期望方差完美知識(shí)點(diǎn)試題

1、學(xué)生姓名學(xué)管師數(shù)學(xué)年級(jí)上課時(shí)間月 日教學(xué)重難占八、X來表示，并且 X是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同 隨機(jī)變量常用大寫字母 X , Y,川表示. 則稱 X為離散型隨機(jī)變量.目nm歸知識(shí)內(nèi)容1 離散型隨機(jī)變量及其分布列離散型隨機(jī)變量 如果在試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量 而變化的，我們把這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量.如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，離散型隨機(jī)變量的分布列教 學(xué) 過 程XX1X2XiXnPP1P2PiPn將離散型隨機(jī)變量 X所有可能的取值Xi與該取值對(duì)應(yīng)的概率Pi (i =1, 2, 111, n)列表表示:X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列.我們稱這個(gè)表

2、為離散型隨機(jī)變量2. 幾類典型的隨機(jī)分布兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X的分布列為X10Ppq其中0 c P 1 , q =1 - P，則稱離散型隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為P的二點(diǎn)分布.二點(diǎn)分布舉例：某次抽查活動(dòng)中，一件產(chǎn)品合格記為1,不合格記為0,已知產(chǎn)品的合格率為80%，隨機(jī)變量X為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則X的分布列滿足二點(diǎn)分布.X10p0.2兩點(diǎn)分布又稱0-1分布，由于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，所以這種分布又稱為伯 努利分布.超幾何分布一般地，設(shè)有總數(shù)為 N件的兩類物品，其中一類有 M件，從所有物品中任取n件(n N)，這n件 中所含這類物品件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為m

3、時(shí)的概率為m n _mM CN JMP(X =m) =5 Cr衛(wèi)(0 w m w l , l為n和M中較小的一個(gè)).X服從參數(shù)為N , M , n的 N，M和n，就可以根據(jù)公式求出 X取不同值時(shí)的概率我們稱離散型隨機(jī)變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱 超幾何分布.在超幾何分布中，只要知道P(X =m)，從而列出X的分布列.二項(xiàng)分布1 .獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)A及A，并且事件A發(fā)生的概率相同.在相同的條件下，n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).n次獨(dú)立如果每次試驗(yàn)，只考慮有兩個(gè)可能的結(jié)果 重復(fù)地做n次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，那么一般就稱它們?yōu)橹貜?fù)試驗(yàn)中，事件 A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)=cn pk(1

4、-p)n (k =0, 1, 2, III，n).2.二項(xiàng)分布若將事件A發(fā)生的次數(shù)設(shè)為X，事件A不發(fā)生的概率為q=1 - P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事 件A恰好發(fā)生k次的概率是P(X=k)=Cn pkq5，其中k=0, 1, 2, II), n .于是得到X的分布列X01knP00 nCn P qCn P qkj-kCn P qn n 0Cn p q由于表中的第二行恰好是二項(xiàng)展開式 (q+p)n =C0 p0qn +C； pdrHI + cn pkqn上+川C： 各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，所以稱這樣的散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n , P的二項(xiàng)分布，記作 X B(n, P). 二項(xiàng)分布的均值與方差： 若離

5、散型隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為n和P的二項(xiàng)分布，則E(X) = np , D(x) = npq (q =1 p).正態(tài)分布1. 概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時(shí)， 直方圖上面的折線所接近的曲線.在隨機(jī)變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變量 這條曲線稱為X的概率密度曲線.X，則曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是 1，而隨機(jī)變量X落在指定的兩個(gè)數(shù)a ,b之間 的概率就是對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積.2. 正態(tài)分布定義：如果隨機(jī)現(xiàn)象是由一些互相獨(dú)立的偶然因素所引起的，而且每一個(gè)偶然因素在總體的變y化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量 的概率分

6、布近似服從正態(tài)分布.服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量叫做正態(tài)隨機(jī)變量，簡稱正態(tài)變量.1r屮2正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為f (X) = L e 2芒,炸R，其V2 n 0X= !-Ox中卩，O是參數(shù)，且b ：0 ,二卩：母.式中的參數(shù) 卩和b分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差.期望為卩、標(biāo)準(zhǔn)差為b的正態(tài)分布通常記作 n(4, b2).正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.重要結(jié)論：正態(tài)變量在區(qū)間 岸-b, P+cT),(卩-2cr,卩+2cr),(卩-3。，卩十3cr)內(nèi)，取值的概率分別是 95.4% , 99.7% .68

7、.3% ,0.3% ,正態(tài)變量在(二，+旳內(nèi)的取值的概率為1，在區(qū)間(4-3口，卩+3cr)之外的取值的概率是 故正態(tài)變量的取值幾乎都在距 x=卩三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的 3口原則.若N (卩，&) , f (x)為其概率密度函數(shù)，則稱F (x) =P(匕w x ff (t)dt為概率分布函數(shù)，特別的，土土N(0 ,lj，稱4)(x) = f 丄edt為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù). CT皿廬Px*().c標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得.分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求，適當(dāng)了解以加深對(duì)密度曲線的理解即可.3. 離散型隨機(jī)變量的期望與方差1. 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義：一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨

8、機(jī)變量 X所有可能的取的值是Xi , X2 ,，Xn，這些值對(duì)應(yīng)的概 率是Pi , P2 ,Pn，則E(x) =XiPi +X2P2 +IH +XnPn，叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量 X的均值或數(shù)學(xué) 期望(簡稱期望).離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的平均取值水平.2. 離散型隨機(jī)變量的方差一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量 X所有可能取的值是Xi , X2 ,，Xn，這些值對(duì)應(yīng)的概率是 Pi , P2，Pn ,則 D(X) =(Xi -E(x)2pi +(X2 -E(X)2 P2 +HI +(Xn -E(X)2 Pn 叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量 X 的方差.離散型隨機(jī)變量的方差反映了離散隨機(jī)

9、變量的取值相對(duì)于期望的平均波動(dòng)的大小(離散程度).D(X)的算術(shù)平方根 何X)叫做離散型隨機(jī)變量 X的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個(gè)衡量離散型隨機(jī)變量波動(dòng) 大小的量.3. X 為隨機(jī)變量，a ,b 為常數(shù)，則 E(aX +b) =aE(X)+b , D(aX+b) =a2D(X);4. 典型分布的期望與方差：二點(diǎn)分布：在一次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量X的期望取值為P，在n次二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量X的期望取值為np .二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n和P的二項(xiàng)分布，則E(X) = np , D(x) = npq (q =1 p).超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N , M , n

10、的超幾何分布，N2(N -1)則 E(X)= , D(X)= n(N n)(N-M)MN4.事件的獨(dú)立性 如果事件A是否發(fā)生對(duì)事件 這時(shí)，我們稱兩個(gè)事件 A, 如果事件A , A ,，A相互獨(dú)立，那么這B發(fā)生的概率沒有影響，即 P(B|A)= P(B),B相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.n個(gè)事件都發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即p(Ai riA nriAn) = p(a)x卩(民咒卩內(nèi))，并且上式中任意多個(gè)事件a換成其對(duì)立事件后等式仍成立.5.條件概率對(duì)于任何兩個(gè)事件 A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件 B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符 號(hào)P(B|A) ”來表示.把由事件

11、 A與B的交(或積)，記做D=AnB (或D = AB ).【例11【例21【例31【例41【例51【例61【例71投擲1枚骰子的點(diǎn)數(shù)為匕，則的數(shù)學(xué)期望為（3.5C. 4D . 4.5同時(shí)拋擲4枚均勻硬幣80次,匕，則E的數(shù)學(xué)期望是（A. 20B . 25設(shè)4枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上，2枚反面向上的次數(shù)為C. 30D. 40從1,2 ,3,4,5,6這6個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)，則兩數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望為一射手對(duì)靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中率為 0.6，現(xiàn)共有4顆子彈，命中后尚余子彈數(shù)目E的期望為（）A. 2.44 B . 3.376 C . 2.376 D . 2.4一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分

12、的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為C （ a、b、C忘（0 , 1 ）,已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2 （不計(jì)其它得分情況），則ab的最大值為（A.48B.24C.12甲乙兩人獨(dú)立解出某一道數(shù)學(xué)題的概率依次為P1 , P2（Pl 卩2）,已知該題被甲或乙解出的概率為0.8，甲乙兩人同時(shí)解出該題的概率為 R ,2 ；解出該題的人數(shù)X的分布列及EX .0.3，求:甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合 格就簽約乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約設(shè)每人面試 合格的概率都是 丄，且面試是否合格互不影響求簽約人數(shù) 的數(shù)學(xué)期望.2【

13、例8】【例9】【例10】周銷售量234頻數(shù)205030某批發(fā)市場對(duì)某種商品的周銷售量（單位：噸）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，最近100周的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：根據(jù)上面統(tǒng)計(jì)結(jié)果，求周銷售量分別為2噸，3噸和4噸的頻率；已知每噸該商品的銷售利潤為 2千元，匕表示該種商品兩周銷售利潤的和（單位：千元）若以上述頻率作為概率，且各周的銷售量相互獨(dú)立，求t的分布列和數(shù)學(xué)期望.某項(xiàng)考試按科目A、科目B依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目A成績合格時(shí)，才可繼續(xù)參加科目B的考試.已知每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，兩個(gè)科目成績均合格方可獲得證書.現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試，科目A每次考試成績合格的概率均為 -，科目B每次考試成績合格的概率3均為-.假設(shè)各

14、次考試成績合格與否均互不影響.在這項(xiàng)考試過程中，假設(shè)他不放棄所有2的考試機(jī)會(huì)，記他參加考試的次數(shù)為匕，求E的數(shù)學(xué)期望EE .某同學(xué)如圖所示的圓形靶投擲飛鏢，飛鏢落在靶外（環(huán)數(shù)記為0）的概率為0.1，飛鏢落在靶內(nèi)的各個(gè)點(diǎn)是橢機(jī)的已知圓形靶中三個(gè)圓為同心圓，半徑分別為30cm、20cm、10cm，飛鏢落在不同區(qū)域的環(huán)數(shù)如圖中標(biāo)示設(shè)這位同學(xué)投擲一次一次得到的環(huán)數(shù)這個(gè) 隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【例11】【例12】【例13】【例14】某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核，否則即-、2、？，且各輪555被淘汰已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為

15、問題能否正確回答互不影響. 求該選手被淘汰的概率；該選手在選拔中回答問題的個(gè)數(shù)記為匕，求隨機(jī)變量 匕的分布列與數(shù)學(xué)期望.（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）在某次測(cè)試中，甲、乙、丙三人能達(dá)標(biāo)的概率分別為0.4 ,乙、丙能否達(dá)標(biāo)彼此間不受影響.求甲、乙、丙三人均達(dá)標(biāo)的概率；求甲、乙、丙三人中至少一人達(dá)標(biāo)的概率；設(shè)X表示測(cè)試結(jié)束后達(dá)標(biāo)人數(shù)與沒達(dá)標(biāo)人數(shù)之差的絕對(duì)值，求 ex .0.5 , 0.8，在測(cè)試過程中，甲、X的概率分布及數(shù)學(xué)期望在1, 2, 3,，9這9個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)數(shù). 求這3個(gè)數(shù)中恰有1個(gè)是偶數(shù)的概率； 設(shè)為這3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)（例如：若取出的數(shù)為2和2, 3,此時(shí)匕的值是2）.求隨

16、機(jī)變量t的分布列及其數(shù)學(xué)期望3,則有兩組相鄰的數(shù)1,甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約,甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)甲面試合 格的概率為1，乙、丙面試合格的概率都是 1，且面試是否合格互不影響.求：23至少有1人面試合格的概率；簽約人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.電話同時(shí)打入個(gè)數(shù)012345678概率P0.130.350.270.140.080.020.0100【例15】某公司 咨詢熱線”電話共有8路外線，經(jīng)長期統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，在 8點(diǎn)到10點(diǎn)這段時(shí)間內(nèi)，外 線電話同時(shí)打入情況如下表所示：若這段時(shí)間內(nèi)，公司只安排了 2位接

17、線員（一個(gè)接線員一次只能接一個(gè)電話）. 求至少一種電話不能一次接通的概率； 在一周五個(gè)工作日中，如果至少有三個(gè)工作日的這段時(shí)間（8點(diǎn)至10點(diǎn)）內(nèi)至少一路電話不能一次接通，那么公司的形象將受到損害，現(xiàn)用該事件的概率表示公司形象的損害度”求上述情況下公司形象的 損害度”.求一周五個(gè)工作日的這段時(shí)間（8點(diǎn)至10點(diǎn)）內(nèi)，電話同時(shí)打入數(shù) 匕的期望.【例16】某先生居住在城鎮(zhèn)的A處，準(zhǔn)備開車到單位B處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率，如圖.（例如:at C T D算作兩個(gè)路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率為 ，路段CD發(fā)生堵車事件的 10概率

18、為E(X).-）.記路線At C T F T B中遇到堵車次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望15112F320A 丄 C 丄 D1015【例17】【例18】【例19】如圖所示，甲、乙兩只小螞蟻分別位于一個(gè)單位正方體的可以從每一個(gè)頂點(diǎn)處等可能地沿各條棱向每個(gè)方向移動(dòng)，A時(shí)可沿AB , AD , AA1三個(gè)方向移動(dòng)，概率都是 丄3方向移動(dòng)，概率都是 1.已知小螞蟻每秒鐘移動(dòng)的距離為2如果甲、乙兩只小螞蟻都移動(dòng)若乙螞蟻不動(dòng)，甲螞蟻移動(dòng) 3秒后，甲、D1(DB1丿（甲）BAiCA點(diǎn)和G點(diǎn)處，每只小螞蟻都但不能按原路線返回.女口：甲在到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，可沿BC， BB1兩個(gè)1個(gè)單位.1秒，則它們所走的路線是異面

19、直線的概率是多少? 乙兩只小螞蟻間的距離的期望值是多少?某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型 受A感染的.對(duì)于C ,因?yàn)殡y以斷定他是受 染的概率都是1.同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是1 .在這種假定之下，I23C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個(gè)隨機(jī)變量.寫出 X的分布列（不要求寫出計(jì)算過程），并求X的均值（即數(shù)學(xué)期望）.H1N1流感，其中只有A到過疫區(qū).B肯定是A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感A , B兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官?，每?duì)三名隊(duì)員，A隊(duì)隊(duì)員是A ,A2 , A3 , B隊(duì)隊(duì)員是Bi ,B2 ,B3，按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對(duì)陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下:對(duì)陣隊(duì)員A隊(duì)隊(duì)員

20、勝的概率A隊(duì)隊(duì)員負(fù)的概率A1 對(duì) B12133A對(duì)B2235523A對(duì)B355的期望.【例20】連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第i次得到的點(diǎn)數(shù)為a ,若存在正整數(shù)k ,使ai七2十lllak =6，則稱k為你的幸運(yùn)數(shù)字.求你的幸運(yùn)數(shù)字為 4的概率；若k =1，則你的得分為6分；若k =2，則你的得分為4分；若k =3，則你的得分為2 分; 若拋擲三次還沒找到你的幸運(yùn)數(shù)字則記0分.求得分的分布列和數(shù)學(xué)期望.【例21】最近，李師傅一家三口就如何將手中的 10萬塊錢投資理財(cái)，提出了三種方案:將10萬塊錢全部用來買股票.據(jù)分析預(yù)測(cè)：投資股市一年可能獲利 （只有這兩種可能），且獲利的概率為丄；2將10萬塊

21、錢全部用來買基金據(jù)分析預(yù)測(cè)：投資基金一年可能獲利第一種方案:40%，也可能虧損20%第二種方案:20%，也可能損失10%，也可能不賠不賺，且三種情況發(fā)生的概率分別為第三種方案：將10萬塊錢全部存入銀行一年，現(xiàn)在存款利率為 針對(duì)以上三種投資方案，請(qǐng)你為李師傅家選擇一種合理的理財(cái)方法,【例22】某柑桔基地因冰雪災(zāi)害，種方案都需分兩年實(shí)施；倍、0.8倍的概率分別是3 11 .5 5 54%，存款利息稅率為5% . 并說明理由.使得果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果林的方案, 若實(shí)施方案一，預(yù)計(jì)當(dāng)年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的0.3、0.3、0.4 ;第二年可以使柑桔產(chǎn)量為上一年產(chǎn)量的1.0倍的概率分別是0.5、0.5