完整word版求極限的13種方法

1、求極限的13種方法（簡敘）龘龖龍極限概念與求極限的運算貫穿了高等數(shù)學課程的始終， 極限思想亦是高等數(shù)學的核心與 基礎，因此，全面掌握求極限的方法與技巧是高等數(shù)學的基本要求。 本篇較為全面地介紹了 求數(shù)列極限與函數(shù)極限的各種方法，供同學參考。一、利用恒等變形求極限利用恒等變形求極限是最基礎的一種方法，但恒等變形靈活多變，令人難以琢磨。常用的的恒等變形有：分式的分解、分子或分母 有理化、三角函數(shù)的恒等變形、某些求和公式與求積公式的利用等。例 1、求極限 |im (1+a)(1+a2).(1+a2 )，其中忖1 nT處分析 由于積的極限等于極限的積這一法則只對有限個因子成立,此,應先對其進行恒等變形

2、。CJ因為(1 + a)(1 +a2).-(1 +a2 )1 2 2 (1 -a)(1 +a)(1 +a2)(1 + a2 1 -a1 2 2 2n二(2)(宀2).(譏2)1 2n +)a 1a22n0,從而 lim (1+a)(1 + a2).(1+a2 )= _ nT 曲1 - a二、利用變量代換求極限利用變量代換求極限的主要目的是化簡原表達式，從而減少運算量, 提高運算效率。常用的變量代換有倒代換、整體代換、三角代換等。例2、求極限lim Jx -1，其中m,n為正整數(shù)。y坂_1分析 這是含根式的（0 ）型未定式，應先將其利用變量代換進行化 0簡，再進一步計算極限。1解令t =X而則當

3、XT 1時，tT 1百十.tn 1(t 1)(tn+tn+.+1)上“+上心+ 丨 n原式=ltimm戸弋_1)(嚴+嚴+.+1廠嚴+嚴+.+1=71三、利用對數(shù)轉(zhuǎn)換求極限利用對數(shù)轉(zhuǎn)換求極限主要是通過公式 uv = elnUV,進行恒等變形，特別的情形，在（嚴）型未定式時可直接運用(u_l) v=e2例 3、求極限 lim (cosX)cSc X1 . 2 Sin X lim XT0 sin2 XXTO 2解 原式= lim e(cosx1)csc x = eXTO四、利用夾逼準則求極限利用夾逼準則求極限主要應用于表達式易于放縮的情形。例4、求極限nm 4分析當我們無法或不易把無窮多個因子的積

4、變?yōu)橛邢迺r，可考慮使 用夾逼準則。加 rn 斗 / n! 12 n T n / 1解 因為o 二=一； 一 1,有 Xn所以Xn+Xn，即數(shù)列單調(diào)減少。由單調(diào)有界準則知數(shù)列 現(xiàn)設nimxn=A，則由極限的保號性知AHO.對式子XnP二4（3Xn +茫）兩邊同時取極限得A = 解得a=4G，即lim Xn二需（已舍去負根）n處六、利用等價無窮小求極限利用等價無窮小求極限是求極限極為重要的一種方法，也是最為簡 便、快捷的方法。學習時不僅要熟記常用的等價無窮小，還應學會靈 活應用。同時應注意：只有在無窮小作為因式時，才能用其等價無窮 小替換。例6、求極限lim sinsg)7 In X分析 此題中s

5、in(x-1),sinsin(x-1),lnx均為無窮小，而均作為因式，故 可以利用等價無窮小快速求出極限。解 當XT1時,X 1 T 0,貝y sin sin(x 1) sin(x 1) x -1,ln x = ln(1 + x 1) x 1故原式=|計口 =1X-1 x1七、利用導數(shù)定義求極限a -b利用導數(shù)定義求極限適用于J(x0+aix0+b)型極限，并且需要 滿足f(X0)存在。sin (a +丄)例7、求n戛pdr，其中0a1。分析初步可判斷此題為(嚴)型未定式，先通過公式uv=elnuv,進 行恒等變形，再進一步利用導數(shù)定義求得極限。1si n(a)s i na(+ )lim n

6、 ln解 lim n=esinan 從 s i a1 1sin (a +-)ln si n(a+-)T n s i a而 lim n、ln = lim nnYsin an護1n丄1ln sin(a + )Tn sin a由導數(shù)的定義知，n表示函數(shù)lnsinx在 x=a處的導n1si n( a+-)數(shù)。即卩 limn 4n =1 nsi nxxH = cota。nYsin a八、利用洛必達法則求極限利用洛必達法則求極限適用于0,-,0-型未定式，其它類型未定式也0至可通過恒等變形轉(zhuǎn)化為0,二,0 2型。洛必達法則使用十分方便，但使0處用時注意檢查是否符合洛必達法則的使用條件。例 8 求極限 li

7、m cosx-2CQs3xTx2的 由+ i sinx+ 3si n3x-cosx +9cos3x 2x注：連續(xù)兩次使用洛必達法則解 原式-lim= lim= 4T2xT九、利用微分中值定理求極限利用微分中值定理求極限的重點是學會靈活應用拉格朗日中值定理, 即右）,其中口 a,b）。X sin X例9、求極限lim e eT X -sin X分析 若對函數(shù)f（x）= ex，在區(qū)間Sinx,x】上使用拉格朗日中值定理x sin x則:e e =e其中呉（sinx, x）X sin xX sin X由分析可知e e 仝其中從（sinx,x）X sin XXT 0時，有 s i rxT 0,s i

8、xn 吒匕 X,故巴t 0x si n X所以 lim -e = lim e = 1 T X sin X T十、利用泰勒公式（麥克勞林公式展開式）求極限利用泰勒公式（麥克勞林公式展開式）求極限是求極限的又一極為重 要的方法。與其它方法相比，泰勒公式略顯繁瑣，但實用性非常強。例 10、求極限 lim arctanx arcsinxXT0tan x-sinx分析 若使用洛必達法則，計算起來會相當麻煩；同時分子并非兩因式之積，等價無窮小也不適用，此時可以考慮用泰勒公式。3X3、,arcsxnx+ o(x )63解 當XT 0時，由于 arctanx=x- + o(x3)31 3tanX - sinx

9、 = tanx(1 -cosx) x卜3 +o(x3)2=-11 3-x233x-+o(x3)x +o(x3)故 原式= lim36T1 3-x2十一、利用定積分的定義求極限由定積分的定義知，如果f(x)在a, b上可積，那么，我們可以對a b用特殊的分割方法(如n等分)，并在每一個子區(qū)間特殊地取點(如取每個子區(qū)間的左端點或右端點)，所得積分和的極限仍是f(x)在a，b】上的定積分。所以，如果遇到某些求和式極限的問題，能夠?qū)⑵浔硎緸槟硞€可積函數(shù)的積分和，就能用定積分來求極限。這里關(guān)鍵(n 一1)兀在于根據(jù)所給和式確定被積函數(shù)和積分區(qū)間。例 11、求極限 lim - (sin +sin 竺+si

10、n _)Yn nnn解 從和式丄(sin +sin竺+sin )看，若選被積函數(shù)為sin兀x, n n nn則因分點1與口當nT處時分別趨于0與1,故積分區(qū)間為n n將0,1等分，則有Xi =丄,從而有：sin 兀 xdx = 一1 Cos 兀x( =Z p兀兀n原式= lim (sin - +sin 空十+sin (n )= Ynn nn-十二、利用級數(shù)收斂的必要條件求極限級數(shù)具有以下性質(zhì): 若級數(shù)un收斂，則nimun。所以對于某些極限nifg可以將函 數(shù)f(n)作為級數(shù)2 f(n)的一般項，只需證明級數(shù) Z f(n)收斂，便有n=1n 1lim f(n), =0.n例12、求極限limnnM(n!)2解令Un,對于正項級數(shù)2 Un,有nlimU = lim (n+1)n：YUny( n+1)!)2(n!)2nn=lim 空;+(n +1)n=lim (1 J)= lim = 0+ n n + 1 Mn + 1Clim7 Un= 01,由比值審斂法知，級數(shù) Z Un收斂。nAnn故哩亍0十三、利用冪級數(shù)的和函數(shù)求極限當數(shù)列本身就是某個級數(shù)的部分和數(shù)列時， 求該數(shù)列的極限就成了求相應級數(shù)的和。此時常?？梢暂o助性地構(gòu)造一個函數(shù)在某