反證法證明題(簡(jiǎn)單)(可編輯修改word版)

1、反證法證明題例1.已知厶,ZB , ZC為AABC內(nèi)角.求證：厶，ZB, ZC中至少有一個(gè)不小于60。.證明：假設(shè)AABC的三個(gè)內(nèi)角厶，ZB, ZC都小于60。, 即 ZA 60, ZB 60, ZC 60,所以ZA + ZB + ZC 180 ,與三角形內(nèi)角和等于280”矛盾， 所以假設(shè)不成立，所求證結(jié)論成立.例2.已知4工0,證明x的方程ar = b有且只有一個(gè)根.證明：由于。工0,因此方程ax = h至少有一個(gè)根x = b . a 假設(shè)方程ar = b至少存在兩個(gè)根，不妨設(shè)兩根分別為山,孔且則 avi = b, axi = b ,所以 avi = ax2 ,所以a(xi 一血)=0 .因

2、為M豐x2,所以山一七工0 ,所以a = 0,與已知dHO矛盾， 所以假設(shè)不成立，所求證結(jié)論成立.例3.已知/ +滬=2,求證a + b2,則有a2-b,所以 R (2 - 歷彳即 / 8 -12/? + 6b2 - P ,所以 6/3 8 -12Z? + 6b2 - Z?3 = 6(/? -I)2 + 2 .因?yàn)?6(Z?-l)2 + 22所以/ +夕2,與已知R +夕=2矛盾.所以假設(shè)不成立，所求證結(jié)論成立.例4.設(shè)a是公比為的等比數(shù)列，Sn為它的前n項(xiàng)和.求證：S不是等比數(shù)列.證明：假設(shè)是S等比數(shù)列，則S2 = SS ,ii213即 q2(l+g)2=“ (l+g + g2)因?yàn)榈缺葦?shù)列

3、G1H0,所以(l + q)2=i + + q2即 = 0,與等比數(shù)列QHO矛盾，所以假設(shè)不成立，所求證結(jié)論成立.例5.證明是無(wú)理數(shù).m 證明：假設(shè)血是有理數(shù)，則存在互為質(zhì)數(shù)的整數(shù)m, n使得血所以加=y2n即nr = 2n2 ,所以nr為偶數(shù),所以加為偶數(shù).所以設(shè)m = 2k伙e /V*),從而有42 = hr 即 n2 = 2k2 .所以於也為偶數(shù)，所以為偶數(shù).與加，“互為質(zhì)數(shù)矛盾.所以假設(shè)不成立，所求證J亍是無(wú)理數(shù)成立.6已知直線a, b和平面，如果, b c證明：因?yàn)閍/b9所以經(jīng)過(guò)直線a , b確立一個(gè)平而因?yàn)閍(Z，而a u且 a / /b 9所以與是兩個(gè)不同的平而.因?yàn)榉絬 所以

4、n下而用反證法證明直線“與平而沒(méi)有公共點(diǎn).假設(shè) 直線與平而有公共點(diǎn)P,則P w n =/?即點(diǎn)P是直線與b的公共點(diǎn)， 這與a/矛盾.所以all .例7.已知0a,btch (2 一 b)al. (2 一 c)bh則(2 - a)c(2 一 h)a(2 -c)b.(2 ci) + ci 又因?yàn)樵O(shè) 0v“,b,cv2, (2-)a = 1.2 同理(2-b) bl,(2-c) cl.所以(2 - )c(2 - b)a (2 - c)b0,且x + y2.則_ 和中至少有一個(gè)小于2x yf l + y 1 +x證明：假設(shè)2, 2,因?yàn)?x, y0,所以 1 +y 2,v,l+x 2 y ,可得x +

5、 y2矛盾.所以假設(shè)不成立，所求證結(jié)論成立.例9.設(shè)0求證：(1 - 人(1 - b)e, (1-前,不可能同時(shí)大J4111證明:假設(shè)設(shè)(1 -a)b_9 (l-b)c_, (1 -c)a_94441則三式相乘：ah V (1 - )b(l 一歷c(l 一 c)a 64()+汀 1又 V0 a, b.c Ov(l-昨一-為-同理：(1-Z?)Z? 1, (1 - c)c 2以上=式相乘：441(1 一 a)“(l 一 b)b(l 一 c)c 一與矛盾64所以原式成立例10.設(shè)二次函數(shù)f(x) = x2+px + qf求證：(q,(2)|,|/(3)|中至少有一個(gè)不小于一 2 證明：假設(shè)|/(1)|,|/(2)|,|/(3)| 都小于;，2則 |/(1 + 2|/(2)|+ |/(3)| |/(1)-2