中考數(shù)學：分類討論思想與動態(tài)幾何問題應(yīng)用例析

1、分類討論思想與動態(tài)幾何問題應(yīng)用例析綜觀近幾年來的中考數(shù)學試題，幾何動態(tài)型問題在全國各省市的中考試題出現(xiàn)的頻率相當高，用“無“動”不成卷”也不為過。命題者為何對動態(tài)幾何型問題情有獨鐘，主要的原因是這類問題往往可以與函數(shù)、幾何、代數(shù)知識結(jié)合，數(shù)學分類討論思想等等聯(lián)系起來，比較容易形成一道綜合程度較高的試題。從學生解答情況分析，往往存在這樣兩個問題：.分類討論數(shù)學思想缺乏或意識不強；. 幾何構(gòu)圖經(jīng)驗與想象能力缺乏解題表征：無法解答或解答不完整二、問題舉例：例如圖，點a，b在直線mn上，ab11cm，a，b的半徑均為1cma以每秒2cm的速度自左向右運動，與此同時， b的半徑也不斷增大，其半徑r（cm

2、）與時間t（秒）之間的關(guān)系式為r=1+t（t0）試寫出a，b之間的距離d （cm）與時間t （秒）之間的函數(shù)表達式問點a出發(fā)多少秒兩圓相切？本題見中考數(shù)學命題熱點與考點透視之分層訓(xùn)練p135頁。出自2010年遼寧省錦州市數(shù)學中考試題第15題，原題為一道填空題?！旧婕爸R點】兩圓的位置關(guān)系【分析】a以每秒2cm的速度自左向右運動，則圓心a也以每秒2cm的速度自左向右運動，t秒后點a運動的路程為2t（cm），而ab11。根據(jù)a與b的位置不同可分為兩種情況：當時，；當時，。b的半徑r(cm)與時間t(秒)之間的關(guān)系式為r=1+t(t0)，根據(jù)切點的位置不同，兩圓相切有四種情形，當tt時，即t秒時，兩

3、圓第一次相切；當2tt11時，即t秒時，兩圓第二次相切；當2tt11時，即t11時，兩圓第三次相切；當2tt13時，即t13時，兩圓第四次相切【答案】3秒，秒，11秒，13秒 【點評】本題考查學生對兩圓的位置關(guān)系的掌握情況，題目較為靈活，以兩圓的動態(tài)情形展現(xiàn)了兩圓的位置關(guān)系與圓心距的關(guān)系，解題時要對各種情形運用分類討論思想來分析探討例2如圖，已知正方形與正方形的邊長分別是和，它們的中心都在直線上，在直線上，與相交于點，當正方形沿直線 以每秒1個單位的速度向左平移時，正方形也繞以每秒順時針方向開始旋轉(zhuǎn)，在運動變化過程中，它們的形狀和大小都不改變（1）在開始運動前， ；（2）當兩個正方形按照各自的

4、運動方式同時運動3秒時，正方形停止旋轉(zhuǎn)，這時 ， ；（3）當正方形停止旋轉(zhuǎn)后，正方形繼續(xù)向左平移的時間為秒，兩正方形重疊部分的面積為，求與之間的函數(shù)表達式abcdefghlo2o1m分析：本題為2007年山西臨汾市中考第25題（全卷26題，本題滿分12分）。主要考查四邊形的基礎(chǔ)知識，考查學生應(yīng)用運動觀念，通過觀察、動手操作等活動獲得數(shù)學猜想的能力和分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法解：（1）9（2）0，66分abcdefghlo2o1abcdefghlo2o1abcdefghlo2o1圖1圖2圖3（3）當正方形停止運動后，正方形繼續(xù)向左平移時，與正方形重疊部分的形狀也是正方形重疊部分的面積與之間的函

5、數(shù)關(guān)系應(yīng)分四種情況：如圖1，當時，與之間的函數(shù)關(guān)系式為8分如圖2，當時，與之間的函數(shù)關(guān)系式為9分如圖3，當時，與之間的函數(shù)關(guān)系式為11分當時，與之間的函數(shù)關(guān)系式為12分例3如圖，已知拋物線yx2x4交x軸的正半軸于點a，交y軸于點b（1）求a、b兩點的坐標，并求直線ab的解析式；（2）設(shè)p（x，y）（x0）是直線yx上的一點，q是op的中點（o是原點），以pq為對角線作正方形peqf，若正方形peqf與直線ab有公共點，求x的取值范圍；（3）在（2）的條件下，記正方形peqf與oab公共部分的面積為s，求s關(guān)于x的函數(shù)解析式，并探究s的最大值本題為2010年嘉興市中考數(shù)學試題第24題（壓軸題）

6、。（1）令，得，即，解得，所以令，得，所以設(shè)直線ab的解析式為，則，解得，所以直線ab的解析式為 5分（2）當點在直線ab上時，解得，當點在直線ab上時，解得所以，若正方形peqf與直線ab有公共點，則 4分（3）當點在直線ab上時，（此時點f也在直線ab上），解得當時，直線ab分別與pe、pf有交點，設(shè)交點分別為c、d，（第24題）此時，又，所以，從而，因為，所以當時，當時，直線ab分別與qe、qf有交點，設(shè)交點分別為m、n，（第24題 備用）此時，又，所以，即其中當時，來源:學&科&網(wǎng)z&x&x&k綜合得，當時， 5分28.如圖，梯形abcd中，adbc,bad=90，cead于點e,ad

7、=8cm，bc=4cm,ab=5cm。從初始時刻開始，動點p,q 分別從點a,b同時出發(fā)，運動速度均為1 cm /s, 動點p沿a-b-c-e的方向運動，到點e停止；動點q沿b-c-e-d的方向運動，到點d停止，設(shè)運動時間為s，pa q的面積為y cm2，（這里規(guī)定：線段是面積為0的三角形)解答下列問題：(1) 當x=2s時，y=_ cm2;當= s時，y=_ cm2(2）當5 x 14 時，求y與之間的函數(shù)關(guān)系式。(3）當動點p在線段bc上運動時，求出s梯形abcd時的值。（4）直接寫出在整個運動過程中，使pq與四邊形abce的對角線平行的所有x的值解：（1） 2；9、（2） 當59時 y=

8、 s梯形abcq sabp spcq =(5+-4)45(-5)(9-)(-4) 當913時y=（-9+4）(14-)當1314時 y=8(14-)=-4+56即y=-4+56（3） 當動點p在線段bc上運動時，s梯形abcd (4+8)5 = 8即-14+49 = 0解得1 = 2 = 7當=7時，s梯形abcd（4） 說明：（1）自變量取值不含9，13可不扣分.(2）不畫草圖或草圖不正確，可不扣分例5如圖，矩形abcd中，ab=6，bc=，點o是ab的中點，點p在ab的延長線上，且bp=3一動點e從o點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿oa勻速運動，到達a點后，立即以原速度沿ao返回；另一動

9、點f從p點發(fā)發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線pa勻速運動，點e、f同時出發(fā)，當兩點相遇時停止運動，在點e、f的運動過程中，以ef為邊作等邊efg，使efg和矩形abcd在射線pa的同側(cè)設(shè)運動的時間為t秒（t0）（1）當?shù)冗卐fg的邊f(xié)g恰好經(jīng)過點c時，求運動時間t的值；（2）在整個運動過程中，設(shè)等邊efg和矩形abcd重疊部分的面積為s，請直接寫出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍；（3）設(shè)eg與矩形abcd的對角線ac的交點為h，是否存在這樣的t，使aoh是等腰三角形？若存大，求出對應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；等

10、腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；解直角三角形。專題：代數(shù)幾何綜合題；動點型；分類討論。分析：（1）當邊f(xié)g恰好經(jīng)過點c時，cfb=60，bf=3t，在rtcbf中，解直角三角形可求t的值；（2）按照等邊efg和矩形abcd重疊部分的圖形特點，分為0t1，1t3，3t4，4t6四種情況，分別寫出函數(shù)關(guān)系式；（3）存在當aoh是等腰三角形時，分為ah=ao=3，ha=ho，oh=oa三種情況，分別畫出圖形，根據(jù)特殊三角形的性質(zhì)，列方程求t的值解答：解：（1）當邊f(xié)g恰好經(jīng)過點c時，cfb=60，bf=3t，在rtcbf中，bc=23，tancfb=bcbf，即tan60=23bf，解

11、得bf=2，即3t=2，t=1，當邊f(xié)g恰好經(jīng)過點c時，t=1；（2）當0t1時，s=23t+43；當1t3時，s=32t2+33t+732；當3t4時，s=43t+203；當4t6時，s=3t2123t+363；（3）存在理由如下：在rtabc中，tancab=bcab=33，cab=30，又heo=60，hae=ahe=30，ae=he=3t或t3，1）當ah=ao=3時，（如圖），過點e作emah于m，則am=12ah=32，在rtame中，cosmaeamae，即cos30=32ae，ae=3，即3t=3或t3=3，t=33或t=3+3，2）當ha=ho時，（如圖）則hoa=hao=30，又heo=60，eho=90，eo=2he=2ae，又ae+eo=3，ae+2ae=3，ae=1，即3t=1或t3=1，t=2或t=4；3）當oh=o