概率練習(xí)題練習(xí)一是我們老師給的就一份

1、練習(xí)三、選擇題1.設(shè)AB U C，則（）(A)AuC且BuC (B) AuC或BuC (C) AB 二C(D) A + BCD(X)=2 / 152 設(shè)a,b是（）sin x，X匸a，b是某連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度，則0, X芒a,b(A)(B) 0“(C)冷,03設(shè)隨機(jī)變量X - B（n, p），則（(A) E(2X-1)=4np(C) D(2X1)=2np(1-p)(B) E(2X +1) = 4np(D) D(2X +1)= 4np(1-p)4 用雪比曉夫不等式估計(jì)概率p = P|X -E(X)| 3jD(x)，貝y p (A) 1(B) 8( D) 8995若 xUn（0,12） ,

2、yLn（1,12），且 X 與 Y 獨(dú)立，則（1(A) PX +Y 0= 21(C) PX +Y 1=2(B)1P X - Y 0=-21PX -Y 2=4設(shè) X U1,3(均勻分布)，則 E(X)=, E(X-2) =Ax 0 0，求：（1）系數(shù)a,B ；0,X 0（2）X 的概率密度 f（x）；（3）pJin4 vX 丿両 .4 設(shè)X的概率密度為fXj/gg10,其他1，求Y =的分布函數(shù)和分布密度.X四、計(jì)算題X Y3451a1/103/1022/103/101/101設(shè)（X,Y）的分布列為,(1)求a ； （2）關(guān)于X,Y的邊緣概率分布，判別 X與Y是否獨(dú)立？ （ 3） PY-X 0，

3、f2(yT0y：010, y求（1） （X, Y）的聯(lián)合概率密度；（2） PX 1, Yim(A + Be 2 ) =A =1且 lim/(x limA + Be2 x_2)=A + B= 0，得-xMX 0A =1,B = 1 ；I xe(2) f(x) =F(x)=,xeL0,(3)pjn?x 7in9= F(/in9) -F(7in4)Z.Jn3-ln2=(1-e )-(1-e )4 .解：由X的實(shí)際取值為0X1.X因 y 1 時(shí)，F(xiàn)Y(y) = PY y = P xy12_3_4= /y3xdx=1-y ， fY(y) = FyO) =3y ，1故了二一的分布函數(shù)FY（y）=1其他13

4、y4 y 1 分布密度f(wàn)Y（y）斗y 10,其他四、計(jì)算題1 .解：(1)由 2 2 Pij =a +1 =1，得 a = 0 ;(2)由 p0J=Z，p2+3)10 10510 1010P1Z，P 2= 210510105P3 =2+丄=2，得10105X12,與Y345P2/5與3/5P1/52/52/5X與丫的分布列為因P11 H Pi .”P(pán)1,故X與丫不獨(dú)立;(3) PY-X 0其他0,(2)因X與丫獨(dú)立，故1 1PX 1Y 1 = PX 1PY 0,z-x 0其他e：0 cx0，且此時(shí) fZ (z) =ezd = zez丄故心曠0z0是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù),3jD(x)，則 p

5、 ()(A) 1(B) -99(D) 895.設(shè)(X)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),若 xL N(1Q2 f，且 P|X =0| a =0.9,則常數(shù)a滿(mǎn)足()(A )0 (a) =0.95(B)(a) =0.45( C)(a)=0.95 ( d)(旦)=0.452 2二、填空題1設(shè) A , B 是隨機(jī)事件，P (A-B)=0.4 , P(B|A)=0.2，則 P(A)=p(AUB)=2.在1,2j|l,100這一百個(gè)正整數(shù)中任取一個(gè)，則它能被2或5整除的概率為3設(shè) X U B(n, p)，若 E(X ) =10, D(X) =9，則 n =,D(X) =4設(shè) X Ua,3(均勻分布)，E(X)=2，則

6、 a =D(3X -1)=25.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為F(x) =arctaneX,Mx+，則分布密 兀度 f(X)=,P0X 丄 n328件，其中有5件正品，3件次品，已經(jīng)售出2件.某 求這人能購(gòu)到正品的概率(必須寫(xiě)出設(shè)題和已知的概三、計(jì)算題1. 某商品店銷(xiāo)售電子產(chǎn)品，進(jìn)貨 人要從剩下的6件中任意購(gòu)一件， 率，并寫(xiě)出所用的概率公式)袋中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球和1個(gè)黃球，從中任意取出 3個(gè)，記X為所取的紅球數(shù),X的分布函數(shù)為F(x) (1)求X的分布列；(2)求F(2) ; (3)求E(X), D(X).，且E(X2) =1.( 1)求常數(shù)求其中恰好有一次X的絕3 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密

7、度為f(X)Q 2x, a V X V b0,其他a,b的值；(2)求P| X |VI ; (3)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè), 對(duì)值小于1的概率.13x2 0 X 14.設(shè)X的概率密度為心冷，其他，求YX的分布函數(shù)和分布密度.四、計(jì)算題1.設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的概率分布為X Y-10100.10.2a20.30.10.3，求：(1) a ； (2)關(guān)于X,Y的邊緣概率分布，判別X與Y是否獨(dú)立?(3) PX + Y010,其他10, y蘭0求(1) (X, Y)的聯(lián)合概率密度(2) PY X ; (3) Z=X+ Y的概率密度.五、證明題設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為練習(xí)四答案:、選擇

8、題4. B ;5. C .1 . c；2. A ;3. D;二、填空題1. 0.5,0.9 ;2. 0.6 ；3.10,0.1 ;4. 1,1/3,3;5.-Xe.,2x兀1 +e24 / 15三、計(jì)算題1.解：設(shè)A表“已經(jīng)售出的2件中i件正品” (i =0,1,2) , B表“從剩下的6件中任購(gòu)一件是正品”，則 p(A)=CCt, P(B/A)- (i =0,1,2),C8C62利用全概率公式得P(B)=2； P(A0)Pp/AJi =0小工105 35i =0562.解：(1)因X的實(shí)際取值為X =0,1,2,3，且PX =0=血-C；23_cT,px =1392020，PX =2=罟9c

9、3C?頁(yè)，Px=3-Cf120X0123P1/209/209/20 1/20 ；的分布列為(2)F(2) = PX 2 =19/ 20 ；4E(x)=5： Xi Pii#=0天丄+2 +2沢2+3沢20 20 2012030e(x2)=2 Xi2Pi二。2% 丄 +12x2 +22 X-9 +32% 丄20 20 20 20= 5420=空10229D(X)=E(X )E (X)=.址b223.解：(1)由 f (x)是概率密度得 f f(x)dx=f 2xdx = b2-a2=1 a22b 3144由 E(X2) = f x2f (x)dx = f 2x3dx = (b4 -a4) =1.-

10、oCa2聯(lián)立，解得a = J2/2,b = 76/2；111(2) P|X|1=Lf(x)dx=&2 2xdx = 2(3)設(shè)丫表示三次觀測(cè)中 X的絕對(duì)值小于1的次數(shù)，則yL B(3,?)，故所求概率pY =c3(2)1(2 宀34由X的實(shí)際取值0 x 1，得Y =eX的實(shí)際取值為1 y e.因1 y e時(shí),FY(y) = PY y = PeX 0 = PX In yln y 23,2=0 3x dx = In y , fY( y) = Fy( y) = 3In故所求的分布函數(shù)為Fy%*其他分布密度為31 n2 fY(y)才 yI10,y,1 y e其他四、計(jì)算題1 .解：(1)由 2 2Pi

11、j= a +1 = 1，得 a = 0 ；(2 )由 P+0.2 +a=0.3，p.= 0.3 + 0.1 +0.3 = 0.7，與 p 1=0.1 +0.3=0.4，p 2=0.2 +0.1=0.3，p 3 =a +0.3 = 0.3，得XX與丫的分布列為P02Y與=0.3 0.7P-1 0 10.4 0.3 0.3，因 P13p3，故 X 與 丫 不獨(dú)立；(3) PX +Y 2=1-PX+Y a2=1-P( X , Y) = (2,1) = 1-0.3 = 0.7 ；(4) p-0I-0HPX=0|=|2. 解：（1）因X與丫獨(dú)立，故（X,Y）的聯(lián)合概率密度f(wàn)(x, y) = f1(x)

12、f2(y) =e，。x 00,其他1 x1(2) PY X珂 dx( rdy = e（3）因X與丫獨(dú)立，故Z =X+ Y的概率密度f(wàn)Z（z）-be=Lcf1(x)f2(z-x)dx,f /、f /、 J e 亞,0x0f1（X）”f2（zX）=0,其他所以Z的實(shí)際取值為z0，且eXd,0 X v1,x Z10,其他當(dāng) 0 1時(shí),f1(x)f2(Zf,0 其他 110,其他fz(z)= fedxNe1),1e, 0zc1 故Z =X + Y的概率密度f(wàn)Z(z) =1=，E(X) =4 若X的概率密度f(wàn)(x)=ke/七z，則系數(shù)k=, D(X) =E(X2) =5.設(shè) E(X) =10 , D(X

13、)=4 .由雪比曉夫不等式，若 P| X 10Rc 0.04，則c =.三、計(jì)算題1.袋子中有8個(gè)正品硬幣，2個(gè)次品硬幣(次品硬幣兩面都印有國(guó)徽).在袋子中任取一只硬幣，將它拋擲 3次.(1)求所拋擲的3次都是國(guó)徽朝上的概率；(2)已知所拋擲 的3次都是國(guó)徽朝上，求所取的硬幣是正品的概率(必須寫(xiě)出設(shè)題和已知的概率，并寫(xiě) 出所用的概率公式).2 三張外表相同的紙上各寫(xiě)上數(shù)字0,1,2，隨機(jī)取出兩張，設(shè) X為所取的兩張紙上數(shù)字之和，(1)求X的分布列；(2)求E(X) , D(X) ;(3)定義Y=1+(-1)x，求E(Y).3.設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為f(x) = JaxI0,+ b,0vxc

14、1 口1其他，且 E(X3，求:(1)a,b；(2) p22.4 設(shè)X E(1)，即概率密度f(wàn)(X)= Je10,X A 0 ，求丫 =X2的概率密度f(wàn)Y(y).x0-10 1四、計(jì)算題X且X,丫相互獨(dú)立，求：(1) a ；1 若一.若 P a 0.7 P 0.4 0.3 0.3(2) PX +Y 2 ；( 3)E(XY).2 .設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合概率密度為/(x + y)0 仔 x小Q其他(1)求X和丫的邊際概率密度，并判別X和丫是否相互獨(dú)立；(2)求Z =X卄 的 概率密度.五、證明題 對(duì)任意的 X , Y，求證：D(X -Y)=D(X)+D(Y) 2E(XY) E(X)E(

15、Y).練習(xí)五答案:、選擇題1 . D;2. A ; 3. C;4. B; 5. B .二、填空題1. 0.8 , 0.2 ； 2. 2.5 ; 3. 2 , 1 -3e , 2 ； 4. 1/妖,1/2 , 3/2 ； 5. 10 .三、計(jì)算題,B= “拋擲三次恰有三次國(guó)徽朝上”，則1 .設(shè)A = “所取的一只是正品硬幣”P(pán)(A)= 84 *8+21-,P(A)=1 -P(A)=-55利用二項(xiàng)概率公式得：P(B| AC3(2222114(2) E(X)=(1+2+3)x=2 , E(X 2)=(12 + 22 +32)x=3 33)D(X) =E(X )-E (X) =3 ;(-)- , P(

16、BA)=1 ,2 2 8(1)利用全概率公式得：P(B)= P(A)P (B|A) +P (A) P(B|A)(2)利用逆全概率公式得所求概率為P(ABPm_r8P(B)3102. (1)因X的可能取值為1,2,3，且1 1PX =1=尹=Px =2C33C31 1二1，P3CJC3X123P1/31/31/3C3故X的分布列為3. (1)因?yàn)閒(x)為概率密度，所以-be11f f(x)dx = f (ax +b)dx =-a+b=1= a+ 2b = 2 ；_oc02耘1111又 E(X) = Jxf (x)dx = Lx(ax +b)dx = -a +-b=-= 2a +3b = 2,3

17、23聯(lián)立解得a = -2,b =2 ；1 2 1 1(2)0，所以Y=x2的實(shí)際取值為y0，且當(dāng)y0時(shí),FY(y) = PY y = PX2 y = P-jy X 0故 fY(y) 2jy10,四、計(jì)算題1. (1)由 a+0.7 =1，得其他a = 0.3 ；(2)因?yàn)閄,丫相互獨(dú)立,Pj = Pi.x p j，得(X ,Y)的聯(lián)合分布列為(X,Y) (0,1)(0,0) (0,1) (2,1) (2,0) (2,1)0.120.090.090.280.21 0.21于是 P X+ Y2=1 PX+ Y2=1- PXY) ( 2=1 0.21 =0.79 ；(3) E(XY) = 0x(1)

18、咒0.12+0X0X0.09 + =2咒0.28+2咒0.21 = 2907 = -0.14 .址X22. (1)當(dāng) x(0,1)時(shí)，fx(x) = ffd, y)dy = 0 2(x + y)dy =3x ,_,-be12當(dāng) y (0,1)時(shí)，fY(yff(x,y)d I2(x+y)dx =1+2y-3y2 , 故 fXWJ fY（y）W：1：）因 fx（x）fY（y） H f（x,y） ，故X和丫不相互獨(dú)立;（2 ）由（X,Y）的實(shí)際取值，得 Z =X + Y的實(shí)際取值為zGO, 2，此時(shí)f(X,ZX)=2z, 0x1,0z-xx 2z, 0x1,z/2xz0,其他0,其他當(dāng) z0,1)時(shí),嚴(yán)，o,其他fz(Z)=乂z2L f(X, z - x)dx = /2 2zdx = z ;當(dāng) 1,2時(shí),嚴(yán),必心0,其他乂1fz(z) = Jf