提高試驗精度， 使研究人員從試驗結(jié)果中獲得無偏的處理效應(yīng)及試驗誤差的估計， 進行正確而有效的比較。 為了控制干擾因子引起的差異，降低試驗誤差，在試驗設(shè)計中要遵循三條基本原則。一重復(fù) (Replication)重復(fù)性是科學調(diào)查結(jié)論的基本要求。 相同處理設(shè)置試驗單元重復(fù)后就可研究在

10、試驗單元間的變異。 設(shè)置重復(fù)主要作用在于； 1估計試驗誤差； 2降低試驗誤差，提高試驗精度二隨機化 (Randomization)隨機化指試驗中每一個處理都有相等的機會實施安排在任何一個試驗單元上。隨機可以消除任何人為的主觀偏性及各種干擾因子的影響， 以保證獲得處理效應(yīng)及誤差變異的有效無偏估計。三區(qū)域控制 (Blocking)區(qū)域控制是將試驗單元按系統(tǒng)干擾因子的環(huán)境控制因子進行區(qū)組劃分， 實施區(qū)組控制，使同一區(qū)組內(nèi)的單元間環(huán)境因子保持一致， 保證同一區(qū)組中局部范圍內(nèi)單元間誤差的同質(zhì)性。3.2 拉丁方試驗設(shè)計拉丁方設(shè)計（ latin square design）在統(tǒng)計上控制兩個不相互作用的外部變

11、量并且操縱自變量。每個外部變量或分區(qū)變量被劃分為一個相等數(shù)目的區(qū)組或級別，自變量也同樣被分為相同數(shù)目的級別。如果將 k 個不同符號排成k 列，使得每一個符號在每一行、每一列都只出現(xiàn)一次的方陣，叫做k k 拉丁方。應(yīng)用拉丁方設(shè)計就是將處理從縱橫二個方向排列為區(qū)組(或重復(fù) )，使每個處理在每一列和每一行中出現(xiàn)的次數(shù)相等（通常一次），即在行和列兩個方向都進行局部控制。所以它是比隨機區(qū)組多一個方向局部控制的隨機排列的設(shè)計，因而具有較高的精確性。第4頁（共15頁）拉丁方試驗設(shè)計的具體實例拉丁方設(shè)計的特點是處理數(shù)、重復(fù)數(shù)、行數(shù)、列數(shù)都相等。最小的可以為22拉丁方設(shè)計 ,沒有諸如 2 3 拉丁方設(shè)計。它的每

12、一行和每一列都是一個區(qū)組或一次重復(fù)，而每一個處理在每一行或每一列都只出現(xiàn)一次，因此，它的處理數(shù)、重復(fù)數(shù)、行數(shù)、列數(shù)都等于 5。拉丁方設(shè)計的優(yōu)點是：精確度高。缺點是：由于重復(fù)數(shù)與處理數(shù)必須相等，使得兩者之間相互制約，缺乏伸縮性。因此，采用此類設(shè)計時試驗的處理數(shù)不能太多， 一般以 4 10 個為宜。其具體的應(yīng)用過程是這樣的：假設(shè)我現(xiàn)在要做一個實驗， 被試一共要進行5 個小測試，并且需要重測多次，因此對這 5 個測試的排序就需要列入變量控制之內(nèi)，不可能多次都一樣的順序，因此為了平衡這種順序效應(yīng)，采取拉丁方設(shè)計，先命名5 個小測試分別為1，2，3，4，5。那么對其的排序就是這樣的：第一組測試順序： 1

13、，2，5，3，4第二組測試順序： 2，3，1，4，5第三組測試順序： 3，4，2，5，1第四組測試順序： 4，5，3，1，2第五組測試順序： 5，1，4，2，3其順序是這樣確定的，橫排：1， 2，n， 3，n-1，4， n-2 （ n 代表要排序的量的個數(shù)）豎排： 1， 2， 3， 4， 5 再輪回 1。（ 1）設(shè)計的基本要求： 必須是三個因素的實驗， 且三個因素的水平數(shù)相等 （若三因素的水平數(shù)略有不同， 應(yīng)以主要處理因素的水平數(shù)為主， 其它兩因素的水平數(shù)可進行適當調(diào)整）；三因素間是相互獨立的，均無交互作用；各行、列、字母所得實驗數(shù)據(jù)的方差齊。（ 2）設(shè)計步驟：根據(jù)主要處理因素的水平數(shù)，確定基

14、本型拉丁方，并從專業(yè)角度使另兩個次要因素的水平數(shù)與之相同； 先將基本型拉丁方隨機化， 然后按隨機化后的拉丁方陣安排實驗?？赏ㄟ^對拉丁方的任兩列交換位置，或 /及任兩行交換位置實現(xiàn)隨機化；規(guī)定行、列、字母所代表的因素與水平，通常用字母表示主要處理因素。4、拉丁方試驗設(shè)計數(shù)據(jù)處理的相關(guān)理論第5頁（共15頁）拉丁方試驗設(shè)計及分析拉丁方設(shè)計試驗結(jié)果的分析， 是將兩個單位組因素與試驗因素一起， 按三因素試驗單獨觀測值的方差分析法進行，但應(yīng)假定 3 個因素之間不存在交互作用。將橫行單位組因素記為 A，直列單位組因素記為 B，處理因素記為 C，橫行單位組數(shù)、直列單位組數(shù)與處理數(shù)記為 r ，對拉丁方試驗結(jié)果進

15、行方差分析的數(shù)學模型為：（I=j=k =1， 2， ，r ）式中：為總平均數(shù)；為第 I 橫行單位組效應(yīng)；為第 j 直列單位組效應(yīng)，為第 k 處理效應(yīng)。單位組效應(yīng)、通常是隨機的，處理效應(yīng)通常是固定的，且有；2為隨機誤差，相互獨立，且都服從 N（0，）。注意： k 不是獨立的下標，因為I、 j 一經(jīng)確定， k 亦隨之確定。平方和與自由度劃分式為：SST = SSA +SSB+SSC+SSedfT = dfA +dfB+dfc+dfe矯正數(shù)C=x2./r22總平方和SST =x ij(k) -C橫行平方和SSA =x 2I./r - C直列平方和SSB =x 2.j/ r C2處理平方和SSC =x

16、 (K) / r C誤差平方和SSeTABc=SS-SS-SS-SS總自由度dfT2-1= r橫行自由度dfA= r -1直列自由度dfB= r -1處理自由度dfC= r -1誤差自由度dfeTABC=df -df -df -df =(r -1)( r -2)第6頁（共15頁）拉丁方試驗設(shè)計的具體實例關(guān)于方差分析的基本步驟現(xiàn)歸納如下：（一）計算各項平方和與自由度。（二）列出方差分析表，進行F 檢驗。（三）若 F 檢驗顯著，則進行多重比較。 多重比較的方法有最小顯著差數(shù)法(LSD法 )和最小顯著極差法 (LSR 法：包括 q 檢驗法和新復(fù)極差法 )。表示多重比較結(jié)果的方法有三角形法和標記字母法

17、。5 拉丁方試驗設(shè)計的具體實例在畜牧、水產(chǎn)等動物試驗中，如果要控制來自兩個方面的系統(tǒng)誤差，且試驗動物的數(shù)量又較少， 則常采用拉丁方設(shè)計。 下面結(jié)合具體例子說明拉丁方設(shè)計方法。為了研究 5 種不同溫度對蛋雞產(chǎn)蛋量的影響， 將 5 棟雞舍的溫度設(shè)為 A、B、C、D、E，把各棟雞舍的雞群的產(chǎn)蛋期分為 5 期，由于各雞群和產(chǎn)蛋期的不同對產(chǎn)蛋量有較大的影響，因此采用拉丁方設(shè)計，把雞群和產(chǎn)蛋期作為單位組設(shè)置，以便控制這兩個方面的系統(tǒng)誤差。拉丁方設(shè)計步驟如下：（一）選擇拉丁方選擇拉丁方時應(yīng)根據(jù)試驗的處理數(shù)和橫行、直列單位組數(shù)先確定采用幾階拉丁方， 再選擇標準型拉丁方或非標準型拉丁方。 此例因試驗處理因素為溫

18、度，處理數(shù)為 5；將雞群作為直列單位組因素，直列單位組數(shù)為 5；將產(chǎn)蛋期作為橫行單位組因素，橫行單位組數(shù)亦為 5，即試驗處理數(shù)、直列單位組數(shù)、橫行單位組數(shù)均為 5，則應(yīng)選取 55 階拉丁方。本例選取前面列出的第 2 個 5 5 標準型拉丁方，即：（二）隨機排列在選定拉丁方之后，如是非標準型時，則可直接按拉丁方中的字母安排試驗方案。若是標準型拉丁方，還應(yīng)按下列要求對橫行、 直列和試驗處理的順序進行隨機排列。第7頁（共15頁）拉丁方試驗設(shè)計及分析33 標準型拉丁方：直列隨機排列，再將第二和第三橫行隨機排列。44 標準型拉丁方： 隨機選擇 4 個標準型拉丁方中的一個， 然后再將橫行、 直列及處理都隨

19、機排列。下面對選定的 55 標準型拉丁方進行隨機排列。先從隨機數(shù)字表（）第22行、第 8 列 97 開始，向右連續(xù)抄錄 3 個 5 位數(shù)，抄錄時舍去 “0、”“6以上的數(shù) ” 和重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)，抄錄的 3 個五位數(shù)字為： 13542，41523， 34521。然后將上面選定的 55 拉丁方的直列、橫行及處理按這 3 個五位數(shù)的順序重新隨機排列。1、直列隨機將拉丁方的各直列順序按13542 順序重排。2、橫行隨機再將直列重排后的拉丁方的各橫行按41523 順序重排。選擇拉丁方直列隨機橫行隨機1234513542ABCDE1ACEDB4EABCBADEC2BDCEA1CEDBCEBAD3C BDA

20、E5DAEBCABCDDCEBA4DEABC2DCEAEDACB5EABCD3BDAE3、把 5 種不同溫度按第三個 5 位數(shù) 34521 順序排列 即：A=3，B=4，C=5，D=2，E=1，也就是說，在拉丁方中的 A 表示第 3 種溫度， B 表示第 4 種溫度等，依次類推。從而得出 55 拉丁方設(shè)計，如表 5.01 所示。表 5.01 5 種不同溫度對雞產(chǎn)蛋量影響的拉丁方設(shè)計第8頁（共15頁）試驗結(jié)果的統(tǒng)計分析雞 群產(chǎn)蛋期一二三四五D（2）E（1）A（3）B（4）C（5）A（3）C（5）E（1）D（2）B（4）（ ）（ ）（ ）C（ ）D（ ）E 1A 3B 452B（4）D（2）C（5

21、）E（1）A（3）C（5）B（4）D（2）A（3）E（1）注：括號內(nèi)的數(shù)字表示溫度的編號由表5.01 可以看出，第一雞群在第個產(chǎn)蛋期用第2 種溫度，第二雞群在第個產(chǎn)蛋期用第 1 種溫度，等等。試驗應(yīng)嚴格按設(shè)計實施。6 試驗結(jié)果的統(tǒng)計分析由前面拉丁方試驗設(shè)計數(shù)據(jù)處理的相關(guān)理論我們可以得知：將橫行單位組因素記為 A，直列單位組因素記為 B，處理因素記為 C，橫行單位組數(shù)、直列單位組數(shù)與處理數(shù)記為 r，對拉丁方試驗結(jié)果進行方差分析的數(shù)學模型為：（I=j=k =1， 2， ，r ）式中：為總平均數(shù)；為第 I 橫行單位組效應(yīng)；為第 j 直列單位組效應(yīng)，為第 k 處理效應(yīng)。單位組效應(yīng)、通常是隨機的，處理效

22、應(yīng)通常是固定的，且有；2為隨機誤差，相互獨立，且都服從 N（0，）。注意： k 不是獨立的下標，因為I、 j 一經(jīng)確定， k 亦隨之確定。平方和與自由度劃分式為：第9頁（共15頁）拉丁方試驗設(shè)計及分析SST = SSA +SSB+SSC+SSedfT = dfA +dfB+dfc+dfe例 1 的試驗結(jié)果如表6.10 所示。表 6.10 5 種不同溫度對母雞產(chǎn)蛋量影響試驗結(jié)果（單位：個）雞 群產(chǎn)蛋期橫行和 xI.一二三四五D（23）E（21）A（ 24）B（ 21）C（19）108A（22）C（20）E（ 20）D（21）B（22）105E（20）A（25）B（ 26）C（22）D（23）11

23、6B（25）D（22）C（ 25）E（ 21）A（23）116C（19）B（20）D（24）A（ 22）E（19）104直列和 x.j109108119107106x.=549注：括號內(nèi)數(shù)字為產(chǎn)蛋量表 6.11 各種溫度（處理）的合計溫度ABCDEx（ k）11611410511310123.222.821.022.620.2現(xiàn)對表 6.10 資料進行方差分析。1、計算各項平方和與自由度第10頁（共15頁）試驗結(jié)果的統(tǒng)計分析矯正數(shù)C=x2./r2=5492/52=12056.04總平方和SS2222T = xij(k) -C=23 +21 +19 -12056.04= 12157-12056.

24、04=100.96橫行平方和2222SSA =xI./r - C =(108 +105+104 )/5-12056.04=27.36直列平方和2222SSB =x.j/ r - C =(109 +108 +106 )/5-12056.04=22.16處理平方和SS 2222C = x (K) / r - C=(116 +114 +101 )/5-12056.04=33.36誤差平方和SSe= SST- SSA- SSB- SSc=100.96-33.36-27.36-22.16= 18.08總自由度dfT22= r -1=5 -1=24橫行自由度dfA= r -1=5-1=4直列自由度dfB=

25、 r -1=5-1=4處理自由度dfC= r -1=5-1=4誤差自由度dfeTABC=df -df -df -df =(r -1)( r -2)=(5-1)(5-2)=122、列出方差分析表，進行F 檢驗表 6.10 表 6.11 資料的方差分析表變異來源SSdfMSFF0.05F0.01橫行間27.3646.844.56*3.265.41直列間22.1645.543.69*3.265.41溫度間33.3648.345.56*3.265.41誤 差18.08121.50總變異100.9624經(jīng) F 檢驗，產(chǎn)蛋期間和雞群間差異顯著 ,溫度間差異極顯著。因在拉丁方設(shè)計中，橫行、直列單位組因素是為

26、了控制和降低試驗誤差而設(shè)置的非試驗因素， 所以即第11頁（共15頁）拉丁方試驗設(shè)計及分析使顯著一般也不對單位組間進行多重比較。下面對不同溫度平均產(chǎn)蛋量間作進行多重比較。3、多重比較列出多重比較表，見表6.12。表 6.12 不同溫度平均產(chǎn)蛋量多重比較表（q 法）溫度平均數(shù)-20.2-21-22.6-22.8A23.23.0*B22.82.22.6*0.6D22.61.80.42.4*0.2C21.01.60.8E20.2溫度平均數(shù)標準誤為 :由 dfe和，從q值表查得臨界值： 0.05和 q0.01 并與相乘得=12k=2 3 4 5qq,值，列于表 6.13。表 6.13 q 值和 LSR

27、值表dfekq0.05q0.01LSR0.05LSR 0.0123.084.321.692.3833.775.042.072.771244.205.502.313.0354.515.842.483.21第12頁（共15頁）試驗結(jié)果的統(tǒng)計分析多重比較結(jié)果表明：溫度A、B、D 平均產(chǎn)蛋量顯著地高于E，即第 3、4、2 種溫度的平均產(chǎn)蛋量顯著高于第1 種溫度的平均產(chǎn)蛋量， 其余之間差異不顯著。 第1 種和第 5 種溫度平均產(chǎn)蛋量最低。2）優(yōu)缺點（ 1）優(yōu)點：拉丁方的行與列皆為配伍組，可用較少的重復(fù)次數(shù)獲得較多的信息；雙向誤差控制，使觀察單位更加區(qū)組化和均衡化，進一步減少實驗誤差，比配伍組設(shè)計優(yōu)越。（

28、 2）缺點：要求三因素的水平數(shù)相等且無交互作用。雖然當三因素的水平數(shù)不等時，可以通過調(diào)整次要因素的水平數(shù)以滿足設(shè)計的要求，但有時無法達到；況且因素間可能存在交互作用， 故在實際工作中有一定的局限性； 當因素的水平數(shù)（ ）較少時，易受偶然因素的影響。為了提高精確度，可應(yīng)用m 個 拉丁方設(shè)計（可參照有關(guān)統(tǒng)計學書籍） ; 重復(fù)數(shù)等于處理數(shù)，靈活性不強。處理數(shù)多時，則重復(fù)過多。處理數(shù)少時，重復(fù)少，則估計誤差的自由度太小，精確度低。因此，適用于 58 個品種或處理的試驗。如果在品種數(shù)或處理數(shù)少時，為了提高試驗的精確度，可采用復(fù)拉丁方設(shè)計，即將一個拉丁方試驗重復(fù)幾次。應(yīng)當注意，在進行拉丁方試驗時，某些單位組因素，如奶牛的泌乳階段，試驗因素的各處理要逐個地在不同階段實施，如果前一階段有殘效， 在后一階段的試驗中，就會產(chǎn)生系統(tǒng)誤差而影響試驗的準確性。此時應(yīng)根據(jù)實際情況，安排適當?shù)脑囼為g歇期以消除殘效。另外，還要注意，橫行、直列單位組因素與試驗因