在數(shù)列教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識

1、在數(shù)列教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識廣州市第八十七中學袁忠民【摘要】：在數(shù)列課堂教學中，通過培養(yǎng)學習興趣、敏銳的觀察力、豐富的想象力，從而訓練學生的創(chuàng)新思維，體驗創(chuàng)新的成功樂趣，達到培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識的目的.【關鍵詞】：創(chuàng)新意識 數(shù)列 觀察力 猜想變式基于數(shù)學的學科特點，基于中學數(shù)學的教學實踐，想要學生通過創(chuàng)新思維得到前人沒有的數(shù)學發(fā)現(xiàn)，或者解決數(shù)學界困擾眾多數(shù)學家的世界難題，無疑是一種不可能完成的任務.中央教育科學研究所閻立欽教授認為：“創(chuàng)新教育是以培養(yǎng)人的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力為基本價值取向的教育”1.所以，在數(shù)學課堂教學中，主要是倡導創(chuàng)新意識，倡導批判思維，教育學生學會多角度看問題，樹立不唯上，不

2、唯書，立異求新的精神，從而實現(xiàn)“培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神、創(chuàng)新能力和創(chuàng)新人格” 1的教育目的.以此評價數(shù)學課堂教學，不能簡單以結果論成敗，應該關注教學的全過程.在教師角度看，從課堂內(nèi)容的設計，到提問方式，語言表達，師生和諧互動，各個環(huán)節(jié)均能體現(xiàn)培養(yǎng)創(chuàng)新意識的教學目的；在學生角度看，關鍵是體現(xiàn)學生個人的自主性.只要是在學生個人已有的基礎上有突破性認識，有積極進步的探索精神和實踐，無論成果大小，結果是否精彩，整個過程就是創(chuàng)造性的，都具創(chuàng)新教育價值.哪些途徑和做法有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識？不同知識單元之間，設計和教法既有共性也有不同，針對單元內(nèi)容的特點進行設計才更有效.數(shù)列單元知識有趣，題型靈活，與函數(shù)、

3、方程等知識聯(lián)系緊密，應用廣泛.課程學習入手易，不陌生（一些問題小學、初中就有涉及），特別適合以此為素材培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識.本文以高中數(shù)列單元的教學為例，談談在教學中培養(yǎng)創(chuàng)新意識的一點做法.一、趣味引導探索激情俗話說:“興趣是一個人最好的教師”.愛因斯坦曾說：“興趣和愛好是最大的動力”.學生有了對數(shù)學、思維的興趣和愛好，就會“帶著一種高漲的、激動的情緒從事學習和思考”1.興趣可以引導和推動一個人去鉆研，去探索，將注意力放在所感興趣的問題上，從而獲得創(chuàng)造的成功.反之，如果學生對數(shù)學學習沒有興趣，甚至對數(shù)學學科產(chǎn)生厭煩情緒，這就容易導致學習效率低下，更談不到創(chuàng)新思維.因此培養(yǎng)創(chuàng)新意識，首先要解決興趣問

4、題.數(shù)列教學以興趣為導向，可從以下兩方面展開.（1）以填數(shù)字游戲引入新課學生對數(shù)列并不陌生，從小學開始，就已經(jīng)接觸了許多數(shù)列問題，通常最多的是簡單歸納，總結規(guī)律之類的填數(shù)字游戲，有一定難度的也不少. 簡單的如：， ，；， ，；1，3，9， ，81，；復雜的如， ，（三角形數(shù)）；， ，（正方形數(shù)）；， ，（斐波那契數(shù)列）；再例如圖形類的題目：例1（2004上海春季8）根據(jù)下列5個圖形及相應點的個數(shù)的變化規(guī)律，試猜測第個圖中有_個點2.。 （1） （2） （3） （4） （5）此題若改為第六圖共幾個點？根據(jù)數(shù)列各項依次為，大多數(shù)學生都能迅速找到正確答案.這一類的填數(shù)字游戲?qū)W生大部分都接觸過，感覺不

5、陌生.其內(nèi)容涉及等差，等比甚至遞推關系等數(shù)列問題，內(nèi)涵豐富，非常有趣.數(shù)學教學貴在啟發(fā)興趣.數(shù)列的新課程引入過程中，以小學時常玩的填數(shù)字游戲開始，讓學生在游戲中領會等差、等比數(shù)列的定義，歸納通項公式，教師只需事先設計好用來引導的練習，由淺入深，先易后難，循序漸進，學生感覺熟悉而親切，能在最短的時間內(nèi)融入數(shù)列的氛圍，迅速適應新課程學習.設計運用得當時，水到渠成，效果奇好. （2）以數(shù)學史料豐富數(shù)列知識，增加趣味性喜歡聽故事是人的天性，雖然數(shù)學史不等于數(shù)學故事，但是數(shù)學家或數(shù)學界的逸聞趣事，不僅可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，而且對學生的成長還富有啟發(fā)作用.法國數(shù)學家亨利龐加萊曾說：“如果我們想要預測

6、數(shù)學的未來，那么適當?shù)耐緩绞茄芯窟@門學科的歷史和現(xiàn)狀” 6.在課堂上進行數(shù)學教學時，結合教科書，適時穿插一些數(shù)學趣聞，說說數(shù)學史上公式、定理等發(fā)現(xiàn)過程，講講數(shù)學史上的難題是如何被解開，可以增加感性認識，接近單元內(nèi)容，調(diào)動學生的積極性；展示數(shù)學家的圖片，可以拉近與數(shù)學家們的距離，添加理性課堂的“人情味”，引發(fā)學習動機，保持對數(shù)學的興趣和熱忱.遞推公式教學中，菲波那契數(shù)列自然不可少.適時介紹意大利數(shù)學家斐波那契、以他名字命名的斐波那契數(shù)列（，）；講講自然界有趣的花瓣數(shù)目問題；說說它和黃金分割數(shù)的神奇關系；以斐波那契數(shù)列引入數(shù)列的遞推問題當然很有趣.探索自然界的斐波那契數(shù)列，黃金分割數(shù)，把它們作為課

7、外研究性學習的課題介紹給學生也很不錯. 等比數(shù)列部分，謝賓斯基（sierpinski）三角形,有趣的圖形變換讓人眼花繚亂；細菌的分裂速度之快，讓人驚訝不已；幾何級數(shù)式增長，國際象棋故事里的數(shù)字-264到底有多大6？等差數(shù)列求和部分，德國天才數(shù)學家高斯的故事最出名.在高斯求和的趣題中，給出問題：布置學生首先學習和理解高斯的求和方法：即.接著提出問題: (奇數(shù)個)再提出問題: (要討論是奇數(shù)或是偶數(shù)？)設問：有沒有更好的，比高斯更聰明的辦法？（提示：回憶梯形面積公式及推導過程）學生們興趣大增，注意力一下子被吸引住了.有高斯求和的鋪墊，加上討論提示等，學生很快得到啟發(fā)倒序相加求和法：令，顯然，兩式相

8、加得：.結合高斯求和的故事，學生們至少有以下四個收獲：初步了解“數(shù)學王子”高斯；記住了等差數(shù)列里的一個重要性質(zhì)，當則有；記住了求和公式；學會倒序相加的求和方法.中國古代數(shù)學典籍中記載的一個數(shù)學詩歌體的題目也會引起學生對數(shù)列求和問題的興趣.例2 巍巍寶塔： 遙望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，試問尖頭幾盞燈？答案：塔頂有三盞燈.此詩構思新穎，膾炙人口，有聲有色，饒有趣味.配合教學內(nèi)容，適當選用數(shù)學史料，增加課堂以外的認識，使得數(shù)學課堂教學更加充實，內(nèi)容也變得色彩豐富.課堂上穿插的益智游戲，一張圖片或一幅畫、一個小故事，配合輕松幽默的語言，經(jīng)常能使得學生趣味盎然、玩味無窮，進而激蕩出學

9、習探索的興趣，這對培養(yǎng)創(chuàng)新意識起到很好的鋪墊和激勵作用.二、研究性學習嘗試創(chuàng)新研究性學習有助于培養(yǎng)創(chuàng)新能力，這一點在廣大中小學的研究性學習實踐中已有證實，許多中小學生的發(fā)明創(chuàng)造就是研究性學習的成果.等比數(shù)列的模型，應用廣泛，作為研究性學習課題很恰當.由于相關話題太多，涉及多學科，多視角，而每個學生的興趣點不同，將有關知識布置給學生，學生自由組合，自主選題，通過搜集材料，參與調(diào)查，舉辦展示，互相介紹研究成果，交流經(jīng)驗和收獲等做法，可以極大的激發(fā)探索的興趣.整個過程下來，對培養(yǎng)數(shù)學學科的興趣，激發(fā)創(chuàng)造性，體驗探索的過程很有幫助.下表是一些常用的學生研究課題：序號主題序號主題1與等比數(shù)列求和有關的故

10、事6放射性元素的半衰期及應用2中國經(jīng)濟增長及預測7細菌分裂模式與等比數(shù)列3銀行貸款的等額還款8流感擴散速度預測4股神巴非特的奇跡與復利增長9新聞效應及信息傳播速度5九連環(huán)益智游戲210計算機病毒傳播速度預測三、培養(yǎng)觀察能力，善用類比、歸納、猜想等思想方法觀察是思維探索的大門，敏銳的觀察力是創(chuàng)造思維的起點.數(shù)列問題特有的直觀性，正好適合對學生進行觀察能力的培養(yǎng)，歸納、類比、猜想更是走向創(chuàng)新的常用途徑.例3 觀察以下數(shù)列的特點，填空并歸納它們的通項公式.， ， ，.， ， ，. ， ， ，. ， ， ，. ， ， ，.例4 以下結合給出數(shù)列：，（一階差分數(shù)列）5.設計任務1：觀察并找出該數(shù)列的特點

11、.常見觀察結果之一：發(fā)現(xiàn)規(guī)律-后項減前項是等差數(shù)列，即，進一步歸納出一般項.常見觀察結果之二：看到，,從而第個為.參考圖片如下：設計說明：數(shù)列中的規(guī)律就藏在數(shù)字背后，觀察、嘗試，再觀察，再嘗試，反復進行中，不斷發(fā)現(xiàn)新的問題，不斷接近答案，整個過程處處考驗觀察能力.通過對目標的觀察訓練，有助于發(fā)現(xiàn)新事物，嘗試新方法，有助于培養(yǎng)創(chuàng)新意識.設計任務2：找出該數(shù)列的通項公式.方案一：因為 ，.解方程組消元（或疊加法）得 .方案二：由，.第個即.設計說明：以上結果，啟發(fā)學生通過觀察、交流，找到答案.無論猜想之后的數(shù)學歸納法證明，或者聯(lián)想對比其它已知數(shù)列，或者由遞推公式運用疊加法求通項公式，都回到常用的數(shù)

12、學方法上來.設計任務3：你還能想到其它辦法求出該數(shù)列的通項公式嗎？聯(lián)想結果之一：數(shù)列，類比聯(lián)想數(shù)列，.即，故所求數(shù)列，.可寫成，.即通項 .聯(lián)想結果之二：觀察如圖楊輝三角，數(shù)列，.各項依次為，.故通項公式為.設計任務4:求該數(shù)列的前項和.方案之一：利用通項公式=拆項為與等差數(shù)列分別用公式求和，再化簡合并，可得和為.方案之二：（對應任務3的聯(lián)想結果之二）=.設計任務5：觀察前項和形成的新數(shù)列，繼續(xù)深入探討，（二階差分數(shù)列）.例5 （2006高考廣東卷14題）在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第堆最底層（第

13、一層）分別按如圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，則；（答案用表示）. 由楊輝三角顯然，2.以上任務可以連續(xù)追問，也可以單獨提出.學生結合已有的知識，經(jīng)過思考、聯(lián)想，慢慢接近目標，伴隨著問題的逐步深入和展開，能充分發(fā)展學生創(chuàng)新能力.這種觀察、猜想的思維過程無疑是最有價值的創(chuàng)新活動體驗.另外，數(shù)學歸納法的應用，也是一個從觀察猜想論證的思維過程.四、問題引導，集體參與，發(fā)散思維，變式教學著名數(shù)學家徐利治教授指出：“創(chuàng)造能力知識量發(fā)散思維能力”.一題多解、發(fā)散思維、能有效促進創(chuàng)造性思維的發(fā)展. “橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各

14、不同”，不急于給學生的認識下結論，和學生站在一起，以學生的角度，從不同方面來進行分析、討論.看問題的角度不相同，所獲得的結論，采用的方法也就不相同，才能提出創(chuàng)造性的見解，樹立創(chuàng)新意識.（1）一題多解，發(fā)散思維數(shù)列問題的題型靈活，解法多樣，是一題多解，訓練思維的好材料.例6（必修5第68頁b組第1題）：等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且 ，則 （ ）a、 b、 c、 d、 針對不同思考角度提出問題，進行問題設計，調(diào)動學生的創(chuàng)新思維，掌握常規(guī)更能突破常規(guī).常規(guī)任務：常規(guī)解法，先化簡再求值，參考等比數(shù)列的主要性質(zhì)都有哪些？由目標式子化簡得原式= ，又因為，結合等比數(shù)列性質(zhì)，顯然，故上式即 = =10.創(chuàng)新任

15、務：能否解出首項，公比再進而求出各項，代入目標式子計算？（條件不足，無法接出具體首項公比）.追問，既然首項公比都不能確定，為什么答案又顯示是唯一的？經(jīng)過提示和討論，學生不難發(fā)現(xiàn)以下思路.思路1、確定首項公比其中之一，另一個就固定了，不妨令公比為1，又，則各項皆為3，故所求目標式子顯然為10個1相加，故答案選b.思路2、用公比表示首項，解得，可得，故答案選b.思路3：將目標和已知都用首項和公比表示，兩者之間有聯(lián)系，可整體代換.由已知得：，而，故答案選b.在歷年的高考中，數(shù)列的類似問題都屢見不鮮.選其中合適的例題做引導，調(diào)動學生的參與，一題多解，發(fā)散思維，可以很好的訓練分析思維能力，在解決問題的過

16、程中發(fā)展學生的創(chuàng)造性. （2）變式教學變式教學引導創(chuàng)新思維，制造新問題，研究新題型.例如等差數(shù)列一個簡單問題的變式過程.例7 寫出數(shù)列的前5項， ，并求通項公式4.變式訓練1： 改為 （變形）.變式訓練2： 改為（等比）.變式訓練3： 改為（轉(zhuǎn)化為等差問題）.變式訓練4： 改為（轉(zhuǎn)化為等差問題）.變式訓練5： 改為（轉(zhuǎn)化為等比問題）.變式訓練6： 改為（轉(zhuǎn)化為等比問題）.隨著條件的改變，學生逐步理解新題型的產(chǎn)生過程，學會獨立思考，樹立探索、創(chuàng)新的意識.五、啟發(fā)式、鼓勵式語言，開放式和諧課堂“話有千說,巧說為妙”.課堂教學的語言表達很重要.在嚴謹?shù)臄?shù)學語言框架下，教師應努力提高語言的形象性和藝術

17、性，多用啟發(fā)性和鼓勵性語言，避免消極和沖突性的語言.啟發(fā)式的語言，可以帶領學生深入思考，能夠引導學生突破常規(guī)的解題方式，建立多元的思考能力3，實現(xiàn)培養(yǎng)創(chuàng)新思維的意圖.例如以下問法：“還有沒有其它更好的方法呢？”.“假如這個條件改為？你會得到什么結果？”“這個結論能不能加以推廣？”“這個問題使我們聯(lián)想到那些學過的知識？”. 對課堂表現(xiàn)突出的學生，抓住時機，及時予以表揚，激勵.讓盡可能多的孩子體會到盡可能多的成功滋味，認為學好數(shù)學并不困難，產(chǎn)生對數(shù)學學習的濃厚興趣，這樣就可以使學生的“苦學”變?yōu)椤皹穼W” 3. 數(shù)學課堂常用的鼓勵性語言例如：“這個方法太好了，你真棒”.“你的想法很新鮮，可以試試”.

18、“你提的問題很有價值，說明你觀察很細致”.“你是怎么想到的，老師都沒有這么想過”. 鼓勵性的語言關鍵要態(tài)度誠懇，發(fā)自內(nèi)心，且要抓住評價、贊美的焦點，切忌虛情假意，矯揉造作.教師還要注意的是，不同的學生會有不同的思考角度，但是無論結果是否合理，都包含了理性的思考和直覺的判斷，包含著創(chuàng)新要素，因此，無論是符合邏輯的，還是 “異想天開”，都應給予鼓勵，精心保護學生積極性，才能更好地發(fā)揮他們的創(chuàng)造力.在看到學生遇到困難問題，想要放棄思考和努力的時候，還可以來個“火上澆油”式的反向激將法，有時也會產(chǎn)生意想不到的好效果.比如“小學生也常做這類題”“我們比小學生肯定強多了” 等等語言.只要不是譏諷，利用比較產(chǎn)生的競爭，因競爭而產(chǎn)生鉆研的興趣，可以很好地激發(fā)學生的好勝心，促使學生并聯(lián)合起來，群策群力，積極進行討論.在這樣的課堂上，教師是導演同時又兼演員，還