小學(xué)奧數(shù)7 4 1簡單的排列問題專項練習(xí)

1、7-4-1.簡單的排列問題7-4-1.簡單的排列問題.題庫教師版Page of 8教學(xué)目標(biāo)1. 使學(xué)生正確理解排列的意義；2. 了解排列、排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列；3. 掌握排列的計算公式；4. 會分析與數(shù)字有關(guān)的計數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學(xué)習(xí)，對排列的一些計數(shù)問題進行歸納總結(jié)，并掌握一些排列技巧，如捆綁法等. 貝匸知識要點一、排列問題在實際生活中經(jīng)常會遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一列，計算有多少種排法,就是排列問題.在排的過程中，不僅與參與排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān).一般地，

2、從n個不同的元素中取出m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，指的是兩個排列的元素完全相同， 并且元素的排列順序也相同.如果兩個排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個排列中，雖然元素完全相同，但元素的 排列順序不同，它們也是不同的排列.排列的基本問題是計算排列的總個數(shù).從n個不同的元素中取出 m(m n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同的元素的排列中取出m個元素的排列數(shù)，我們把它記做 Pnm .根據(jù)排列的定義，做一個 m元素的排列由m個步驟完成：步驟1：從n個不同的元素中任取一個元素排在第一位，有n種

3、方法；步驟2 :從剩下的(n -1)個元素中任取一個元素排在第二位，有(n-1)種方法；m個位置，有n -(m -1) = n-m+1(種)方n -n1) - n-2) H| -n-m+1),即n開始，后面每個因數(shù)比前一個因數(shù)小1 ,步驟m :從剩下的n _(m-1)個元素中任取一個元素排在第 法；由乘法原理，從n個不同元素中取出 m個元素的排列數(shù)是 Pnm =n(n -1).( n -2) n -m +1)，這里，m c1=6（種）.【補充說明】這個問題也可以用乘法原理來做，一般，乘法原理中與順序有關(guān)的問題常?？梢杂门帕袛?shù)公式做，用排列數(shù)公式解決問題時，可避免一步步地分析考慮，使問題簡化.【

4、答案】6模塊三、排列之?dāng)?shù)字問題47-4-1.簡單的排列問題.題庫教師版Page of 8【例7】【解析】用 1、2、3、4、5、6、【考點】簡單排列問題這是一個從8個元素中取7、 8可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？【難度】2星【題型】解答4個元素的排列問題，已知 n=8 , m=4，根據(jù)排列數(shù)公式，一共可 以組成R4 =8X 7X6X5 =1680（個）不同的四位數(shù).【答案】1680【鞏固】【解析】由數(shù)字1、2、3、4、5、6可以組成多少沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)? 【考點】簡單排列問題3P6 =120 .【答案】120【難度】2星【題型】解答【例8】用 0、1、2、3、【考點】簡單排列問題【解

5、析】4可以組成多少個沒重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？【難度】3星【題型】解答（法1 ）本題中要注意的是 0不能為首位數(shù)字，因此，百位上的數(shù)字只能從1、2、3、4這四個數(shù)字中選擇一個，有4種方法；十位和個位上的數(shù)字可以從余下的 4個數(shù)字中任選兩個進行排列， 有P： 種方法由乘法原理得，此種三位數(shù)的個數(shù)是：4XP42 =48（個）.（法2 ）:從0、1、2、3、4中任選三個數(shù)字進行排列， 再減去其中不合要求的，即首位是0的從0、1、2、3、4這五個數(shù)字中任選三個數(shù)字的排列數(shù)為P53，其中首位是0的三位數(shù)有P2個三位數(shù)的個數(shù)是：32P5 -P4 =5x4x34X3 =48（個）.本題不是簡單的全排列，有一些其它

6、的限制，這樣要么先全排列再剔除不合題意的情況，要么直接在排 列的時候考慮這些限制因素.【答案】48【例9】【解析】用1、2、3、4、5、6可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的個位是5的三位數(shù)？【考點】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答個位數(shù)字已知，問題變成從從5個元素中取2個元素的排列問題，已知 n=5 , m = 2，根據(jù)排列數(shù)公式，一共可以組成 P； =5X4 =20（個）符合題意的三位數(shù).【答案】20【鞏固】【解析】用1、2、3、4、5、6六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個不同的偶數(shù)？【考點】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答由于組成偶數(shù)，個位上的數(shù)應(yīng)從2，4，6中選

7、一張，有3種選法；十位和百位上的數(shù)可以從剩下的5張中選二張，有P52 =5咒4=20（種）選法.由乘法原理，一共可以組成 3X20 =60（個）不同的偶數(shù).【答案】60【例10】由0 , 2，5，6，7，8組成無重復(fù)數(shù)字的數(shù)，四位數(shù)有多少個?【考點】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】方法一：先考慮從六個數(shù)字中任取四個數(shù)字的排列數(shù)為P64 =6x5x4x3=360，由于0不能在千位上，而以0為千位數(shù)的四位數(shù)有 p3 =5x4x3=60,它們的差就是由0, 2 , 5 , 6 , 7 , 8組成無重復(fù) 數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)，即為： 360 -60 =300個.方法二：完成這件事一一組成一個

8、四位數(shù)，可分為4個步驟進行，第一步：確定千位數(shù)；第二步：確定百位數(shù)； 第三步：確定十位數(shù)；第四步：確定個位數(shù)； 這四個步驟依次完成了，“組成一個四位數(shù)”這件事也就完成了，從而這個四位數(shù)也完全確定了，思維 過程如下：； ! 白于首徨；總憑 I 0 .鮒琳只堤從2 5 * i 6 了 * 8中在產(chǎn)一卒 j數(shù)豐.臭有5科感ft.商住14I:SS三步：用忑+舷敷 :2固為+儉昶百直己從 0-2,（5.7.3+；影西歩.尊直伍歎國毎羊直一 g伐檢十新以+直附過的般卓育總不能瞎也乙從0 .2.5.67.雷.然百百世可；是0 *曲琨虛3 +附去3怙就豐.2 . 5- 6 . 7 , 8申吉樺+仮；卒龜從飆下

9、啊歎華申處擇-臭庸3 *t速您，聽花:5X5X4X3 =300（個）.根據(jù)乘法原理，所求的四位數(shù)的個數(shù)是:其能創(chuàng)斜下的數(shù)辛中追!:擇，頭:【答案】300【例11】【解析】用1、2、3、4、5這五個數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫出多少個【考點】簡單排列問題【難度】4星【題型】解答按位數(shù)來分類考慮：一位數(shù)只有1個3 ;兩位數(shù)：由1與2 , 1與5 , 2與4 , 4與5四組數(shù)字組成，每一組可以組成p2=2X1=2（個）不同的兩位數(shù)，共可組成2x4=8（個）不同的兩位數(shù)；三位數(shù)：由1 , 2與3 ; 1 , 3與5 ; 2 , 3與4 ; 3 , 4與5四組數(shù)字組成，每一組可以組成3P3 =3X2X

10、1 =6（個）不同的三位數(shù)，共可組成 6X4 =24（個）不同的三位數(shù)； 四位數(shù)：可由1 , 五位數(shù)：可由1 ,3的倍數(shù)?【例12】【解析】由加法原理，一共有【答案】位數(shù)？【考點】177用 1、2、2，4，5這四個數(shù)字組成，有 P4 =4X3X2X1 =24（個）不同的四位數(shù); 2，3，4，5組成，共有P55 =5X4X3X2X1 =120（個）不同的五位數(shù).1 +8 +24 +24 +120 =177（個）能被3整除的數(shù)，即3的倍數(shù).3、4、5這五個數(shù)字可組成多少個比20000大且百位數(shù)字不是 3的無重復(fù)數(shù)字的五簡單排列問題 可以分兩類來看：把3排在最高位上，其余4【難度】4星【題型】解答4

11、個數(shù)可以任意放到其余4個數(shù)位上，是 4個元素全排列的問題，有R =4X3X2X1=24（種）放法，對應(yīng)24個不同的五位數(shù)； 把2, 4, 5放在最高位上，有 3種選擇，百位上有除已確定的最高位數(shù)字和3之外的3個數(shù)字可以選擇，有3種選擇，其余的3個數(shù)字可以任意放到其余 3個數(shù)位上，有P3=6種選擇.由乘法原理，可7-4-1.簡單的排列問題.題庫教師版Page of 8以組成3x3x6 =54（個）不同的五位數(shù).由加法原理，可以組成 24 +54 =78 （個）不同的五位數(shù). 【答案】78【鞏固】用0到9十個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；第幾個數(shù)？【考點】簡單排列問題從高位到低位逐層分類：【解析】

12、若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則5687是【難度】4星【題型】解答千位上排1 , 2 , 3或4時，千位有4種選擇，而百、十、個位可以從 09中除千位已確定 的數(shù)字之外的9個數(shù)字中選擇，因為數(shù)字不重復(fù)，也就是從9個元素中取3個的排列問題，所以百、十、個位可有 P93 =9x8x7 =504（種）排列方式.由乘法原理，有 4咒504=2016 （個）.千位上排5，百位上排04時，千位有1種選擇，百位有5種選擇，十、個位可以從剩下的八個數(shù) 字中選擇.也就是從8個元素中取2個的排列問題，即雷=8X7=56 ,由乘法原理，有 1X5X56 =280 （個）.千位上排5，百位上排6，十位上排0,

13、1 , 2 , 3 , 4 , 7時，個位也從剩下的七個數(shù)字中選擇，有 1X1X6X7 =42（個）.千位上排5，百位上排6，十位上排8時，比5687小的數(shù)的個位可以選擇 0,1 , 2 , 3 , 4共5 個.綜上所述，比5687小的四位數(shù)有2016 +280 +42 +5 =2343（個），故5687是第2344個四位數(shù).【答案】2344【例13】【解析】用數(shù)字I8各一個組成8位數(shù)，使得任意相鄰三個數(shù)字組成的三位數(shù)都是3的倍數(shù).共有 種組成方法.【考點】簡單排列問題【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，六年級，初賽，第7題l8中被三除余1和余2的數(shù)各有3個，被3整除的數(shù)有兩個，根據(jù)題

14、目條件可以推導(dǎo)，符 合條件的排列，一定符合“被三除所得余數(shù)以3位周期”，所以8個數(shù)字，第1、4、7位上的數(shù)被3除同余，第2、5、8位上的數(shù)被3除同余，第3、6位上的數(shù)被3除同余，顯然第3、6位上的數(shù)被3整除, 第1、4、7位上的數(shù)被3除可以余1也可以余2,第2、5、8位上的數(shù)被3除可以余2可以余1,余數(shù) 的安排上共有2種方法，余數(shù)安排定后，還有同余數(shù)之間的排列，一共有3! X 3!X 2! =144種方法.【答案】144種【例14】由數(shù)字0、2、8 （既可全用也可不全用）組成的非零自然數(shù)，按照從小到大排列.2008排在【解析】個.【考點】簡單排列問題比2008小的4位數(shù)有2000和2002，比

15、2008小的3位數(shù)有2x3x3=18 （種），比2008小的2位數(shù) 有2X3=6 （種），比2008小的1位數(shù)有2 （種），所以2008排在第2+18+6+2 +1=29 （個）.【答案】29【難度】【題型】解答【例15】千位數(shù)字與十位數(shù)字之差為 2 （大減小），且不含重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個？【考點】簡單排列問題【難度】4星【題型】解答【解析】千位數(shù)字大于十位數(shù)字，千位數(shù)字的取值范圍為2 : 9，對應(yīng)的十位數(shù)字取 0: 7 ,每確定一個千位數(shù)字， 十位數(shù)字就相應(yīng)確定了， 只要從剩下的8個數(shù)字中選出2個作百位和個位就行了， 因此總共有8X2個這樣的四位數(shù)千位數(shù)字小于十位數(shù)字，千位數(shù)字取1: 7

16、，十位數(shù)字取3: 9 ,共有rP82個這樣的四位數(shù)所以總共有 P,2 +P82 =840個這樣的四位數(shù).【答案】840模塊四、排列之策略問題【例16】某管理員忘記了自己小保險柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個非 是9，那么確保打開保險柜至少要試幾次？【考點】簡單排列問題【難度】4星0數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和【題型】解答【解析】四個非0數(shù)碼之和等于9的組合有1, 1, 1, 6; 1, 1, 2, 5; 1, 1, 3, 4; 1, 2,2, 4; 1, 2, 3, 3; 2, 2, 2, 3 六種.第一種中，可以組成多少個密碼呢？只要考慮6的位置就可以了， 6可以任意選擇4個位置中的一個，其余位置放

17、1，共有4種選擇；第二種中，先考慮放2，有4種選擇，再考慮5的位置，可以有3種選擇，剩下的位置放1，共有4x3=12（種） 選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各有12種選擇.最后一種，與第一種的情形相似，3的位置有4種選擇，其余位置放 2，共有4種選擇.綜上所述，由加法原理，一共可以組成4+12+12+12+12+4=56（個）不同的四位數(shù)，即確保能打開保險柜至少要試56次.【答案】56【例17】【解析】幼兒園里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少種坐法？【考點】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答在這個問題中，只要把 3把椅子看成是3個位置，而6名小朋友作為6個不同元素，則問題就 可

18、以轉(zhuǎn)化成從6個元素中取3個，排在3個不同位置的排列問題.由排列數(shù)公式，共有：P63 =6X5X4 =120 （種）不同的坐法.【答案】120【鞏固】【解析】幼兒園里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少種不同的坐法？ 【考點】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答與例5不同，這次是椅子多而人少，可以考慮把6把椅子看成是6個元素，而把3名小朋友作為3個位置，則問題轉(zhuǎn)化為從 6把椅子中選出3把，排在3名小朋友面前的排列問題.由排列公式，共有：P63 =6X5X4 =120 （種）不同的坐法.【答案】120【鞏固】【解析】10個人走進只有6輛不同顏色碰碰車的游樂場，每輛碰碰車必須且只能坐一個人，那么共有多少種 不同的坐法？【考點】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答把6輛碰碰車看成是6個位置，而10個人作為10個不同元素，則問題就可以轉(zhuǎn)化成從10個元素中 取6個，排在6個不同位置的排列問題.共有 R0 =10X9X8X7X6X5 =151200（種）不同的坐法.【答案】151200【例18】一個籃球隊有五名隊員A , B , C , D , E，由于某種