第四章 系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型[章節(jié)講課]

1、第四章第四章 系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型 黎明安黎明安 1章節(jié)課件 概述概述 傳遞函數(shù)分析法是研究系統(tǒng)動態(tài)特性的重要傳遞函數(shù)分析法是研究系統(tǒng)動態(tài)特性的重要 方法之一。線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為在全部初方法之一。線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為在全部初 始條件為零的假設(shè)下系統(tǒng)的輸出量（響應(yīng)函數(shù)）始條件為零的假設(shè)下系統(tǒng)的輸出量（響應(yīng)函數(shù)） 的拉普拉斯變換與輸入量（驅(qū)動函數(shù)）的拉普拉的拉普拉斯變換與輸入量（驅(qū)動函數(shù)）的拉普拉 斯變換之比。斯變換之比。 2章節(jié)課件 本章摘要 傳遞函數(shù)定義及其特性傳遞函數(shù)定義及其特性 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)的其他形式傳遞函數(shù)的其他形式 多自由度系統(tǒng)傳

2、遞函數(shù)仿真模型多自由度系統(tǒng)傳遞函數(shù)仿真模型 傳遞函數(shù)模型的傳遞函數(shù)模型的SIMULINK仿真模型建立仿真模型建立 彈性梁的傳遞函數(shù)模型彈性梁的傳遞函數(shù)模型 3章節(jié)課件 41 傳遞函數(shù)定義及其特性傳遞函數(shù)定義及其特性 1 傳遞函數(shù)的作用傳遞函數(shù)的作用： 傳遞函數(shù)是對線性系統(tǒng)分析和研究的基本數(shù)學(xué)工 具，對標(biāo)準(zhǔn)形式的微分方程進(jìn)行拉普拉斯變換，可 以將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，這樣不僅將實(shí)數(shù)域中的微 分、積分運(yùn)算簡化為復(fù)數(shù)域中的代數(shù)運(yùn)算，大大簡 化了運(yùn)算，而且根據(jù)傳遞函數(shù)還可以導(dǎo)出系統(tǒng)的頻 率特性。利用傳遞函數(shù)可以得到系統(tǒng)的頻率特性， 利用這些頻率特性與系統(tǒng)的參數(shù)關(guān)系，還可以對系 統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)識別。 4章節(jié)課件

3、 2 傳遞函數(shù)的定義 設(shè)有線性系統(tǒng)的輸入為 ,輸出為 ,對應(yīng)的微分 方程如下： 其中 稱為微分算子，且有 假設(shè) 各階導(dǎo) 數(shù)的初值均為零，對該微分方程兩端取 拉斯變 換，則得： 其中 是輸出量 的拉斯變換， 是輸入量 的 拉斯變換。則定義傳遞函數(shù)為 ,如下： )(tu)(ty )()()()( 01 1 101 1 1 tucpcpcpctyapapapa m m m m n n n n m m m dt d pmn )(ty )(tu )()()()( 01 1 101 1 1 sUcscscscsYasasasa m n m n n n n n )(sY)(ty)(sU )(sH 5章節(jié)課件

4、 若給定系統(tǒng)的輸入，則系統(tǒng)的輸出完全取決于傳遞函 數(shù)，其關(guān)系如下： 再通過拉普拉斯反變換，可以得到時(shí)間域內(nèi)的輸出 （響應(yīng)）： 表示拉斯變換符號，則“ ”表示拉斯反變換符 號。 01 1 1 01 1 1 )( )( )( asasasa cscscsc sU sY sH n n n n m m m m )()()(sUsHsY )()()()( 11 sUsHLsYLty 1 LL 6章節(jié)課件 3 傳遞函數(shù)的特性傳遞函數(shù)的特性 （1）傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（或元件）的參數(shù)，與外部信 號的大小和形式無關(guān)。 （2）傳遞函數(shù)只能適用于線性定常系統(tǒng)（由拉斯變換的性質(zhì)可 以得到，因?yàn)槔棺儞Q是一種線性

5、變換）。 （3）傳遞函數(shù)一般為復(fù)變量S的有理分式，它的分母多項(xiàng)式S的 最高次數(shù)n高于分子多項(xiàng)式S的最高次數(shù)m，即 。 （4）由于傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因此它不能反映 非零初始條件下的運(yùn)動情況（即瞬態(tài)響應(yīng)）。 （5）一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入與一個(gè)輸出之間的關(guān)系， 對于多輸入多輸出系統(tǒng)，要用傳遞函數(shù)矩陣才能表達(dá)系統(tǒng)的 輸入與輸出關(guān)系。 mn 7章節(jié)課件 4 傳遞函數(shù)的圖示方法傳遞函數(shù)的圖示方法 將系統(tǒng)分為輸入、系統(tǒng)和輸出，則可以將整個(gè)系統(tǒng)用 下圖來表示，在動態(tài)分析中，如果已知其中的兩個(gè)部 分，分析另一個(gè)部分，則形成了正問題和反問題。 運(yùn)算關(guān)系： 已知 , 求 ，稱為動態(tài)分析正問題；

6、已知 ， 求 ，稱為系統(tǒng)識別問題； 已知 ， 求 ，稱為環(huán)境預(yù)測問題。 )(sH )(sY )(sX )(sH )(sY )(sX )()()(sXsHsY )(sx )(sH )(sy )(sx)(sy )(sH )(sH)(sy)(sx 8章節(jié)課件 4.2 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 1 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) 凡輸出量 正比于輸入量 ，其特點(diǎn)是輸出不失 真也不延遲而按比例反映輸入的環(huán)節(jié)，稱為比例環(huán)節(jié)， 其廣義動力學(xué)方程為： K為環(huán)節(jié)的放大系數(shù)或增益，其傳遞函數(shù)為： )(ty)(tu )()(tKuty K sU sY sH )( )( )( 9章節(jié)課件 考察一個(gè)不計(jì)質(zhì)量的杠桿的力學(xué)性

7、能（力學(xué)杠桿原理 就是一個(gè)比例環(huán)節(jié)，其比例系數(shù)是動力臂與阻力臂的 比值）。 這里 是力的放大系數(shù)。 因?yàn)檫@里不考慮質(zhì)量，所以系統(tǒng)不會因?yàn)橛袘T性而產(chǎn) 生延遲現(xiàn)象。 btfatp)()()()()(tpktp b a tf b a k 10章節(jié)課件 2 慣性環(huán)節(jié)（一階慣性環(huán)節(jié)）慣性環(huán)節(jié)（一階慣性環(huán)節(jié)） 分析RC串聯(lián)電路系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，以 作為電路中 電容器上的電荷， 為電壓，則關(guān)于電荷的變化滿足 的動態(tài)方程為： 在機(jī)械系統(tǒng)中，如圖所示不考慮AB桿的質(zhì)量情況下， 設(shè) 為系統(tǒng)的輸入力， 為系統(tǒng)的輸出位移。對應(yīng)的 機(jī)械系統(tǒng)的微分方程為： )(tq )(tu )()( )( tcutq dt tdq RC

8、 )(tf)(tx atfatkx dt tdx c)(3)( )( a 3a k c x o ( )f t 11章節(jié)課件 上述系統(tǒng)我們稱為一階系統(tǒng)，一階系統(tǒng)最一般的形式 可以表示為: 對上圖所示的機(jī)械系統(tǒng)，其標(biāo)準(zhǔn)式為： 時(shí)間常數(shù)為 ，靈敏度為 ，其物理含義是系統(tǒng) 在靜止?fàn)顟B(tài)下的靜變形。 為分析方便，令 ，以這種歸一化系統(tǒng)為研究模型， 即： )()( )( )( 001 txbtya td tdy a)()( )( )( txty td tdy )( 3 1 )( )( tf k tx dt tdx k c k c k f 3 0 1 )()( )( )( txty td tdy 1 1 )(

9、 s sH 12章節(jié)課件 3 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié) 凡是系統(tǒng)的輸出正比例于系統(tǒng)輸入的微分，即： 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 其中T稱為微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，一般情況下微分環(huán)節(jié) 在實(shí)際中不可能單獨(dú)存在。 在實(shí)際應(yīng)用中，常將微分環(huán)節(jié)與其他環(huán)節(jié)聯(lián)合使用。 )( )( )(tuT dt tdu Tty Ts sU sY sH )( )( )( 13章節(jié)課件 4 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) 該環(huán)節(jié)的輸出等于系統(tǒng)的輸入量對時(shí)間的積分成正比， 即： 這里k為常數(shù)，對應(yīng)的傳遞函數(shù)為： dttuKty t )()( 0 s K sU sY SH )( )( )( 14章節(jié)課件 5 震蕩環(huán)節(jié)（或稱二階振蕩環(huán)節(jié)）震蕩環(huán)節(jié)（或稱二階振蕩環(huán)節(jié)）

10、 典型的震蕩環(huán)節(jié)通常使用LRC串聯(lián)諧振電路來表示， 設(shè)u為系統(tǒng)的輸入電壓，uc為電容兩端的電壓，則根 據(jù)電路方程有： c u dt di Lu c c cR i R u iii c dti c q iRu c Rc R L C i c u u R L C i c u u 15章節(jié)課件 將后兩式代入電壓方程中，則有： 令： ， cccc cc uuLCu R L u dt di L R u Lu uuu R L uLC ccc LC n 1 C L RR L n 2 1 2 1 uuuu ncnCnc 22 2 22 2 2)( )( )( nn nc sssu su sH 16章節(jié)課件 這個(gè)系

11、統(tǒng)的特點(diǎn)是給定系統(tǒng)一個(gè)階躍輸入時(shí)，在小阻 尼情況下，系統(tǒng)的輸出呈現(xiàn)出振蕩形式，它的標(biāo)準(zhǔn)形 式動態(tài)方程為： 例如：單自由度彈簧質(zhì)量模型是我們經(jīng)常見到的典型 模型，其動力學(xué)方程為： 標(biāo)準(zhǔn)形式： 可以對比電學(xué)方程和力學(xué)方程，其數(shù)學(xué)模型是等價(jià)的。 )(2 2 2 2 tKfy dt dy T dt yd T )(tfkyycym )()( 1 2 2 2 tf k tf m yyy n nn )( 11 2 1 2 tf k yyy nn 17章節(jié)課件 4.3 傳遞函數(shù)的其他形式傳遞函數(shù)的其他形式 1 傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式 其中K稱為增益， 稱為系統(tǒng)的零點(diǎn)， 稱為系統(tǒng)的極點(diǎn)。極點(diǎn)就

12、是分母多項(xiàng)式等于零的根， 不難看出傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是對應(yīng)的微分方程的特征 根。傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)對系統(tǒng)的動態(tài)性能有影響， 極點(diǎn)的數(shù)目必須要大于或等于零點(diǎn)的數(shù)目，或者說， 分母的方次要大于等于分子的方次。 （對于分子方 次大于等于分母方次的時(shí)候，通常要轉(zhuǎn)換成余項(xiàng)研究） 12 12 ()()() ( ) ()()() m n szszsz H sK sss i z(1,2,. )im (1.2) i in K 18章節(jié)課件 例例4-1 設(shè)系統(tǒng)的動力學(xué)方程為： ， 計(jì)算單自由度彈簧質(zhì)量的傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)模型。 解： 其中 為固有頻率， 為阻尼比 將 因式分解可以得到系統(tǒng)的極點(diǎn)，在這里， 系統(tǒng)的極點(diǎn)

13、就是動力系統(tǒng)的特征根： ( )mycykyu t 222 12 ( )11/1/ ( ) ( )2()() y smm H s u smscskspspspsp m k p mk c 2 22 2ppss ppp1 2 1 ppp1 2 2 19章節(jié)課件 對于單自由度系統(tǒng)而言，系統(tǒng)的極點(diǎn)是固有頻率P和 阻尼比 的函數(shù) 當(dāng) 時(shí)，極點(diǎn)是一對共軛復(fù)數(shù)，即： 當(dāng) 時(shí)， 沿單位圓上的 點(diǎn)向 點(diǎn)移動，同時(shí) 沿單位圓上的 點(diǎn)向 點(diǎn)移動，由此可見：在小阻尼 情況下，傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的 復(fù)頻率函數(shù)。 1 21 1j p p 22 1j p p 10 p p1 1 A B p p2 2 A B 20章節(jié)課件

14、 當(dāng) 時(shí)， 、 在同一B點(diǎn)處，說明此時(shí)兩極點(diǎn)為 相同的負(fù)實(shí)數(shù)。 當(dāng) 時(shí)，兩個(gè)極點(diǎn)在實(shí)數(shù)軸上沿反方向運(yùn)動。 1 p p1 p p2 1 21章節(jié)課件 例例4-2 如圖所示系統(tǒng)，已知 , , , 。試求系統(tǒng)的 傳遞函數(shù)。 解：系統(tǒng)的動力學(xué)方程為： 對上兩式取拉斯變換 以上兩式消去變量 m 1 k 2 k c )()( 12 tfxxcxkxm 111) (xkxxc )()()()( 12 2 scsxsfsxkcsms )()()( 11 sxcskscsx )( 1 sx )( )( )( 1 1 csk scsx sx )( )( )()()( 1 2 2 csk scsx cssfsxkc

15、sms 2121 2 1 3 1 )()( )( )( kkskkcsmkmcs kcs sf sx sH m c 1 k 2 k )(tf 1 x x 22章節(jié)課件 2 傳遞函數(shù)的留數(shù)形式傳遞函數(shù)的留數(shù)形式 我們還可以將傳遞函數(shù)： 寫成： 為系統(tǒng)的極點(diǎn)并假定無重根情況； 為系統(tǒng)的留數(shù)。 可以證明：各個(gè)留數(shù)可以通過下式求出： 01 1 1 01 1 1 )( )( )( asasasa cscscsc sU sY sH n n n n m m m m n n s k s k s k sH 2 2 1 1 )( 1 2 . n 1 k 2 k. n k )()(lim i s i ssHk i

16、ni, 2 , 1 23章節(jié)課件 例例4-3 某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 將系統(tǒng)模型寫成零極點(diǎn)增益模型。 解： 系統(tǒng)的零點(diǎn)： 極點(diǎn)： 增益： 寫成留數(shù)形式，則有： 6116 35 )( 23 sss s sH ) 1)(2)(3( 6 . 0 5)( sss s sH 6 . 0z ( 3, 2, 1)5k 6 )2(1 6 . 03 5| ) 1)(2( 6 . 0 5)3( ) 1)(2)(3( 6 . 0 5 )()(lim 3 11 1 s s ss s s sss s ssHk 24章節(jié)課件 同理： 則系統(tǒng)的留數(shù)為： 傳遞函數(shù)的留數(shù)形式為： 2 22 2 lim( ) () 0.60.62

17、0.6 55|57 (3)(1)(3)(1)1 ( 1) s s kH ss ss ssss 6 1 k 7 2 k1 3 k 1 1 2 7 3 6 )( sss sH 2 33 1 lim( ) () 0.60.610.6 55|51 (3)(2)(3)(2)2 s s kH ss ss ssss 25章節(jié)課件 例例4-4 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為: 將系統(tǒng)模型寫成零極點(diǎn)增益模型： 解：零極點(diǎn)模型 系統(tǒng)的留數(shù)模型： 1052 13 )( 23 2 sss ss sH )236. 2)(236. 2)(2( )328. 0)(618. 2( )5)(2( )328. 0)(618. 2( )(

18、2 jsjss ss ss ss sH 22 1111. 0 2361. 2 1739. 05556. 0 236. 2 1739. 0556. 0 )( js j js j sH 26章節(jié)課件 3 傳遞函數(shù)的并聯(lián)、串聯(lián)與反饋鏈接形式傳遞函數(shù)的并聯(lián)、串聯(lián)與反饋鏈接形式 1） 串聯(lián)形式：設(shè)有兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為： 和 ，將兩個(gè)系統(tǒng)串聯(lián)，分析兩個(gè)系統(tǒng)串聯(lián) 后的總系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 因?yàn)?即 )( 1 sH )( 2 sH H1H2 u y c u H u y )( 1 sHuuc )( 2 sHuy c )()()( 21 sHusHsHuy )()()( 21 sHsHsH 27章節(jié)課件 結(jié)論

19、結(jié)論：當(dāng)兩個(gè)線性系統(tǒng)模型串聯(lián)時(shí)，其等效系統(tǒng)的傳 遞函數(shù)等于串聯(lián)系統(tǒng)中兩傳遞函數(shù)的乘積， 即： 推廣到n個(gè)系統(tǒng)串聯(lián)： 或 注意這里假定極點(diǎn)比零點(diǎn)數(shù)目大1,根據(jù)這個(gè)表達(dá)式我們 可以將一個(gè)高次傳遞函數(shù)分成一系列簡單一次傳遞函 式的串聯(lián)形式。 )()()( 21 sHsHsH )()()()( 21 sHsHsHsH n n ss zs s zs su sy sH 1 )( )( )( 2 2 1 1 28章節(jié)課件 例例4-5 設(shè)有兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為： 試求串聯(lián)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 解： 10 2 2 1 ss s H 3 2 2 s H 30134 42 3 2 10 2 232 21 SSS S

20、 SSS S HHH 29章節(jié)課件 2） 并聯(lián)形式：設(shè)有兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為： 和 ，將兩個(gè)系統(tǒng)并聯(lián)，分析兩個(gè)系統(tǒng)并聯(lián)后 的總系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 因 其中 則 1sys 2sys )( 111 sHuy)( 222 sHuy uuu 2121 yyy )()()()()( 21221121 sHusHsHusHusHuyyy )()()( 21 sHsHsH u 1 u 2 u 2 sys 1 sys y 1 y 2 y u 1 u 2 u 2 sys 1 sys y 1 y 2 y H（s） u y 30章節(jié)課件 結(jié)論結(jié)論： 當(dāng)兩個(gè)線性系統(tǒng)模型并聯(lián)時(shí)，其等效系統(tǒng)的 傳遞函數(shù)等于并聯(lián)系統(tǒng)中兩

21、傳遞函數(shù)的和， 即： 推廣到n個(gè)系統(tǒng)并聯(lián)： 或 根據(jù)這個(gè)表達(dá)式我們可以將一個(gè)高次傳遞函數(shù)分成一 系列簡單一次傳遞函式的并聯(lián)形式，這是留數(shù)形式 傳遞函數(shù)的帶來的優(yōu)點(diǎn)之一。 )()()( 21 sHsHsH n i in sHsHsHsHsH 1 21 )()()()()( n n s k s k s k su sy sH 2 2 1 1 )( )( )( 31章節(jié)課件 例例4-6 設(shè)有兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為： 求以上兩個(gè)系統(tǒng)并聯(lián)后的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 解： 10 2 2 1 ss s H 3 2 2 s H 30134 42 3 2 10 2 232 21 SSS S SSS S HHH 301

22、34 2673 )3)(10( )10(2)3)(2( 23 2 2 2 SSS Ss sSS sssS 32章節(jié)課件 3） 反饋連接 在控制領(lǐng)域中，常常需要根據(jù)系統(tǒng)的輸出與系統(tǒng)的輸 入信息相比較后，再將這個(gè)新的信息作為系統(tǒng)的輸 入，使系統(tǒng)達(dá)到某種預(yù)期的需要，這種系統(tǒng)稱為反 饋系統(tǒng)。在下圖中，設(shè) 是反饋元件的傳遞函數(shù)， 這樣就構(gòu)成了反饋系統(tǒng)。傳遞函數(shù)用 表示。 )(sH )(sC u )(sH )(sG y 1 x 2 y 2 x u )(sH )(sG y 1 x 2 y 2 xC(s) u y 33章節(jié)課件 根據(jù)信號的流向，有： 又 即： 得等效傳遞函數(shù)為： 如果是正反饋系統(tǒng)，則有： 1

23、).(xsGy ysHx).( 2 21 xux 12 11( ).( ) ( ).( ) ( )( )( ) yG s H s uxxH s yH s yy G sG sG s ( )( ) ( ) ( )1( )( ) y sG s C s u sG s H s )()(1 )( )( sHsG sG sC )()(1 )( )( sHsG sG sC 34章節(jié)課件 4 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)傳遞函數(shù) 在動力學(xué)控制領(lǐng)域中，經(jīng)常要分析不同支路之間 的傳遞函數(shù)情況， u(s) y(s) y(s) E(s) B(s) Out1 1 H(s) 1 s+1 G(s)

24、 1 s+1 In1 1 35章節(jié)課件 如如圖所示的反饋系統(tǒng)中，輸入信號 與反饋信號 的差值我們稱為誤差信號 ，系統(tǒng)的輸出信號用 表示，系統(tǒng)傳遞函數(shù)表示為 ，反饋元件的傳遞 函數(shù)表示為 。 通常在帶有反饋系統(tǒng)中，我們定義： （a）前饋傳遞函數(shù)： 是系統(tǒng)的主要傳遞函數(shù)。 （b）反饋傳遞函數(shù)： 它將輸出信息通過傳遞函數(shù) 返回到系統(tǒng)。 )(sR )(sB )(sE)(sC )(sG )(sH )(sG )(sH )(y s )(sH 36章節(jié)課件 （c）開環(huán)傳遞函數(shù)：反饋信號 與誤差信號 的比 稱為開環(huán)傳遞函數(shù)，即： 在圖中由于有： ，則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 在此我們可以看到，開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相

25、當(dāng)于系統(tǒng) 傳遞函數(shù)與反饋傳遞函數(shù)串聯(lián)形式，而串聯(lián)形式的 傳遞函數(shù)等于 。 )(sB)(sE )( )( sE sB 開環(huán)傳遞函數(shù) )()()()(sEsHsGsB )()( )( )( sHsG sE sB 開環(huán)傳遞函數(shù) )()(sHsG 37章節(jié)課件 開環(huán)傳遞函數(shù)也可以理解為系統(tǒng)回路的相加點(diǎn)斷開后， 以 作為系統(tǒng)的輸入，經(jīng)前饋傳遞函數(shù)，反饋傳遞 函數(shù)而產(chǎn)生的輸出 ，此時(shí)的輸出與輸入的比值 可以認(rèn)為是一個(gè)無反饋的開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，由于 與 在相加點(diǎn)的量綱相同。所以，開環(huán)系統(tǒng)的傳 遞函數(shù)是無量綱的，這個(gè)情況是十分重要的。 )(sE )(sB )(/ )(sEsB )(sB )(sE 38章節(jié)課

26、件 （d）閉環(huán)傳遞函數(shù)：輸出信號 與輸入信號 的 比稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，即： 由于： 則有： 得： 最后的系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： )(sC)(sR )( )( sR sC 閉環(huán)傳遞函數(shù) )()()(sEsGsC)()()()()()(sHsCsRsBsRsE )()()()()(sHsCsRsGsC )()(1 )()( )( sHsG sRsG sC )()(1 )( )( )( sHsG sG sR sC 39章節(jié)課件 （e）誤差傳遞函數(shù)： 由于 ，代入 閉環(huán)傳遞函數(shù)： 則誤差傳遞函數(shù)為： 對照前面講述的串并聯(lián)的基本知識可知，系統(tǒng)的閉環(huán) 傳遞函數(shù)是將系統(tǒng)傳遞函數(shù)與反饋傳遞函數(shù)并聯(lián)后 的總傳遞

27、函數(shù)。 )( )( sR sE )()()(sEsGsC )()(1 )( )( )()( )( )( sHsG sG sR sEsG sR sC )()(1 1 )( )( sHsGsR sE 40章節(jié)課件 閉環(huán)系統(tǒng)的量綱取決于輸入和輸出的量綱，兩者的量 綱可以相同也可以不相同。 有時(shí)候可以將系統(tǒng)內(nèi)部分成幾個(gè)相對獨(dú)立部分，然后 再連接成一定形式，所以系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和閉 環(huán)傳遞函數(shù)是針對某個(gè)固定系統(tǒng)而言的。 41章節(jié)課件 例如例如: 對于標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： 如果要把它構(gòu)造成單位反饋 傳遞函數(shù)的閉環(huán)系統(tǒng)來等表示，則有： 其中開環(huán)傳遞函數(shù)為： 相當(dāng)于開環(huán)傳遞函數(shù)為 ,反饋傳遞函數(shù)等于 根

28、據(jù)連接框圖可以得到系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 22 2 2)( )( )( nn n sssf sx sH ss sG n n 2 )( 2 2 )(sG 1)(sH 22 2 2)()(1 )( )( )( )( nn n sssHsG sG sf sx SH 42章節(jié)課件 階段小結(jié)階段小結(jié)： 1 傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分 環(huán)節(jié)，一階延遲環(huán)節(jié)。二階震蕩環(huán)節(jié)） 2 傳遞函數(shù)的 零極點(diǎn)增益模型、留數(shù)模型、并聯(lián)模型 （簡化），串聯(lián)模型（簡化），反饋模型（正反饋、 負(fù)反饋） 3 控制系統(tǒng)的：前饋傳遞函數(shù)、反饋傳遞函數(shù)、誤差 傳遞函數(shù)、開環(huán)傳遞函數(shù)，閉環(huán)傳遞函數(shù)。 43章節(jié)課件 例例4

29、-7 簡化下圖所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù) 解：這是一個(gè)無交叉多回路結(jié)構(gòu)圖，具有并、串聯(lián)， 局部反饋，主反饋系統(tǒng)。首先將并聯(lián)和局部反饋簡 化如圖（b）所示,再將串聯(lián)簡化如圖（c）所示。 x(S) y(s) Out1 1 G5 H2 G4 H1 G3 G3 G2 G2 G1 G1 In1 1 44章節(jié)課件 容易得到前饋傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為: 13 321 1 )( HG GGG GQ 2 13 221 1 H HG GGG sGk 45章節(jié)課件 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為: 誤差傳遞函數(shù)為: )()(1 )( )( 2 sHsG sG sG Q Q B 232113 321 1HGGGH

30、G GGG 232113 13 1 1 1 1 HGGGHG HG sG sG k e 46章節(jié)課件 4.4 多自由度振動系統(tǒng)的傳遞函多自由度振動系統(tǒng)的傳遞函 數(shù)模型數(shù)模型 設(shè)n自由度系統(tǒng)振動方程如下： 對上式求拉斯變換，可以得： 即： 令： 則有： 為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 ,由此可見，多自由度振動 系統(tǒng)的專遞函數(shù)是一個(gè)矩陣形式，矩陣的維數(shù)等于 系統(tǒng)的自由度數(shù)。 fxKxCxM )()( 2 sFsXKCsMs )()()( 2 sfsxKsCsM )( 2 KsCsMB 1 ( ) ( )( ) ) det ( ) adj B s x sBf sHf s B s )(det )( sB sBa

31、dj H nn H 47章節(jié)課件 例題例題4-8 如圖所示兩自由度系統(tǒng)，試建立系統(tǒng)的傳遞 函數(shù)并建立基于傳遞函數(shù)的simulink仿真模型。 2 k 1 k 1 x 2 x 1 m 2 m )( 1 tf)( 2 tf 2 k 1 k 1 x 2 x 1 m 2 m )( 1 tf)( 2 tf 48章節(jié)課件 解： 可以簡化為： )( )( )( )( ) -0 0 ( 2 1 2 1 22 221 22 2212 2 1 sf sf sx sx k k -kkk s c c -ccc s m m )( )( )( )( c- )()( 2 1 2 1 22 2 222 222121 2 1

32、sf sf sx sx ks csmksc kskksccsm 22 2 222 222121 2 1 c- )()( )( ks cs mksc kskksccsm sB )( )( )( )( )(det )( )( )( 2 1 22 12 21 11 2 1 2 1 sf sf H H H H sf sf sB sBadj sx sx 49章節(jié)課件 其中： 可見，在多自由度系統(tǒng)中，傳遞函數(shù)是一個(gè)矩陣形式， 且矩陣的維數(shù)等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。 一般情況下，傳遞矩陣是對稱的。 可以通過單點(diǎn)激勵(lì)，單點(diǎn)拾振的方法得到相應(yīng)的傳遞 函數(shù)陣的各個(gè)元數(shù)。例如在第一點(diǎn)激勵(lì)，第二點(diǎn)拾 振，有 。同理可以得到

33、其它各 個(gè)傳遞函數(shù)。 22 12 21 111 )(det )( )()( H H H H sB sBadj sBsH )()()()()( 2121111 sfsHsfsHsx 2211222 ( )( )( )( )( )x sHs f sHs fs 122121 ( )( )/( )HsHx sf s 50章節(jié)課件 2 2222 2 22121 2 1 22 2 2 1 1 11 )().()()( )( )( ksckscsmkksccsm kscsm sf sx sH 2 2222 2 22121 2 1 22 2 1 12 )().()()( )( )( ksckscsmkkscc

34、sm ksc sf sx sH 2 2222 2 22121 2 1 22 1 2 21 )().()()( )( )( ksckscsmkksccsm ksc sf sx sH 2 2222 2 22121 2 1 2121 2 1 1 2 22 )().()( )()( )( )( )( ksckscsmkksccsm kksccsm sf sx sH 51章節(jié)課件 當(dāng)不計(jì)阻尼時(shí)： 2 22 2 221 2 1 2 2 2 1 1 11 ).()( )( )( kksmkksm ksm sf sx sH 2 22 2 221 2 1 2 2 1 12 ).()( )( )( kksmkks

35、m k sf sx sH 2 22 2 221 2 1 2 1 2 21 ).()( )( )( kksmkksm k sf sx sH 2 22 2 221 2 1 21 2 1 1 2 22 ).( )( )( )( )( kksmkksm kksm sf sx sH 52章節(jié)課件 當(dāng)給定系統(tǒng)的各個(gè)物理參數(shù)后，不難得到系統(tǒng)的仿真 模型框圖。由于系統(tǒng)的對稱性有 ， 作用在第一個(gè)自由度上的激勵(lì)引起第二個(gè)自由度的作用在第一個(gè)自由度上的激勵(lì)引起第二個(gè)自由度的 響應(yīng)等于相同的激勵(lì)作用在第二個(gè)自由度引起第一響應(yīng)等于相同的激勵(lì)作用在第二個(gè)自由度引起第一 個(gè)自由度的響應(yīng)個(gè)自由度的響應(yīng)。還可進(jìn)一步可以寫成傳

36、遞函數(shù)的 零極點(diǎn)模型。 )()( 2112 sHsH )()()()()( 2121111 sfsHsfsHsx 2211222 ( )( )( )( )( )x sHs f sHs fs 53章節(jié)課件 求多自由度線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)的模態(tài)分析方法求多自由度線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)的模態(tài)分析方法 可以采用模態(tài)分析法，給出更一般的傳遞函數(shù)矩 陣。設(shè)物理空間下的振動方程 為： ， 假定系統(tǒng)可以用實(shí)模態(tài)矩陣 ，利用坐標(biāo)變換 ，則模態(tài)坐標(biāo)方程為： 這里 是第i階陣型列向量。 對第i階模態(tài)方程兩邊取傅氏變換，則得： )(tFXKXCXM 1 ii n i qqX )(tQqkdiagqcdiagqmdiag iii

37、 )()(tFtQ T )(tQqkqcqm iiiiiii T i )()( 2 sQsqkscsm iiiii 54章節(jié)課件 模態(tài)坐標(biāo)下的傳遞函數(shù)為： 再根據(jù)坐標(biāo)變換，則物理空間中的響應(yīng)為： 可以根據(jù)單點(diǎn)激勵(lì)和單點(diǎn)拾振來得到傳遞矩陣中的各 個(gè)元素，設(shè)在j點(diǎn)激勵(lì)，i點(diǎn)拾振，則有： 易得傳遞矩陣各個(gè)元素 iiii i i kscsmsQ sq sH 2 1 )( )( )( iii i T i n i kscsm sF sqsX 2 1 )( )()( T j sFsF0)(0 0 0)( )( . )( 2 1 sF kscsm sX j rrr r j r i n r i rrr r j

38、r i n r j i ji kscsmsF sX sH 2 1 . . )( )( )( )2 , 1.(nji 55章節(jié)課件 例題例題 用模態(tài)分析法試求如下系統(tǒng)的傳遞用模態(tài)分析法試求如下系統(tǒng)的傳遞 函數(shù)函數(shù) )( 1 21 kgmm )/(217),/(987 21 mNkmNk )/(6284. 0 21 mNscc 1 m 1 k 1 c 2 k 1 k 2 m 2 c 1 c 1 x 2 x ， ， 56章節(jié)課件 解：易得系統(tǒng)的動力學(xué)方程為：解：易得系統(tǒng)的動力學(xué)方程為： )( )( )( )( ) -0 0 ( 2 1 2 1 212 221 212 2212 2 1 sf sf s

39、x sx k kk -kkk s c cc -ccc s m m mmm 21 m k p 1 1 m kk p 21 2 2 1- 1 1 1 (2) 2 )1( 2 (2) 1 )1( 1 )()(tytx )()(sYsX 2 0 0 2 Mmdiag T 1.51 0 0 26. 1 CCdiag T 2842 0 0 1974 Kkdiag T 時(shí)，可以得到系統(tǒng)的固有頻率為： 振型矩陣為： 取線性變換為： 或： 模態(tài)質(zhì)量矩陣 模態(tài)阻尼陣; 模態(tài)剛度矩陣 57章節(jié)課件 284251. 12 . 197426. 12)( )( )( 2 )2( 1 )2( 1 2 )1( 1 )1( 1

40、 1 1 1 . 1 sssssf sx sH 284251. 12 . 197426. 12 )()( 2 )2( 2 )2( 1 2 )1( 2 )1( 1 1 , 22 . 1 ssss sHsH 284251. 12 . 197426. 12)( )( )( 2 )2( 2 )2( 2 2 )1( 2 )1( 2 2 2 2 . 2 sssssf sx sH 分別采取單點(diǎn)激勵(lì)，單點(diǎn)拾振方法，可以得到原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 58章節(jié)課件 Sin(t) Sin(2t) 59章節(jié)課件 4.5 傳遞函數(shù)模型的傳遞函數(shù)模型的Simulink仿仿 真模型建立真模型建立 1 與傳遞函數(shù)相關(guān)的運(yùn)算指令與

41、傳遞函數(shù)相關(guān)的運(yùn)算指令 MATLAB提供了有關(guān)傳遞函數(shù)運(yùn)算的使用命令 （1）串聯(lián)命令 例如有兩個(gè)模型 求兩個(gè)模型串聯(lián)后的總模型。 )(2),( 1(shshseriesh 10 2 )( 2 1 ss s sH 3 2 )( 2 s sH 60章節(jié)課件 腳本文件： h1=tf(1,2,1,1,10); % 傳遞函數(shù)1， h2=tf(2,1,3); % 傳遞函數(shù)2 h=series(h1,h2) % 求傳遞函數(shù)1和傳遞函數(shù)2 串聯(lián)后的傳遞函數(shù)。 運(yùn)行結(jié)果如下 Transfer function: 2 s + 4 - s3 + 4 s2 + 13 s + 30 10 2 2 1 SS S H 3

42、2 2 S H 61章節(jié)課件 （2）并聯(lián)命令 例如：對以上兩個(gè)模型求并聯(lián)后的模型。 腳本文件： h1=tf(1,2,1,1,10); % 傳遞函數(shù)1 h2=tf(2,1,3); % 傳遞函數(shù)2 h=parallel(h1,h2) % 求傳遞函數(shù)1和傳遞函數(shù)2并聯(lián) 后的傳遞函數(shù)。 運(yùn)行結(jié)果如下 Transfer function: 3 s2 + 7 s + 26 - s3 + 4 s2 + 13 s + 30 )(2),( 1(shshparallelh 10 2 2 1 SS S H 3 2 2 S H 62章節(jié)課件 （3）反饋連接命令 這里sign是反饋鏈接符號，負(fù)反饋時(shí) ， 正反 饋時(shí) 為

43、前饋傳遞函數(shù)， 為反饋回路傳遞函數(shù)。 例如對于上例給出的模型求負(fù)反饋的總模型。 ),(2),( 1(signshshfeedbackh 1sign 1sign )( 1 sh )(sh 63章節(jié)課件 腳本文件： h1=tf(1,2,1,1,10); % 傳遞函數(shù)1 h2=tf(2,1,3); % 傳遞函數(shù)2 h=feedback(h1,h2,-1) % 求前饋傳遞傳遞函數(shù)1和反饋傳遞函數(shù)2在負(fù)反饋 狀態(tài)下的總模型。 運(yùn)行結(jié)果 ransfer function: s2 + 5 s + 6 - s3 + 4 s2 + 15 s + 34 10 2 2 1 SS S H 3 2 2 S H 64章節(jié)

44、課件 單位反饋：如果反饋傳遞函數(shù)為1 （對應(yīng)于單位反饋 系統(tǒng)），cloop函數(shù)實(shí)現(xiàn)。 命令格式為： numc, denc = cloop(num, den, sign) sign為可選參數(shù)，sign=-1為負(fù)反饋，而sign=1對應(yīng) 為正反饋，缺省值為負(fù)反饋。 例如 num, den = cloop(1 2,1 1 10, -1) printsys(num,den) % 顯示傳遞函數(shù) 顯示結(jié)果 num/den = s + 2 - s2 + 2 s + 12 10 2 2 1 SS S H 3 2 2 S H 65章節(jié)課件 （4）零極點(diǎn)增益模型命令 例如：求傳遞函數(shù) 的零極點(diǎn)增益模 型。 腳本文

45、件： h1=tf(1,3,1,1,2,5,10); % 傳遞函數(shù)1 h=zpk(h1) %傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)增益模型 運(yùn)行結(jié)果: Zero/pole/gain: 1052 13 )( 34 2 sss ss sH )5)(2( )382. 0)(618. 2 2 ss ss 66章節(jié)課件 （5）留數(shù)極點(diǎn)增益模型命令 腳本文件： numG=1 3 1; %傳遞函數(shù)分子 denG=1 2 5 10; %傳遞函數(shù)分母 G=tf(numG,denG); %形成傳遞函數(shù)形式 zG,pG,kG=zpkdata(G,v) %求傳遞函數(shù)的零極增益模型， “v表示返回?cái)?shù)據(jù)向量 r,p,k=residue(numG

46、,denG) %求傳遞函數(shù)的留數(shù) 顯示結(jié)果： Transfer function: 1052 13 23 2 sss ss 1052 13 )( 34 2 sss ss sH 67章節(jié)課件 零點(diǎn)： zG = -2.6180 -0.3820 極點(diǎn) pG = -2.0000 -0.0000 + 2.2361i -0.0000 - 2.2361i 增益 kG =1 68章節(jié)課件 留數(shù) r = 0.5556 - 0.1739i 0.5556 + 0.1739i -0.1111 極點(diǎn) p = -0.0000 + 2.2361i -0.0000 - 2.2361i -2.0000 增益 k = 69章節(jié)課

47、件 即：零極點(diǎn)模型 系統(tǒng)的留數(shù)模型 )236. 2)(236. 2)(2( )328. 0)(618. 2( )5)(2( )328. 0)(618. 2( )( 2 jsjss ss ss ss sH 22 1111. 0 2361. 2 1739. 05556. 0 236. 2 1739. 0556. 0 )( js j js j sH 70章節(jié)課件 下面再看一個(gè)稍微復(fù)雜點(diǎn)的一個(gè)例題， 系統(tǒng)連接方 式如下圖，其中： 10 1 )( 1 s sH 1 1 )( 2 s sH 44 1 )( 2 3 ss s sH 6 1 )( 4 s s sH 2 1 )( 5 s s sH2)( 6 s

48、H1)( 7 sH 71章節(jié)課件 試求系統(tǒng)的總模型腳本文件： h1=tf(1,1,10); % 傳遞函數(shù)1 h2=tf(1,1,1); % 傳遞函數(shù)2 h3=tf(1,1,1,4,4); % 傳遞函數(shù)3 h4=tf(1,1,1,6); % 傳遞函數(shù)4 h5=tf(1,1,1,2); % 傳遞函數(shù)1 h6=2; % 傳遞函數(shù)6 h7=1; % 傳遞函數(shù)7 p1=minreal(h4*h5/(1-h4*h5*h6); % 傳遞函數(shù)的最小實(shí)現(xiàn)（消 去相同的零極點(diǎn)）。 p2=minreal(h2*p1/(1-h2*p1*h3); 72章節(jié)課件 p3=feedback(h1*p2,h7,-1) % 反饋

49、系統(tǒng)（負(fù)反饋）。 hz=zpk(p3) % 零極點(diǎn)增益模型。 運(yùn)行結(jié)果: Transfer function: Zero/pole/gain: 3945782692210 485 2345 23 sssss sss )456. 4088. 4)(541. 1)(697. 5)(07.10( ) 1()2( 2 2 sssss ss 73章節(jié)課件 2 傳遞函數(shù)模型的傳遞函數(shù)模型的Simulink仿真模型建立仿真模型建立 對于一個(gè)動力學(xué)系統(tǒng)，除了使用以前講過的微分方程 模型來建立仿真模型，還可以使用傳遞函數(shù)模型來 建立仿真模型。 例例4-9 設(shè)單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的數(shù)學(xué)微分方程為： ，對上式兩端取

50、拉斯變換，假設(shè)y的各 階導(dǎo)數(shù)的初值均為零。 則傳遞函數(shù)定義為： )(tfkyycym )()()()( 2 sfskyscsysyms kcsmssf sy sH 2 1 )( )( )( 74章節(jié)課件 設(shè)： ， ， ， 即： 在正弦激勵(lì)下，對應(yīng)的系統(tǒng)的仿真模型框圖如下（為 了對比結(jié)果，仿真框圖中附加了微分方程模型）觀察 輸出圖線，得到了完全一樣的仿真結(jié)果。 10m2c 100k 100210 1 )( 2 ss sH 75章節(jié)課件 例例4-10 已知某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 計(jì)算系統(tǒng)在周期為5秒的方波信號激勵(lì)下的響應(yīng)。 解：建立SIMULINK仿真模型如下： 1004010 1003 )( 23

51、sss s sH 76章節(jié)課件 在脈沖信號發(fā)生求器（Pulse Generator）參數(shù)設(shè)置 為：周期（period）為5秒，脈沖寬度（pulse width ） 的百分比為50，輸入與輸出在同一個(gè)示波器中顯示 如圖： 77章節(jié)課件 例例4-11 對第二章例2-3所示系統(tǒng)，我們現(xiàn)在來分析其 傳遞函數(shù)模型的Simulink仿真模型建立，系統(tǒng)的數(shù) 學(xué)模型已經(jīng)建立如下： 對此方程兩邊做拉普拉斯變換，得 簡寫成 2 1 22 21 1211 2 1 222 1211 2221 1211 2221 1211 0 0 y y FF FF y y EE EEy CC CCy BB BBy J m )( )( s F s F )( )( 2 1 22222121 12121111 2222 2 2121 12121111 2 sy sy FEsE FEsE s sy CsB Js CsB C sBCsBm s 2 1 2221 1211 2221 1211 )( )( A y y BB BB s sy A A A 78章節(jié)課件 這是一個(gè)耦合方程組，當(dāng)給定 ， ， 最終系統(tǒng)模型可以用如圖所示的仿真框圖表示： 利用這個(gè)仿真模型可以模擬車輛在行駛