圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)

1、圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明及應(yīng)用初探一、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)1. 1橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上；（見圖橢圓的這種光學(xué)特性，常被用來設(shè)計(jì)一些照明設(shè)備或聚熱裝置例如在F,處放置一個(gè)熱源，那么紅外線也能聚焦于 F2處，對(duì)F2處的物體加熱。電影放映機(jī)的反光鏡也是這個(gè)原理。證明：由導(dǎo)數(shù)可得 切線I的斜率k y xxJ x x0b2Xo2a yo，而PFi的斜率ki,PF?的斜率k2Xo CXoC - I到PFi所成的角滿足tan2y。b x。ki k X。c a2 y。1 kki 1bXy。1 2Xo cay。2 2 2 2 2 ay。 b Xo

2、b ex。-2 722a b xy。 a cy。Q P x）,y。在橢圓上， tan,同理，PF2到I所成的角滿足taney。k k21 kk2b2ey。 tan tan ，而，。,一,21. 2雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上；（見圖.雙曲線這種反向虛聚焦性質(zhì)，在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)等方面，也能找到實(shí)際應(yīng)用.1. 3拋物線的光學(xué)性質(zhì) ：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的軸（如圖）拋物線這種聚焦特性，成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇.例如探照燈、汽車大燈等反射 鏡面的縱剖線是拋物線，把

3、光源置于它的焦點(diǎn)處，經(jīng)鏡面反射后能成為平行光束，使照射距離加大， 并可通過轉(zhuǎn)動(dòng)拋物線的對(duì)稱軸方向，控制照射方向.衛(wèi)星通訊像碗一樣接收或發(fā)射天線，一般也是以 拋物線繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)得到的，把接收器置于其焦點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星，這樣可以把衛(wèi)星 發(fā)射的微弱電磁波訊號(hào)射線，最大限度地集中到接收器上，保證接收效果；反之，把發(fā)射裝置安裝在 焦點(diǎn)，把對(duì)稱軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星，則可以使發(fā)射的電磁波訊號(hào)射線能平行地到達(dá)衛(wèi)星的接收裝置，同樣 保證接收效果.最常見的太陽能熱水器，它也是以拋物線鏡面聚集太陽光，以加熱焦點(diǎn)處的貯水器的.圖圖圖要探究圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，首先必須將這樣一個(gè)光學(xué)實(shí)際問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行

4、解釋論證。二、問題轉(zhuǎn)化及證明2. 1圓錐曲線的切線與法線的定義設(shè)直線I與曲線C交于P , Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線I連續(xù)變動(dòng)時(shí)，P , Q兩點(diǎn)沿著曲線漸漸靠近，一直到P , Q重合為一點(diǎn)M ,此時(shí)直線I稱為曲線c在點(diǎn)M處的切線，過M與直線I垂直的直線稱為曲線c在點(diǎn)M處的法線。此時(shí)，我們可以借助圓錐曲線的切線和法線，對(duì)這一問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化:圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明預(yù)備定理1.若2X點(diǎn)P(x),yo)是橢圓飛a2吉1上任一點(diǎn)，則橢圓過該點(diǎn)的切線方程為：XoX2ayy1。證明:2b2(1 篤)a,1當(dāng)a時(shí)，過點(diǎn)P的切線斜率b2k 一定存在，且k y |x xo，對(duì)式求導(dǎo)：2yy x ,a點(diǎn)而當(dāng)y|xxob2xo2a

5、 yo,切線方程為y。-(x Xo),a yoP(Xo, yo)在橢圓2Xoa2卑 1 ，代入得bXoX2a里1,bX a 時(shí)，yo切線方程為a，也滿足式，故智ayoyb21是橢圓過點(diǎn)P(xo,yo)的切線方程.預(yù)備定理 2.若點(diǎn)P(Xo, yo)是雙曲線2x2a2y21上任一點(diǎn)，則雙曲線過該點(diǎn)的切線方程為:b2XX2aVoV 1眉1證明:2x2a1當(dāng)a時(shí),過點(diǎn)P的切線斜率k 一定存在，且k y |x xo,對(duì)式求導(dǎo)：2yyylxxo警，切線方程為ya yoyo字(x Xo),a yo點(diǎn)P(xo,yo)在雙曲線2X22y21上，故2Xo-Taba而當(dāng)xa時(shí)，y0切線方程為XP(xo,yo)的切

6、線方程2卑1 代入得b2XoX2 ayoyb21 ，a，也滿足式，故XoXyoy1是雙曲線過點(diǎn)2 ab2預(yù)備定理3.若點(diǎn)P(Xo, y)是拋物線y2yy p(x Xo)證明：由y2 2 px，對(duì)x求導(dǎo)得：2yy 2p2px上任一點(diǎn)，則拋物線過該點(diǎn)的切線方程是px px。,o時(shí)，切線方程為Xo o也滿足式,當(dāng)yo 0時(shí)，切線方程為y而 2pxoyy p(xp2y (x xo)，即 yoy yo yoxo)，而當(dāng) yo o,xo故拋物線在該點(diǎn)的切線方程是yy p(x X。).定理1.橢圓上一個(gè)點(diǎn)p的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點(diǎn)P處的法線平分2 2已知：如圖，橢圓C的方程為 篤每 1 , F1,F2分

7、別是其左、右焦點(diǎn)，a bl且過點(diǎn)P的橢圓的法線，交 x軸于D ,(圖)l是過橢圓上一點(diǎn) P(xo, yo)的切線，1為垂直于 求證：f2pd,F1PD,2X證法一：在C ： -ya2yb21上,P(xo, yo)則過點(diǎn)P的切線方程為:XX2ayoy 1b21，p且與切線I垂直的法線，xo yo (書bc 2D( )2xoa則 1：(x (駕a法線1 與 x軸交于,o),2c“ | FQ |2X0 c,| F2D | c 2 Xo , aa|FQ| |PF1| PF11 a exo,| PF21 a exo，一|F2D| |PF2|，故可得2b x0y00，而PF1的斜率k1 , PF2的斜率X

8、o c|FQ|F2D|2a2acxoCxo，又由焦半徑公式得:PD是 BPF2的平分線,9o證法二：由證法一得切線I的斜率ky|x x 2a yok2xy , I到PFi所成的角 滿足：tan ckii kki.2y b x02xc a y.-2_b xy0(xc)a2y2 2, 2 2, 2a y0 b x0 b cx0(a2 b2)xy0 a2cy02x P(x, y)在橢圓 C : pa同理，PF?到I所成的角滿足tan i kk2cy，k2b2cytantan故，切線I為 FPF之角分線。而，（），證法三：如圖，作點(diǎn)F3，使點(diǎn)F3與F?關(guān)于切線I對(duì)稱，連結(jié)Fi，F(xiàn)3交橢圓C于點(diǎn)PF面只

9、需證明點(diǎn) P與P重合即可。方面，點(diǎn)P是切線I與橢圓C的唯一交點(diǎn)，則|PF! | IPF2I 2a，是I上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和的最小值（這是因?yàn)镮上的其它點(diǎn)均在橢圓外）。另一方面，在直線I上任取另一點(diǎn) P, / | P Fi | PF2| |PFi | | PF3| IF1F3I |PFi | |PF2|即P也是直線 AB上到兩焦點(diǎn)的距離這和最小的唯一點(diǎn)，從而P與P重合，即而得證定理2 雙曲線上一個(gè)點(diǎn) P的兩條焦半徑的夾角被雙曲線在點(diǎn)P處的切線平分（圖）；2已知：如圖，雙曲線F2分別是其左、右焦點(diǎn)，I是過雙曲線C上的一C的方程為篤a點(diǎn)P（xo,y。）的切線,x軸于點(diǎn)D ,交設(shè) FiPD,F2PD

10、c|PFi| | X0aca|,|PF2| | X。aa |，雙曲線的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F(c,0), F (c,0)，故 |DFi |aca cI II x0 al,l DF2 I I | x0X0 ax0 a1 c 1 Ix aI aI-x0 aI aIDFiIIDF2Ix定理3拋物線上一個(gè)點(diǎn) P的焦半徑與過點(diǎn)P且平行于軸的直線的夾角被拋物線在點(diǎn)P處法線平分(圖)。已知：如圖，拋物線 C的方程為為y 4cx，直線I是過拋物線上一 點(diǎn)P(Xo,y)的切線，交x軸于D， DPF , PDF ， 反射線PQ與I所成角記為，求證：證明：如圖，拋物線C的方程為C : y2 4cx，點(diǎn)P(x0, y0)在

11、該拋物線上，則過點(diǎn)P的切線為 yy p(x Xo)，切線|與x軸交于D( x,0)，焦點(diǎn)為F(c,O)，(同位角)，v |PF |,(xo c)2 心 |x。c|,|DF|x。c|,a |PF | | DF |,通過以上問題轉(zhuǎn)化可知，圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)是可以用我們學(xué)過的知識(shí)證明的。那么它在解題和生產(chǎn) 生活中有何應(yīng)用呢三、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用3. 1解決入射與反射問題例1.設(shè)拋物線C :y2 x，一光線從點(diǎn) A (5 , 2)射出，平行C的對(duì)稱軸，射在C上的P點(diǎn)，經(jīng)過 反射后，又射到 C上的Q點(diǎn)，貝U P點(diǎn)的坐標(biāo)為 , Q點(diǎn)的坐標(biāo)為。解：如圖，直線 AP平行于對(duì)稱軸且 A(5 , 2) ,則

12、P點(diǎn)的坐標(biāo)為(4, 2),1 2反射線PQ過點(diǎn)F(丄,0)，設(shè)Q(t2,t),4t 28111則，解得：t - , Q(,-)t214 115864844圖 3.1.1例2.已知橢圓方程為2x252y16次反射回到 A點(diǎn)，設(shè)二次反射點(diǎn)為1，若有光束自焦點(diǎn) A (3 , 0)射出，經(jīng)二B,C，如圖3.1.2所示，則 ABC的周長為O2解：橢圓方程為252y- 116 A (3 , 0)為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，射光線AC定過另一個(gè)焦點(diǎn) A (-3故厶ABC的周長為：AB BA中，c225自 A (3 ,0)AC CA169 ,0)射出的光線 AB反射后，反4a 4 5 20。圖 3.1.22 2例3.

13、雙曲線C : L 1,又a C，已知A(4 , 2.2),8 8F (4 , 0)，若由F射至A的光線被雙曲線C反射，反射光通過P(8,k)，則 k=。解：入射線FA反射后得到的光線 AP的反向延長線定過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn) F ( 4,0) , k 3 &12 83. 2解決一類“距離之和”的最值問題張奠宙教授說“在一般情況下，光線在傳播過程中，總是選擇最圖 3.1.3近的路線從一點(diǎn)傳播到另一點(diǎn)。這雖然還只是一種停留“經(jīng)驗(yàn)、感覺” 層面上的結(jié)論，但卻為我們研究一類“距離之和”取值范圍問題時(shí)指 明了思考的方向，從而解決了一個(gè)從“想不至到“想得到”的關(guān)鍵問題。如果再輔以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，這種“經(jīng)驗(yàn)、

14、感覺”依然是很有價(jià)值的、不可替代的?！蔽易x了他的文章，深受啟發(fā)，并用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)解決了我們經(jīng)常見到而又覺得復(fù)雜的一類最值問題。2 2例4.已知橢圓C: -1 , Fi、F2為分別是其左右焦點(diǎn)，點(diǎn) Q(21) , P是C上的動(dòng)點(diǎn)，求259MF1 MQ的取值范圍。圖 3.2.1圖 3.2.2圖 3.2.3(一)分析猜想：(1) 經(jīng)計(jì)算，Q(2,2)點(diǎn)在橢圓內(nèi)，由于橢圓是封閉圖形，因此 MF1 MQ應(yīng)該有一個(gè)封閉的取 值范圍，既有最小值也有最大值。(2) 同樣根據(jù)光線的“最近傳播法則”，結(jié)合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，可得：從F1射出被橢圓反射后經(jīng)過點(diǎn)Q的光線所經(jīng)過的路程往往是最短的。這種情況又分為兩類，

15、一是被上半橢圓反射(如圖3.2.1 ,光線從F1R Q ),二是被下半橢圓反射(如圖，光線從F1P2F2Q ),究竟哪種情況距離之和更小呢顯然，根據(jù)橢圓定義，圖中的 PR PQ 2a ( 2a為橢圓長軸長)，而圖中的P2F1 F2Q 2a，可見圖所示的情況距離之和更小。但是，最大值又是多少呢圖 3.2.2所示的光線又有什么特點(diǎn)呢將圖3.2.1.和圖中的光線反射路線合并圖，由于F2QF2F1PQ PF1是定值4a ( a為橢圓長半軸長)，而|PQ PR由前面知最小，由此猜測(cè) PQ| |P2F1可能就是最大值。(二)證明|pf|pq是最小值。如圖3.2.2，連接Q F2，延長交橢圓于F2，在橢圓上

16、另取一點(diǎn) F2 ,由橢圓定義知：BQQF2PF1| P2 F1F2 F21(*)，因?yàn)?| F2F2 |PQQF21,代入(*)式得：PQQF2| F2F1| | RF1 RQ QF21，所以，RQ | RF1 | PR PQ |。猜想得證。（三）計(jì)算：綜上所述，只需求出|F2Q| . （4 2）2 42 2.10，可得最小值為2a | F2Q| 10 2.10，最大值 為 2a | F2Q| 10 2.10.2例5已知雙曲線C： X2 乞 1 , Fl、F2為分別是其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q（4,-） , M是C上的動(dòng)點(diǎn)，32求MF2 MQ的取值范圍。分析猜想：經(jīng)計(jì)算，Q點(diǎn)在雙曲線右支開口內(nèi)部。由于雙

17、曲線是不封閉曲線， 顯然MF2 MQ可MF2MQ的最小值。根據(jù)光線的“最近Q的光線所經(jīng)過的路程往往是最短的，再結(jié)反射光線的反向延長線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)）以無限大，故要求 MF2 MQ的取值范圍，關(guān)鍵是求出傳播”特點(diǎn)，我們猜想：從 F1射出經(jīng)雙曲線反射后經(jīng)過點(diǎn) 合雙曲線的光學(xué)性質(zhì)（從一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓周反射,可作出從F1射出被雙曲線反射后經(jīng)過點(diǎn)Q的光線：連接F1Q，與雙曲線的交點(diǎn)即為使得MF2MQ最小的點(diǎn)，設(shè)為 P點(diǎn)，光線從F2P Q。（見圖2）（二）證明：如圖2 :按猜想作出點(diǎn)P，由于所求點(diǎn)P顯然不在雙曲線的左支上（此時(shí)顯然距離PF1|PF2 |PF1|PF2|，即PF1 |，兩邊同加PF2

18、 得:之和不會(huì)最?。?，故在右支上另取一點(diǎn) P，由雙曲線定義知:PF1 IPF2 PF1PF2 |，因?yàn)?PF1 PQ | PQ所以 PF1 PQ PF2 |PQPF1 PF2 |PQ |PR| |PF2|,故PQ PF2| PQ |PF2 |，猜想得證。（三）計(jì)算：由題意知9- F1( 2,0),Q(4,-),- |PQ| |PF2|FP| |F1P| IPF2I11=| F1Q| （| F1P| |PF2|）=|F1Q| 2A = 2圖 3.2.5例6.已知拋物線C： y2 4x , F是其焦點(diǎn)，點(diǎn)Q（2,1）,M是C上的動(dòng)點(diǎn)，求MF MQ的取值范圍。分析：由于拋物線不是封閉曲線，顯然沒有最

19、大值，因此關(guān)鍵是求最小值。根據(jù)拋物線光學(xué)性質(zhì)（從焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射， 反射光線與對(duì)稱軸平行， 反之也成立），結(jié)合光線的“最近傳播”特點(diǎn), 我們猜想：過 Q與對(duì)稱軸平行的直線與拋物線的交點(diǎn)可能就是使距離之和最小的點(diǎn)，設(shè)為P點(diǎn)（見圖3.2.6 ）?？捎蓲佄锞€的定義證明猜想是正確的。且PF PQ 33. 3.圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)在解決與“切線”相關(guān)問題時(shí)起簡捷作用。光線反射總是滿足反射定律（入射角等于反射角），光線被曲線反射也不例外，此時(shí)的法線就是過反射點(diǎn)的曲線的切線的垂線。可見，曲線的切線和與曲線有關(guān)的反射問題有著密切聯(lián)系。以橢圓為例：如圖3.3.1 ,1是過橢圓周上一點(diǎn) P的橢圓的切線，m是

20、P點(diǎn)處的法線，光線從F（F2） 射出被橢圓反射經(jīng)過 F2（F!）,滿足/仁/ 2，且/ 3= / 4。圖 3.3.12 2例7已知|是過橢圓C： 上 1上一動(dòng)點(diǎn)P的橢圓C的動(dòng)切線，過C的左焦點(diǎn)F,作I的垂線，16 12求垂足Q的軌跡方程。分析：如圖3.3.2，本題如果忽視了橢圓的光學(xué)性質(zhì)將很難著手，或許借助橢圓參數(shù)方程可以求解，但運(yùn)算相當(dāng)繁瑣。由于 I是橢圓的切線，切點(diǎn)為 P，聯(lián)想到橢圓光學(xué)性質(zhì)及反射定律，可知：I是EPF?的外角平分線，F(xiàn)i關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)F2在F2P的延長線上。這樣，由于PFi IPF2 |，故|FjF2 PFj |PF2 | 2a 8，而Q、O分別是F1 F1、F2 F

21、2的中點(diǎn)，所以|QO 4。從而Q點(diǎn)軌跡是以O(shè)為圓心、以4為半徑的圓。即點(diǎn) Q的方程為x2 y2 16 3. 4在生產(chǎn)生活中的作用例&某種碟形太陽能熱水器的外形示意圖如圖3.4.1 ,其中F為加熱點(diǎn)；碟形反射壁是拋物線繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面；拋物線以cm為單位的設(shè)計(jì)尺寸如圖為了達(dá)到最佳加熱效果，F(xiàn)應(yīng)距碟底多少解：以碟形內(nèi)壁底為原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為x軸，開口方向?yàn)閄軸的正向，建立坐標(biāo)系如圖3.4.2 ,則內(nèi)壁拋物線方 程為y2 2px .據(jù)所示尺寸，拋物線過坐標(biāo)為 （40,85）的點(diǎn)，所以852 p 4080 p , p 90.3 加熱點(diǎn)F應(yīng)置于拋物線的焦點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（p ,0）,0） 所以F應(yīng)距碟底約245.2cm。四圓錐