一般的一元二次方程的解法—知識講解

1、元二次方程的解法（二）般的一元二次方程的解法一知識講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .了解配方法和公式法的概念、一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，會用配方法和公式法解一元二次方程；2 .掌握運(yùn)用配方法和公式法解一元二次方程的基本步驟；3 .通過用配方法將一元二次方程變形的過程，通過求根公式的推導(dǎo)，進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化的思想方法，并增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性及嚴(yán)謹(jǐn)性，滲透分類的思想.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、一元二次方程的解法-配方法1. 配方法解一元二次方程：（1）配方法解一元二次方程：將一元二次方程配成（工+軽）=去（戸0）的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次 方程的方法叫配方法

2、.,土 2ab + 護(hù)=(衛(wèi).（2）配方法解一元二次方程的理論依據(jù)是公式：（3）用配方法解一元二次方程的一般步驟： 把原方程化為 處+加+芒=0口工0）的形式； 將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為 方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方； 再把方程左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)； 若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程 無實(shí)數(shù)解.要點(diǎn)詮釋：（1）配方法解一元二次方程的口訣：（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”1;（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式一除二移三配四開方；，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方2

3、2 2a 2ab b (a b).要點(diǎn)二、配方法的應(yīng)用1. 用于比較大小：在比較大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項(xiàng)或添項(xiàng)、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而 比較出大小.2. 用于求待定字母的值：0,左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)榇ㄗ帜傅娜≈?3. 用于求最值：“配方法”在求最大（小）值時的應(yīng)用，將原式化成一個完全平方式后可求出最值.4. 用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會知道“配方法”在二次函數(shù)中 也有著廣泛的應(yīng)用.要點(diǎn)詮釋：“配方法”在初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等

4、關(guān)系，討論不 等關(guān)系的常用技巧，是挖掘題目當(dāng)中隱含條件的有力工具，同學(xué)們一定要把它學(xué)好.要點(diǎn)三、公式法解一元二次方程1. 一元二次方程的求根公式元二次方程+加+ c =，當(dāng)血二-屜匸0時，yb土制-4g2. 一元二次方程根的判別式元二次方程根的判別式：心二滬-4處2a當(dāng)A二2 4趙J 0時，原方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根 當(dāng)扛二護(hù)一仏二0時，原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根 當(dāng)A =護(hù)-4處0時，原方程沒有實(shí)數(shù)根3. 用公式法解一元二次方程的步驟用公式法解關(guān)于 x的一元二次方程 蟲簽+加老Q)的步驟: 把一元二次方程化為一般形式； 確定a、b、c的值(要注意符號)； 求出X -斗處的值; 若-也c 0,則利

5、用公式尢二7土 J護(hù)-4恥 求出原方程的解;若仏 0時，此方程有實(shí)數(shù)解,Jp2 4q , p Jp2 4q,x2p2 4qv0時，此方程無實(shí)數(shù)解2.用配方法證明【答案與解析】10x27x 4的值小于0.10x27x10x27x)10x2x 410107一 x104949104004004949 41020402420400221117710xx204010X 上 2 0，二 10 x207 2 1112040即 10x2 7x 40 故 10x2 7x4的值恒小于0.2【總結(jié)升華】證明一個代數(shù)式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一個含完全平方式和一個 常數(shù)的式子來證明本題不是用配方法解

6、一元二次方程，但所用的配方法思想與自己學(xué)的配方法大 同小異，即思路一致.舉一反三:【變式】試用配方法證明:代數(shù)式2x3的值不小于23【答案】2x21162380，二 22382383.【答案】【解析】即代數(shù)式2x23的值不小于238若實(shí)數(shù)X, y滿足A. 1C；x2B.4x2yc.3 242對已知等式配方，得（x 2）2（y 1）2依荃的值是（2依0，二 x2,竺丄 嚴(yán)1 匸 3 2血.故選C.J3y 2仮晶2邁 (72 1)2 近1【總結(jié)升華】 本例是配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求 出待定字母的取值.舉一反三:【變式】(1) 2=+斂一 3的最小值是

7、(2)一忑-+虹+5的最大值是【答案】2 2(1) 2x 6x 32( x 3x)3x3 2(2)3 2(2)32(x |)21252 2所以臉g十尿3的最小值是15T(2) x2 4x 5 (x24x)(x24x 2222)5(x 2)29x所以至+ 4:K + 5的最大值是9.4.【答案與解析】分解因式：x4x22ax1a22ax 1a22x22x 2 ax1 a2(X42x2 1)(X22axa2)/2 八2(x 1)(X a)2(x21 x a)(x2【總結(jié)升華】 這是配方法在因式分解中的應(yīng)用，通過添項(xiàng)、配成完全平方式，進(jìn)而運(yùn)用平方差公式分解 因式.類型三、公式法解一元二次方程【答案與

8、解析】2m)x m 5m 0 .(1)當(dāng)m+n= 0且 詳0, n豐0時，原方程可化為 (4m m 豐 0,解得 x= 1.當(dāng)m+n 0時，n 5m,m n, b 4m 2n, cb224ac (4 m 2n)4(mn)(n 5m)36 m20 ,2n 4m J36m22(m n)2n2(m n)4m |6m|n 5mX11 , X2m n【總結(jié)升華】解關(guān)于字母系數(shù)的方程時，應(yīng)該對各種可能出現(xiàn)的情況進(jìn)行討論.舉一反三:【變式】解關(guān)于x的方程2x mx2 mx3x(m 1)；【答案】原方程可化為（1m)x2(m3)x2 0,/ a 1m, bm 3,c2,b24ac2(m 3)8(1 m)2(m 1) 0,J(m 1)2(m 1)2(1 m)2(1 m)： X1F，X2 1.1 m6 用公式法解下列方程:【答案與解析】(m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)= 4 m；方程整理為m24m 214m 5 4m 0,m22m=1, b= -2 ,c = -13