常用統(tǒng)計量及其應(yīng)用

1、第四章常用統(tǒng)計量及其應(yīng)用第一節(jié)平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的概念一、平均數(shù)反映一組性質(zhì)相同的觀測值的平均水平或集中趨勢的統(tǒng)計量，其數(shù)學(xué)定義為x丄Xin i 4平均數(shù)在一定程度上代表一組數(shù)據(jù)的整體水平，體育工作中，常用這一概念來反映事物的某些特征。例如，某中學(xué)的體育平均達標(biāo)率，學(xué)生的平均身高，年齡某地區(qū)高考體育加試平均分?jǐn)?shù) 、標(biāo)準(zhǔn)差樣本平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，反映樣本數(shù)據(jù)的平均水平。但是，平均數(shù)對整體的代表性是有條件的。例如，吉斯莫先生經(jīng)營一家工廠，規(guī)模不大，現(xiàn)欲招聘一名工人，湯姆先生參加面試，老板告訴他，本廠全體人員的工資入平均每人每周300元，湯姆一聽，欣然接受，上班一天后，來找老板，聲稱受騙，老板算了

2、一筆帳，湯姆聽了無話可說。該廠工資分配表如下:人員工資(元/周)吉斯莫2400弟弟10006個親戚2505個領(lǐng)工20010個工人100合計236900平均工資300元/周說明：該廠平均工資盡管較高， 但由于各個工資相差太大， 平均數(shù)對整體的代表性較差。 這就說明在實際應(yīng)用中，僅有平均數(shù)是不夠的， 還要考慮到數(shù)據(jù)的離散程度。在數(shù)據(jù)相對比較集中時，平均數(shù)才具有代表性。反映樣本離散程度的統(tǒng)計量，稱之為標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)樣本觀測值為 x,x2xn,平均數(shù)為X，看看如何來定量計算標(biāo)準(zhǔn)差？樣本的離散程度自然是相對平均數(shù)x而言的為此構(gòu)造出n (Xi -x)i m但上式各項有正有負，正負抵消7 (Xj - x) = 0

3、i 4所以要反映離散程度的大小可以讓上式各項加以絕對值或求平方，但帶絕對值后不便于 處理，所以，選擇后者從而有n(Xi -X)標(biāo)準(zhǔn)百分 累進計分3. 離差法制定評價標(biāo)準(zhǔn)4. 在制定離差評價表中的應(yīng)用教學(xué)重點：1 標(biāo)準(zhǔn)百分和累進計分的計分思想2 .離差評價表的制定過程i丄上式與樣本含量的大小有關(guān)，所以，求平均的1 n(Xi-X)2n i 4n 一1 )代替n,則在實際應(yīng)用中，上式對總體離散程度的估計往往偏小若以自由度( 是無偏的因此，構(gòu)造1n -1n(Xi -X)2 ?s2i 4上式中s2稱為樣本方差，還原成原來的量綱則有ni =1(Xi -X)2S稱為標(biāo)準(zhǔn)差，反映樣本的離散程度。結(jié)束語：樣本平

4、均數(shù)反映樣本數(shù)據(jù)的整體水平，但是要結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度對于運動成績，表現(xiàn)為成績的穩(wěn)定性。第6次課(3學(xué)時)教學(xué)目的：通過本次課的教學(xué)， 使學(xué)生了解平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差在體育中的具體應(yīng)用，掌握利用平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差制定評分評價標(biāo)準(zhǔn)的方法。教學(xué)內(nèi)容:平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差在體育中的應(yīng)用教學(xué)難點：累進計分法教學(xué)內(nèi)容的組織安排： 標(biāo)準(zhǔn)百分和累進計分是體育統(tǒng)計的重要內(nèi)容，在體育評分和評價中有重要應(yīng)用，為了讓學(xué)生在實際工作中能正確地運用，教學(xué)中重點講授計分思想，讓學(xué)生掌握兩種計分方法的實質(zhì)。教學(xué)方法上，采用“探索式”教學(xué)教師提出想法，啟發(fā)學(xué)生積極思維，探索出計分公式。離差法制定評分價標(biāo)準(zhǔn)， 主要借助于正

5、態(tài)分布的概率計算，前面已學(xué)過，舉一個例子講解說明即可。離差評價表的制定，純屬應(yīng)用內(nèi)容，簡單、直觀、舉一個例子說明制表過程，學(xué)生即可 接受。需要強調(diào)，以上計分和評價方法的應(yīng)用條件和各自的優(yōu)點及缺點。開始語平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差是體育統(tǒng)計中兩個重要的統(tǒng)計量，上次課學(xué)習(xí)了計算方法， 本次課介紹它們在體育領(lǐng)域里的應(yīng)用。第二節(jié) 平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差在體育中的應(yīng)用平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差在體育中的應(yīng)用很廣，這里列舉7個主要方面，分別加以介紹一、標(biāo)準(zhǔn)百分（T分） 在體育工作中，人們得到的數(shù)據(jù)資料往往是體育項目的成績，不便于對個體進行評價。加之，體育項目種類繁多，各項目的性質(zhì)也相差較大，這給綜合評價帶來很大的不便。于是產(chǎn)生了體育計分

6、方法，標(biāo)準(zhǔn)百分計分法就是其中的一種。（一）標(biāo)準(zhǔn)百分的計分思想設(shè)隨機變量x服從正態(tài)分布N（u,；2），則由正態(tài)分布的知識可知P（u 一 1.96；： x : u 1.96二）=95%P（u -2.58；: x : u 2.58；）=99%即: r v x落在區(qū)間 u _2.58二內(nèi)的概率 99%換句話說，來自總體的樣本觀測值（Xi,X2Xn ）中絕大部分都落在 u 一3二范圍內(nèi)，因此計分范圍可以取 u3二，其中u和二未知，可用樣本平均數(shù) x和標(biāo)準(zhǔn)差S代替，從而計分范圍可定為x -3S （定為x - 4S或x 5S也行、但太大了不妥，也沒有必要）標(biāo)準(zhǔn)百分的計分方法是在范圍x_3S內(nèi)均勻計分，兩端點

7、分別計零分或滿分 x點計50分（二）標(biāo)準(zhǔn)百分的計分公式6S由上可知，區(qū)間x -3S內(nèi)單位長度的分值為100從而對于某個觀測值 x 1其標(biāo)準(zhǔn)百分為田賽：100100 x xT = 50 (x - x)=506S6S徑賽：100100 xxT =50 _(x _x)-=50 -6S6 S若計分范圍定為x _5S，則標(biāo)準(zhǔn)百分為田賽：50處勺S徑賽： 50 -10（X x）S需要注意，原始變量必須是正態(tài)分布例4.4已知某年級男生跳遠成績 x =5.20m,S = 0.40m，其中甲成績?yōu)?5.85m乙成績解：跳遠成績服從正態(tài)分布記為為4.48m試求他們的標(biāo)準(zhǔn)百分。x N（u,二2）， u和二分別用X和

8、S代替，則可認(rèn)為該年級男生的跳遠成績幾乎都落在X二3S范圍內(nèi)，所以，在區(qū)間x _ 3S內(nèi)計分。根據(jù)上面計分公式，可的100X-X ”100 (5.85 -5.20)6 0.40T甲=505077.086 S6 0.40T乙 乂0 100(4.48一5.20)=20二、累進計分（一）累進計分的思想標(biāo)準(zhǔn)百分有簡單、直觀、使用方便的優(yōu)點。但由于該計分方法采用均勻計分，分值處理一樣，沒有與項目的難度聯(lián)系起來，因此，不利于應(yīng)用。在體育領(lǐng)域內(nèi)，難度越大處分值應(yīng) 當(dāng)越高，即分?jǐn)?shù)隨成績的提高呈曲線上升，這就是累進計分的基本思想。通常采用二次曲線2y 二 ax b（二）累進計分公式由于體育項目多種多樣， 田賽和

9、徑賽項目情況不同，為了統(tǒng)一起見，將原始變量進行處理。設(shè)原始變量服從正態(tài)分布，樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別 x和S，先對原變量x作如下變換田賽：x x u 二S徑賽：X -X u 二S以上u值有正有負，為了克服負值的干擾，再作變換D =5 u （解釋原因）現(xiàn)以D值為自變量，分?jǐn)?shù) y為因變量，建立二次曲線y =kD2其中k和Z為待定常數(shù)。為了確定計分公式，需要根據(jù)具體問題設(shè)定基分點和滿分點，從而建立方程組y kD 27t 2討2 =kD2/解出k和/，即得到累進計分公式y(tǒng) = kD 2 -二例4.5已測得某年級男生跳遠成績 x = 5.20m, S二0.40m若規(guī)定x - S位置為60分,x 3S位置為

10、100分，甲、乙兩人的成績分別為5.64m和4.78m試按累進計分法計算他們的分?jǐn)?shù)。解：兩個位置x -S和x 3S的D值分別為D二4 D2 -8根據(jù)題設(shè)，得方程組6 42 k1 0 082k /解得 k =0.83,凡-46.67從而累進計分公式為y=0.83D246.67甲、乙兩人的累進分?jǐn)?shù)甲:Di=5l 丄 5.64 5.20=50.40y0.83Di2 46.67 = 0.83 (6.1)246.67 = 78乙：丄 4.78 5.20D 2 - 53.950.40y2 =0.83 (3.95)246.67 =60注意：原始變量必須呈正態(tài)分布三、離差法制定評分評價標(biāo)準(zhǔn)利用樣本均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差

11、來制定評分、評價標(biāo)準(zhǔn)的方法習(xí)慣上稱為離差法。常見的用離差法制定等級標(biāo)準(zhǔn)的方法是：先根據(jù)具體情況規(guī)定各等級的人數(shù)比例，如優(yōu) 秀10%，良好20%，中等30%，及格32%，不及格8%再根據(jù)正態(tài)分布的知識，計算出各等 級的成績標(biāo)準(zhǔn)。例4.6現(xiàn)有一組男生200m跑成績X=26秒，S=0.4秒，原始變量基本服從正態(tài)分布， 若規(guī)定12%的人為優(yōu)秀，20%為良好，30%為中等，30%及格，8%不及格，試求各等級的標(biāo) 準(zhǔn)。解：1.設(shè)優(yōu)秀與良好的分界值為xi，根據(jù)題設(shè)，有P(x 乞 xj =0.12將原始變量標(biāo)準(zhǔn)化得x -x 一乂、 r F“12查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，可得0 x =1.17S解和 =X 1.17S

12、= 261.17 0.40 = 25.52 .設(shè)良好與中等的分界值為x2，則P（x 沁2）=0.12 0.20 = 0.32將x標(biāo)準(zhǔn)化并查表，得-0.47解得 x2 二x 0.47S=26 -0.47 0.40=25.83 同理可求得其它標(biāo)準(zhǔn)（留給學(xué)生課后完成）中等標(biāo)準(zhǔn)：x26.1及格標(biāo)準(zhǔn)：26.6離差法要求原始變量服從正態(tài)分布。四、制定離差評價表在中學(xué)體育工作中，教師可以針對學(xué)生的整體成績利用離差法制定各項目的綜合評價 表，在表中，各項目分上等、中上、中等、中下、和下等五個等級，各等級的計分標(biāo)準(zhǔn)為:上等：x 2S以上中上：x - S x 2S中等：x -S x S中下：x - 2S x S下

13、等：x -2S以下例4.7測得某校初三年級女生身高X =154cm , Si=5cm; 60m跑X2 =11.2S ,S2=0.8S,體重 X3 = 45kg , S3=5kg ；鉛球 X4 = 500cm , S4=45cm ；胸圍 X5 = 74cm , S=4cm；跳高 X6 = 96cm，S6=10cm ；肺活量 X7 =2202mL, S7=364mL ； 400m 跑 X8 =92S，S8=9S經(jīng)檢驗，上述各項指標(biāo)服從正態(tài)分布，試根據(jù)該資料制定離差評價表。如果某學(xué)生各項指標(biāo)值如下：X1 = 159cm， X2=12S， X3=48kg， X4=480cm， X5=76cm， X6=

14、97cm， X7=2.360mL，X8=102S,試對該生進行綜合評價。解：離差評價表如下身60m體鉛胸跳肺活400m高跑重球圍高跑量結(jié)束部分：總結(jié)標(biāo)準(zhǔn)百分和累進計分的計分思想以及適用條件。第7次課(3學(xué)時)教學(xué)目的：通過本次課的教學(xué)使學(xué)生了解平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差在體育中的另外一些應(yīng)用，掌握變異系數(shù)和百分位數(shù)的概念及其應(yīng)用。教學(xué)內(nèi)容：1 平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用(1) 穩(wěn)定性研究(2) 選派參賽運動員(3) 人數(shù)估計研究2 百分位數(shù)及其應(yīng)用教學(xué)重點：1 變異系數(shù)的概念及其應(yīng)用2 百分位數(shù)的概念及其應(yīng)用教學(xué)難點：百分位數(shù)的計算教學(xué)內(nèi)容的組織安排：1 平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用，上次課講了四個方面，本次課再介紹三

15、個方面的應(yīng)用，其中穩(wěn)定性研究和選派參賽運動員兩方面內(nèi)容，在體育工作中具有重要實用價值。變異系數(shù)的概念在一般教材中是作為一個新概念單獨介紹的。但是我們將其作為平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用結(jié)果，這樣更有利于學(xué)生對概念的理解，便于比較，而且突出應(yīng)用。2.百分位數(shù)也是體育統(tǒng)計中的重要統(tǒng)計量由于它對總體分布沒有明確要求，因此，在體育評價中具有廣泛的應(yīng)用。其實，百分?jǐn)?shù)的概念本身和運用都很簡單直觀，較困難的是其計算，教科書中都是直接給出計算公式，這樣學(xué)生無法理解，也將難以運用。本次課教學(xué)中，擬針對一個實例，引導(dǎo)學(xué)生導(dǎo)出百分位數(shù)的計算公式，使學(xué)生在探索過程中掌握內(nèi)容的實質(zhì)。培養(yǎng)學(xué)生獨立分析問題和解決問題的能力。開始部

16、分：帶學(xué)生一起復(fù)習(xí)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用。五、穩(wěn)定性研究樣本標(biāo)準(zhǔn)差可用來比較單位相同，平均數(shù)相近的幾組數(shù)據(jù)的離散程度，但對于如下兩種情況，則無法比較。1 .單位不同2 單位相同，平均數(shù)相差較大。故引進描述變異程度的另一統(tǒng)計量一一變異系數(shù)定義為SCV 100%X利用變異系數(shù)，不同項目之間可以比較其離散程度。例4.8測得某運動員百米跑和跳運兩項目的20次成績經(jīng)初步計算，100m: x12S ,S1=0.15S，跳遠:X2 = 5.9m , S2=0.18m試比較差運動員兩個項目的穩(wěn)定性。解：計算兩項目的變異系數(shù)S015CVi100%100% =1.25%X112CV =100% = 100% =3.

17、05%x25.9CV1 :CV2故可認(rèn)為百米跑成績較穩(wěn)定。六、選派參賽運動員例4.9某教練員要從兩名標(biāo)槍運動員中選派一個參加比賽，現(xiàn)有兩人近期訓(xùn)練成績?nèi)缦?甲：40.5041.2640.4439.6240.1242.1039.8440.1838.7039.54乙：40.4842.8840.5039.5038.0043.3238.7241.8236.8440.24試根據(jù)不同比賽狀況選派參賽隊員解：經(jīng)計算X甲=40.23, S甲二0.945x乙=40.23 , S乙二 2.04最好成績甲：42.10m乙：43.32m若比賽級別高，估計他們的平均成績就得到好名次，則可派甲隊參賽；若比賽級別高，對手的

18、實力較強，兩名隊員只有在發(fā)揮最好成績時才有可能取得名次， 則可選派乙隊員參賽。七、人數(shù)的估計研究例4.10已測得某大學(xué)生男生跳遠成績的平均數(shù)X = 5.20m,標(biāo)準(zhǔn)差0.15m原始變量基本呈正態(tài)分布，該校男生共1500人，試分別估計跳遠成績在 5.50m以上，5.30m至5.50m 之間，4.9m以下的人數(shù)。解：跳遠成績 x N(5.20,4.15)2x 5 20 P(x _ 5.50) = 1 - P(x :：: 5.50) = 1 - P(2)0.15=1 -0.97720.0228P(5.30 ： 5.50) = P(x ：5.50) P(x :：: 5.30).=P(x -5.200.

19、15:2) - P(x -5.200.15:0.67)0.9772 -0.7486 =0.2286x 5.20. - ccccP(x ：4.9) =P(： -2) =0.02280.15故成績在5.50m以上的人數(shù)：1500 0.0228 =34 (人) 成績在5.30至5.50之間人數(shù)：15000.2286 =343 (人)成績在4.90m以下的人數(shù)：15000.0228 =34 (人)第三節(jié)百分位數(shù)及其應(yīng)用利用平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差進行體育評分、 評價時，均要求原始變量服從正態(tài)分布， 如果總體 不服從正態(tài)分布，或總體分布不明時則不能運用平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差進行評分評價，應(yīng)用百分位數(shù)來描述。一、百分位數(shù)的

20、概念將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，并將數(shù)列 100等分，與第H等分相對應(yīng)的數(shù)，稱為第 H百分位數(shù)，記用 PH，H稱為PH的位置百分，第50百分位數(shù)就是中位數(shù)，中位數(shù)是百分 位數(shù)的一個特列。例如，現(xiàn)有1000個數(shù)據(jù)，按從小到大的次序排列后，得到數(shù)據(jù)(X1 , X2，X10 ,x 11X 20x 100X 500X 900x 1000則第1百分位數(shù)為X10，即P1 =X10二 X 20,P50 = X5 0 ,P90 = X9 o oX10的位置百分為H =1, X20的位置百分為X 500的位置百分為50 , X900的位置百分為90,計算公式為：x k的位置百分1000100k10100I在Ph

21、前面有H%的數(shù) 百分位數(shù)與位置百分互為數(shù)學(xué)運算、百分位數(shù)的計算設(shè)原始資料已整理成頻數(shù)分布表例4.11某年齡組150名男生60m跑成績的頻數(shù)分布表如下（表 4.3）試求P5P10 P25 P50 P75 P90表 4.1（專教 P53）P10組序組限組中值頻數(shù)（5）累計頻數(shù)（F）累計頻率（）17.5-7.65221.327.8-7.958106.738.1 -8.25223221.348.4-8.55316342.058.7-8.854210570.069.09.152613187.379.3 9.451214395.389.6-9.75414798.099.9-10.05214999.31010.2-10.351150100.0計算百分位數(shù)的思想是：頻數(shù)分布表已將數(shù)據(jù)從小到大依次排列各組內(nèi)的數(shù)設(shè)想在組內(nèi)均勻分布，P5即對應(yīng)5%位置的數(shù)，（帶學(xué)生一起計算出 Rs ）總結(jié)步驟1 確定F