12對坐標的曲線積分

1、 10.2對坐標的曲線積分一、概念的引入設一質(zhì)點在xoy面內(nèi)從點 A沿光滑曲線弧L移動到點 B,在移動過程中，該質(zhì)點受 到變力F(x, y)二 P(x,y)i Q(x, y)j的作用，其中函數(shù) P(x,y),Q(x,y) 在L上連續(xù)，現(xiàn)計算變力所作的功 w。在L上任意地插入n 1個點A = Mo,Mi, ,Mi_i,Mi, ,Mn1，Mn = B將L劃分成n個小弧段,且點Mi的坐標為(x，yi) (i =1,2，n)。由于弧M i -1M i光滑且很短,可用有向線段來近似地代替它，其中,xi yi分別是弧Mi_iMi在坐標軸上的投影。又因為函數(shù)P(x, y), Q(x, y)在L上連續(xù),可用弧

2、Mi-iMi上任意一點(,-) i i丿處的力F( j 門二 P( ), “ Q(),小來近似地代替該小弧段上的變力。質(zhì)點沿有向小弧段 弧Mi -1Mi移動時，變力所作功可近似地取為F( , i) Mi_iMi二 P( , j )為 Q( 0,(是這n個小弧段長度的最大者),對上述和式取極限。nw= lim P( jj) XiQ( 01存在，貝吐匕極限值就叫做函數(shù) P（x, y）在有向曲JP（x, y）dx 線弧L上對坐標x的曲線積分，記作L。nlim 瓦 Q（ , 陽類似地，如果極限、 i =1存在，則此極限值就叫做函數(shù)fQ（x, y）dyQ（x，y）在有向曲線弧L上對坐標y的曲線積分，并記

3、作lP(x, y)dx 二Ln%i，J為Q(x,y)dy =L其中：P（x，y），Q（x，y）叫做被積函數(shù)，L叫做積分弧段。注記：P（x，y）dx1、對坐標的曲線積分 L中的dx是有向弧段ds在x軸上的投影，它的值可P（x，y）ds正也可負。這與對弧長的曲線積分 L中的ds恒為正值是有區(qū)別的。2、應用中經(jīng)常出現(xiàn)P(x, y)dx Q(x, y)dyLL這種形式，今后，可將之簡記成P(x, y)dx Q(x, y)dyL從而,變力 F(x, y)= P(x,y)i +Q(x,y)j 沿有向曲線 L所作功可表成w = P(x, y)dx Q(x, y)dyL3、上述定義可推廣到積分曲線弧為空間有向

4、曲線弧-的情形nP(x, y,z)dx = lim P( , i，J “ -o i =1nQ(x,y,z)dy 二 lim Q( , i，J y0 i =1nR(x, y,z)dz = lim R( i，i, J Zj r丸t 0)=1P(x，y，z)dx Q(x，y，z)dy R(x，y，z)dz并且】-可簡記成形式P(x，y，z)dx Q(x，y，z)dy R(x，y，z)dz r4、對坐標的曲線積分存在定理若P(x，y)，Q(x，y)在有向光滑曲線弧L上連續(xù)，則P(x，y)dx Q(x，y)dyLL5都存在。這一定理可類似地推廣到空間曲線的情形。二、對坐標曲線積分的性質(zhì)1、若將L分成L1

5、與L2，且L1，L2的方向由L的方向所決定的，則Pdx Qdy 二 Pdx Qdy Pdx QdyLLiL22、設L是有向曲線弧，而L_是與L方向相反的有向曲線弧，則Pdx Qdy - - Pdx QdyLL這一性質(zhì)表明：對坐標的曲線積分應特別注意積分曲線弧的方向。3、若，：是常數(shù)，則Pdx Qdy Pdx QdyLLL三、對坐標曲線積分計算法【定理】設 (，),(，) 在有向曲線弧l上有定義且連續(xù)；曲線L的參數(shù)方程為(t)y 八(t)當參數(shù)t單調(diào)地由變到一時，點M (x, y)從的起點A沿L運動到終點B函數(shù) (t)，(t)在以為端點的區(qū)間上具有 一階連續(xù)導數(shù)，且(t)2(t)2 = 0P(x

6、，y)dx Q(x，y)dy則曲線積分L存在，并且PP(x，y)dx Q(x，y)dy = .P(t)， Q(t)， (t) (t)dtL證明：在L上任意地插入一系列點(依從 A至B的方向)A Mo, Mi， ,M, Mj, Mn_i, M門二 B它們對應于參數(shù)值為。- tog，Lhtdtn這一列參數(shù)值是單調(diào)變化的。據(jù)對坐標的曲線積分定義有nP(x, y)dx = lim p( , J 旳L0 i =1若設點(i， i)對應于參數(shù)值 i ,那么i應在ti -1與ti之間，且i 八(i),廠(i)又“卞-廠(tj-(ti_i)yti這里：ti = 1 _ tj _i,而i在1與ti之間。n(i)

7、7P(x, y)dx 二 lim P ( J, ( J于是L oi=1因為函數(shù)，(t)在閉區(qū)間，訂(或一)上連續(xù)，那么可將上式中的i換成i ,從而nP(x,y)dx= lim、P ( J, ( J( J 飛L 0 i = 1而，0等價于勺0(i1,2,n),因此pP (t), (t) (t)dtP(X, y)dxL也就存在，且有P(x,y)dx = P (t), (t) (t)dtL:同理可證PQ(x,y)dyQ (t), (t) (t)dtL:將兩式相加便得到了 (4)式。對坐標的曲線積分計算公式記憶法.P(x, y)dx Q(x, y)dyLACy(t)dx 二-(t)dtdy (t)dt

8、=下限:上限p P，(t) Q (t), (t)(t) dt幾種特殊情形的對坐標曲線積分1如果L由方程y =(x)給出時,(4)式成為bP(x, y)dx Q( x, y )dy 二 Px, (x) Qx, (x)(x) dxLa這里：下限a對應于L的起點，上限b對應于L的終點。2、如果L由方程x =(y)給出時,(4)式成為d.P ( x, y ) dx Q(x, y )dy 二 PL： ( y ), yT ( y ) Q L： ( y ), y dyLc這里：下限c對應于L的起點,上限d對應于L的終點。3、公式(4)可方便地推廣到空間曲線-由參數(shù)方程:x : (t), y 二(t), z

9、= 丫 (t)給出的情形P(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dzrP=P (t), (t), (t) ： (t) Q (t), (t), (t)(t) R (t), (t), (t) (t)dt這里:下限對應于】的起點，上限對應于】的終點。y2dx【例1】計算L，其中L為(1)、半徑為a,圓心在原點依逆時針繞行的上半圓周；、從點A(a,O)沿x軸到點B( a,O)的直線段。解1: L的參數(shù)方程為x = acos , y = asiyrrAM) x八0時,對應于L的起點A(a , 0),日=71時,對應于L的終點B( 一 a , ),71y2dx = (asin71 )2

10、(-asin 二)d =L0H2=-a3 sin3 対丁- -2a3 sin3 寸、2a3卻3!解2: L的方程為目二,x = a時,對應于L的起點 A(a,O)；x =a時,對應于的終點B( a,),-a2y2dx 二 Odx 二 La此例表明：兩個對坐標的曲線積分盡管被積函數(shù)相同，積分曲線的起點與終點也相同積分曲線不同 時,其值并不相同。22xydx x dy【例2】計算L，其中L為2拋物線y X上從 0(0,0)到 B(1,1) 的一段??；2拋物線x y上從 0(0,0)到 B(1,1) 的一段弧；有向折線OAB,這里依次是 (,),(,),(,)。cw) 心)X12 2 22xydx

11、x dy = 2x x dx x 2xdx解1、L01 12xydx x2dy = .2y2 y 2 ydy (y2)2dy 二 5 y4dy 二 1解 2: L002xydx x2dy 二 2xydx x2dy2xydx x2dy解 3: LOAAB2 2二 2x 0 x Odx 2 1 y 0 1 dy0 01=dy = 10此例表明：雖然沿不同的曲線弧，但第二類曲線積分的值可以是相同的。換句話說,計算曲線積分時，積分值僅與起點 0(0,0), 終丿B(1,1) 的坐標有關，而與連接這兩點的曲線 形式無關。四、兩類曲線積分的關系設有向曲線弧L的起點為 A,終點為B,取弧長AM =s為曲線弧L的參數(shù),曲線L的全長AB = I ,這里M L。設曲線弧L由參數(shù)方程x = x(s)十 y(s)給出，函數(shù)x(s) , y(s)在 0,l 上具有一階連續(xù)的導數(shù)，又函數(shù)P(x,y),Q(x, y)在 l上連續(xù)。對坐標的曲線積分P(x, y)dx Q(x, y)dyLdsdxpx(s),y(s壯 Qx，y(s)i二Px(s), y(s)cos ： Qx(s), y(s)cos ds0dx a dy ,/ , or , ocos, cos, ds = dx dy其中：dsds由萊布尼茲微分三角形可知：cos與cs-是有向曲線弧L在點M的切線向量的方向余弦，該切線向量的指向與曲線