北京市東城區(qū)2015-2016學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試卷含答案

1、北京市東城區(qū)2015-2016學(xué)年上學(xué)期高二年級期末考試數(shù)學(xué)試卷（理科）本試卷共100分，考試時長120分鐘。一、選擇題（本大題共 10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知A（-1,-3）, B（3,5），則直線AB的斜率為（A. 2B. 1C.-2.圓心為（-3,2）且過點(diǎn)A（1,-1）的圓的方程是（2 2A. (x -3)(y -2) =5C. (x _3)2(y -2)2 =25D.不存在）-5二 25m =（）D. 4F列說法正確的是（）B. (x 3廣(y-2)D. (x 3)2 (y-2)3.已知直線x -2y，5=0與直線2x

2、 my -6 = 0互相垂直，貝U1A. - 1B.-44.已知m,n表示兩條不同直線，C. 1-：表示平面，其三視圖如圖所示，則這個四棱錐的體積是（）A.若 m /，n /，貝U m / nC.若 m 丄-：,m 丄 n,貝V n 二2 25. 雙曲線2x -y=8的實(shí)軸長是（A. 2B. 2.2C. 46. 一個四棱錐的底面為正方形B.若m丄，n二圧，貝y mnD.若 m / 二,m n,貝V n丄 J）D. 4. 2正（主MKHA. 1B. 2C. 3D. 4點(diǎn)，P是側(cè)面BCG B1內(nèi)一點(diǎn)，若A1 P 平面AEF,則線段 A P長度的取值范圍是 2xy2 _ 07. 在平面直角坐標(biāo)系 x

3、Oy中，M為不等式組x+2y-1王0，所表示的區(qū)域上一動點(diǎn),3x + y - 8 蘭 0則直線0M斜率的最小值為()11A.B.C.1D. 232258.已知拋物線C : y二x的焦點(diǎn)為 F, A(Xo,y)是C上一點(diǎn)，| AF |X。，則X。=4( )A. 1B. 2C.4D. 89.過點(diǎn)P ( 3,-1)的直線l與圓2x y2 =1有公共點(diǎn)，則直線1的傾斜角的取值范圍是( )兀A. (刁B.(兮C.D.。弓10點(diǎn)P到圖形C上每一個點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)P到圖形C的距離，那么平面內(nèi)到定圓C的距離與到定點(diǎn) A的距離相等的點(diǎn)的軌跡不可能是( )A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.直線二、填空題(本

4、大題共 6小題，每小題3分，共18分)2 211. 雙曲線 =1的兩條漸近線的方程為 。16912. 以等腰直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該三角形旋轉(zhuǎn)一周，若等腰直角三角形的直角邊長為1,則所得圓錐的側(cè)面積等于 。13. 已知 a =(1,1,0),b =(1,0,2)，則 |2ab| =。14. 如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面 2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬米。2 215.設(shè)橢圓C :務(wù)占=1(a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為a b3F1，F(xiàn)2 P為直線xa上一點(diǎn)， F2PF1是底角為30。的等腰三角形，貝U C的離心率為 16. 如圖，在棱長為1的正方體A

5、BCD - A1B1CQ1中，點(diǎn)E、F分別是棱BC, C。的中三、解答題(本大題共 5小題，共52分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17. (本小題滿分10分)CD/平面 PAB如圖，在四棱錐 P - ABCD中，底面ABCD是菱形，PA= PB,且側(cè)面PAB丄平面ABCD, 點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)。PEI AD。(I)求證：(H)求證：C10 分）18. (本小題滿分已知圓C經(jīng)過A(1,3), B(-1,1)兩點(diǎn)，且圓心在直線 y二x上。(I)求圓C的方程；(H) 設(shè)直線|經(jīng)過點(diǎn)(2, 2),且|與圓C相交所得弦長為 243，求直線|的方程。19. (本小題滿分10分)已知平行四邊形的兩

6、條邊所在直線的方程分別為x y - 1二0,3x - y 4 = 0，且它的對角線的交點(diǎn)為 M (3,3)，求這個平行四邊形其他兩邊所在直線的方程。20. (本小題滿分11分)如圖，PA丄平面ABC, AB丄BC, AB = PA = 2BC = 2,M為PB的中點(diǎn)。(I) 求證：AM丄平面PBC;(n)求二面角 A - PC - B的余弦值；PD(川)證明：在線段 PC上存在點(diǎn)D,使得BD丄AC,并求D的值。PC21. (本小題滿分11分)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) 0,焦點(diǎn)在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個 端點(diǎn)恰為一個正方形的頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F與x軸不垂直的直線I交橢圓于P, Q兩

7、點(diǎn)。(I)求橢圓的方程；(H)當(dāng)直線I的斜率為1時，求 P0Q的面積；(川)在線段0F上是否存在點(diǎn) M(m,0)，使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？ 若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由。【試題答案】、選擇題I. A2. D6. B7. A【、填空題3II. y x43. C 4. B 5. C8. A 9. D 10. D12. 、2二13. 1714. 2 .615. 316.普日42三、解答題17.解：（I）因?yàn)榈酌?ABCD是菱形,所以 CD/ AB。2分又因?yàn)镃D二平面PAB4分且AB二平面PAB所以CD/平面PAB5分（H）因?yàn)镻A= PB,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),所以

8、PE! AB。6分因?yàn)槠矫鍼AB丄平面ABCD,平面PAB 平面ABCD= AB,PE 平面PAB8分所以PE!平面ABCC。9分因?yàn)锳D 平面ABCD,所以PEI AD。10分18.解：（I）設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(a,a),依題意，有.(a -1)2 (a -3)2 = . (a 1)2 (a -1)2 ,即 a2 -6a 9 = a2 2a 1,解得 a = 1,所以 r2 =(1 -1)2(3 一1)2 =4 ,4 分所以圓C的方程為(x _1)2 (y _1)2 =4。5分(H)依題意，圓 C的圓心到直線I的距離為1,所以直線x=2符合題意。6分設(shè)直線 I 方程為 y 2 二k(x 一2

9、)，即 kx 一 y 2k 一2 = 0,則 J k2_3 L =1，解得 k =4，k2134所以直線I的方程為y 2 = -一 (x - 2)，即4x 3y - 2 = 0。9分3綜眉上，直線1的方程為x2=0或4x+3y 2=0。10分19.解：聯(lián)立兩條直線的方程，得到方程組x + y _1 =0,x y + 4 =0.r-3x =J解此方程組，得丿47y =-4如圖，平行四邊形37ABCD的一個頂點(diǎn)是 A()。2分4 4設(shè)C(xo，y)，由題意，點(diǎn) M( 3，3)是線段AC的中點(diǎn),X。-3yo -所以寧弋亍，2717解得 xo=?yo=：。由已知，直線AD的斜率kAD =3 ,因?yàn)橹本€

10、BC/ AD,1727所以，直線BC的方程為yli-EX-27）,44即 3x_y_16=0。7 分由已知，直線AB的斜率為kAB二-1。因?yàn)橹本€CD/ AB,1727所以，直線CD的方程為y 一 3 = _（x 一仝）,44即 x y -11 = 0。因此，其他兩邊所在直線的方程是3x_y_16=0,x y_11 = 0。10 分20.解：（I）因?yàn)?PA!平面ABC, BC二平面ABC, 所以PA! BC,因?yàn)?BC丄 AB, PA AB=A,所以BC丄平面PAB又AM二平面PAB,所以AM丄BC,因?yàn)镻A= AB, M為PB的中點(diǎn)，所以AM丄PB,又 PB BC 二 B ,所以AM丄平面

11、PBG3分（H）如圖，在平面 ABC內(nèi)，作AZ/ BC,則AP, AB, AZ兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz ,則 A(0,0,0), P(2,0,0), B(0,2,0),C(0,2,1), M (1,1,0)。AP =(2,0,0), AC =(0,2,1), AM =(1,1,0),設(shè)平面APC的法向量為n =(x,y,z)，貝Un AP 二 0,n AC =0,x=0,2y + z = 0.所以 n =(0,1,-2)。由(I)可知 AM =(1,1,0)為平面BPC的法向量,設(shè)n, AM的夾角為：，則cos 10 ,10因?yàn)槎娼茿-PC-B為銳角,所以二面角 A - P

12、C - B的余弦值為一1010(n)設(shè)D(u,v,w)是線段pc上一點(diǎn)，且PD 二 PC(0 e 1)，即(u 2,v,w)二，(一2,2,1)，所以 u=2-2 ,v=2 ,w=，所以 BD =(2 -2，2 -2, )，4由 BD AC =0，得，。54D,使得BD丄AC,11分因?yàn)?0,1，所以在線段PC上存在點(diǎn)5此時，PD2x21解：(I)由已知，橢圓方程可設(shè)為2a因?yàn)閮蓚€焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)恰為正方形的頂點(diǎn)，且短軸長為所以 b = c =1,a = . 2 。2所求橢圓方程為 y2 =1。2(n)因?yàn)橹本€I過橢圓右焦點(diǎn)F(1,0)，且斜率為1，所以直線l的方程為y = x - 1。設(shè)

13、 P(x1, y1), Q(x2, y2)。x?+2y2=221得3y十約一1，解得丫1=一1,丫2=-,y=x1,31 1 2所以 Spoq |OF | |yy2 |yi-y2|。6分匕 223(川)假設(shè)在線段OF上存在點(diǎn)M(m,0)(0 : m ：,1),使得以MP, MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形。因?yàn)橹本€|與x軸不垂直，所以設(shè)直線|的方程為y = k(x _ 1)(k廠0)。由！ 2 2x 2y 2,可得(1 2k2)x2-4k2x 2k2-2=0 , y =k(x 1),因?yàn)檑?16k4 4(1 2k2)(2k2 -2) =8(k21) 0 ,2 24k2k -2所以 x1 x22, x1 x22 。1 +2k21 +2k2設(shè) P(