自動控制原理-傳遞函數(shù)

1、6/4/2021 7:14:25 PM 1 第二節(jié) 傳遞函數(shù) 主要內(nèi)容： 1.傳遞函數(shù)的定義； 2.求法：i）利用微分方程描述，由拉氏變換得到； ii）復(fù)數(shù)阻抗法； 3.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。 6/4/2021 7:14:26 PM 2 傳遞函數(shù)的基本概念 一、傳遞函數(shù)的基本概念一、傳遞函數(shù)的基本概念 復(fù)習(xí)拉氏變換復(fù)習(xí)拉氏變換 0 )()(dtetfsF st )()(tfLsF 一個函數(shù)可以進(jìn)行拉普拉斯變換的充分條件是： 1. t=0時，f(t)分段連續(xù)； 3. 0 )(dtetf st 6/4/2021 7:14:26 PM 3 控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的微分方程 iu 輸入 ou 輸出

2、iuou LR C i 例2-1：RLC串聯(lián)電路 io oo uu dt du RC dt ud LC 2 2 0 )()(dtetfsF st )()()()( 000 2 sUsUsRCsUsULCs i 列出微分方程為： 兩邊取拉普拉斯變換： 1 1 )( )( 2 0 RCsLCssU sU i 6/4/2021 7:14:26 PM 4 傳遞函數(shù)的定義： 系統(tǒng)初始條件為零時，輸出變量的拉普拉 斯變換與輸入變量的拉普拉斯變換之比，稱為 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 記做： )()()( )( )( )( sUsGsYsG sU sY 或 U(s) Y(s) G(s) 6/4/2021 7:14:2

3、6 PM 5 傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。 利用傳遞函數(shù)，可以： 不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統(tǒng)在 輸入作用下的動態(tài)過程。 了解系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時系統(tǒng)動態(tài)過程的影響 -分析 可以對系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對傳遞函數(shù)的要求- -綜合 傳遞函數(shù)的基本概念 6/4/2021 7:14:26 PM 6 )()()()()()( 0 ) 1( 1 )( 0 ) 1( 1 )( txbtxbtxbtyatyatya m m m m n n n n )0,0(,mjniba ji 為常系數(shù) 設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為： 將上式求拉氏變化，得(令初始值為零） )()()()( 01 1

4、 101 1 1 sXbsbsbsbsYasasasa m m m m n n n n 01 1 1 01 1 1 )( )( )( asasasa bsbsbsb sX sY sG n n n n m m m m 稱為環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 一般的： 6/4/2021 7:14:26 PM 7 傳遞函數(shù)的基本概念 例 解已知電樞控制式直流電動機(jī)的微分方程為： muamc d TK uK M dt (1)( )( )( ) muamc T ssK UsKMs 方程兩邊求拉氏變換為： 令 ，得轉(zhuǎn)速對電樞電壓的傳遞函數(shù)： 0)(sM c ( ) ( ) ( )1 u u am Ks G s UsT s 令

5、 ，得轉(zhuǎn)速對負(fù)載力矩的傳遞函數(shù)： 0)(sU a ( ) ( ) ( )1 m m cm Ks Gs MsT s 最后利用疊加原理得轉(zhuǎn)速表示為： )()()()()(sMsGsUsGs cmau 例1求電樞控制式直流電動機(jī)的傳遞函數(shù)。 6/4/2021 7:14:26 PM 8 傳遞函數(shù)的基本概念 例2 Ts Ts sU sU sG i 1 11 )( )( )( 0 1 R C 2 i i u 1 i 2 R O u 0 1 21111 iRiRdti C i uiRiRiR 221121 O uiR 22 0)()() 1 ( 2111 sIRsIR Cs )()()()( 22111 s

6、UsIRRsIR i )()( 22 sUsIR O 21 21 RR CRR T 2 21 R RR 例2 求下圖的傳遞函數(shù)： 6/4/2021 7:14:26 PM 9 )()()()( 2121 sFsFtftfL線性性質(zhì)： )0()()(fssFtfL )0()0()()( 2 fsfsFstfL )0(.)0()0()()( )1(21)( nnnnn ffsfssFstfL 微分定理： s sF dttfL )( )( 積分定理：（設(shè)初值為零） )()()( 0 sfedtTtfeTtfL sTst 時滯定理： )(lim)(lim 0 ssFtf st 初值定理： 復(fù)習(xí)拉氏變換復(fù)

7、習(xí)拉氏變換 性質(zhì)：性質(zhì)： 6/4/2021 7:14:26 PM 10 )(lim)(lim 0 ssFtf st 終值定理： )()()()( 21 0 21 sFsFdftfL t 卷積定理： s sFttf 1 )(),( 1)( 1)()(tLsF 2 1 )(,)( s sFttf 3 2 1 )(, 2 1 )( s sFttf 22 )(,sin)( s sFttf 常用函數(shù)的拉氏變換：常用函數(shù)的拉氏變換： 單位階躍函數(shù)： 單位脈沖函數(shù)： 單位斜坡函數(shù)： 單位拋物線函數(shù)： 正弦函數(shù)： 其他函數(shù)可以查閱相關(guān)表格獲得。 復(fù)習(xí)拉氏變換復(fù)習(xí)拉氏變換 6/4/2021 7:14:26 PM

8、 11 用復(fù)數(shù)阻抗法求電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)用復(fù)數(shù)阻抗法求電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù) n復(fù)數(shù)阻抗：電氣元件兩端的電壓相量與流 過元件的電流相量之比，稱為該元件的復(fù) 數(shù)阻抗。 （1）電阻的復(fù)數(shù)阻抗推導(dǎo)： 假設(shè)電流為： 相量形式： 則電壓是 ； 則相應(yīng)的復(fù)數(shù)阻抗為 0 0 . j me II tIti m sin)( tUtRIRtitu mm sinsin)()( 0 0 . j me UU R eI eU I U Z j m j m R 0 0 0 0 6/4/2021 7:14:26 PM 12 （2）電感負(fù)載的復(fù)數(shù)阻抗 電流： ， 電壓： 復(fù)數(shù)阻抗為： 0 0 . j m eII tIti m sin)(

9、 )90sin(cos sin)( )( 0 tUtLI dt tdI L dt tdi Ltu mm m 0 90 . j m eUU LjLe eI eU I U Z j j m j m R 0 0 0 90 0 90 6/4/2021 7:14:26 PM 13 補(bǔ)充： n復(fù)數(shù)的幾種表示形式 1. 代數(shù)形式： 2. 三角形式： 歐拉公式： 從而有 3. 指數(shù)形式： 4. 極坐標(biāo)形式： jb aF sincosje j )sincos( jFF j eFF FF 1 , 1 , , 2 22 jj jj eejeje 6/4/2021 7:14:26 PM 14 傳遞函數(shù)的基本概念 例2

10、21 21 RR CRR T 2 21 R RR 1 R Cs 1 i u 2 R O u 2 1 2 1 1 R R Cs R U U i o 2112 12 121 12 )1( )1( )1( RRCsRR CsRR CsRRR CsRR Ts Ts s RR CRR R RR s RR CRR R RR 1 11 )1)( )1( 21 12 2 21 21 12 2 21 例2 求下圖的傳遞函數(shù)(復(fù)數(shù)阻抗法)： 6/4/2021 7:14:26 PM 15 三、三、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明 傳遞函數(shù)的基本概念 n傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng). n傳遞函數(shù)中各項(xiàng)

11、系數(shù)的值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù),并且與 微分方程中各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)一一對應(yīng),是一種動態(tài)數(shù)學(xué)模型。 n傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。只 反映了輸入和輸出之間的關(guān)系，不反映中間變量的關(guān)系。 n傳遞函數(shù)是s的有理分式. 對實(shí)際系統(tǒng)而言, 分母的階次n 大于或 等于分子的 階次m , 此時稱為n階系統(tǒng)。 6/4/2021 7:14:26 PM 16 n傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個 輸入信號，在求傳遞函數(shù)時，除了一個有關(guān)的輸入外，其它的 輸入量一概視為零。 n傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。 6/4/2021 7:14:26 PM 17 傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式

12、傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式 表示為有理分式形式： 0 1 1 0 1 1 )( )( )( asasa bsbsb sX sY sG n n n n m m m m 式中： 為實(shí)常數(shù)，一般nm 上式稱為n階傳遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。 ji ba , 表示成零點(diǎn)、極點(diǎn)形式： )( )( )( )( )( )( )( 1 1 j n j i m i g n m ps zs K sP sQ a b sX sY sG i z j p 式中： 稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)， 稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。 n m g a b K 傳遞系數(shù)或根軌跡增益 傳遞函數(shù)的幾種表達(dá)形式傳遞函數(shù)的幾種表達(dá)形式 ： 6/4/2021 7:1

13、4:26 PM 18 傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式 寫成時間常數(shù)形式： n j j m i i sT s K sP sQ a b sG 1 1 0 0 ) 1( ) 1( )( )( )( ji T,分別稱為時間常數(shù)，K稱為放大系數(shù) 顯然： ， , 1 i i z , 1 j j p T j n j i m i g p z KK 1 1 若零點(diǎn)或極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)，則一般用2階項(xiàng)來表示。若 為共軛復(fù)極點(diǎn)，則： 21, p p 2 2 21 2 1 )( 1 nns spsps 或 12 1 )1)(1( 1 22 21 TssTsTsT 其系數(shù) 由 或 求得；、 21 pp、 21 TT、

14、 6/4/2021 7:14:27 PM 19 若有零值極點(diǎn)，則傳遞函數(shù)的通式可以寫成： 傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式 從上式可以看出：傳遞函數(shù)是一些基本因子的乘積。這些 基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對應(yīng)的傳遞函數(shù)，是一些最簡單、最 基本的一些形式。 )2()( )2()( )( 22 11 22 11 21 21 lll n l j n j kkk m k i m i g sps sszs s K sG ,2 21 mmm nnn 21 2 式中： ) 12() 1( ) 12() 1( )( 22 11 22 11 21 21 lll n l j n j kkk m k i m i Ts

15、TsT sss s K sG 或： 6/4/2021 7:14:27 PM 20 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) 典型環(huán)節(jié)有比例、積分、慣性、振蕩、微分和延遲環(huán)節(jié)等 多種。以下分別討論典型環(huán)節(jié)的時域特征和復(fù)域（s域）特征。 時域特征包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出響應(yīng)。s域特性 研究系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布。 比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數(shù)。實(shí)例：分壓器， 放大器，無間隙無變形齒輪傳動等。 （一）比例環(huán)節(jié)： 0),()(ttkxty k sX sY sG )( )( )( 時域方程： 傳遞函數(shù)： 四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)四、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 6/4/2021 7:14:27 PM 21 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)

16、 有一個0值極點(diǎn)。在圖中極點(diǎn)用“ ”表示，零點(diǎn)用“ ” 表示。K表示比例系數(shù)，T稱為時間常數(shù)。 t tdttxkty 0 0,)()( Tss k sX sY sG 1 )( )( )( 時域方程： 傳遞函數(shù)： 0 S平面j 0 )( 1)(ttx kty )(ty t Re （二）積分環(huán)節(jié)： 6/4/2021 7:14:27 PM 22 積分環(huán)節(jié)實(shí)例積分環(huán)節(jié)實(shí)例 積分環(huán)節(jié)實(shí)例： R C i u o u Cs oi su R su 1 )()( RCssu su i o 1 )( )( 圖中， 為轉(zhuǎn)角， 為角速度。 i ku t i dttku 0 )( 可見， 為比例環(huán)節(jié)， 為積分環(huán)節(jié)。 i

17、 u i u 電動機(jī)（忽略慣性和摩擦） i u 齒輪組 6/4/2021 7:14:27 PM 23 時域方程： 0),()()( ttkxtytTy 傳遞函數(shù)： 1)( )( )( Ts k sX sY sG 當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時,有 ，可解得： ，式中：k為放大系數(shù)，T為時間常數(shù)。 ktytTy)()( )1 ()( T t ekty 當(dāng)k=1時，輸入為單位階躍函數(shù)時,時域響應(yīng)曲線和零極點(diǎn)分布 圖如下： 通過原點(diǎn)的 斜率為1/T，且只有一個極點(diǎn)（-1/T）。 1 y t 0 0.632 T 通過原點(diǎn)切線斜率為1/T j Re 0 S平面 T 1 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) （三）慣性環(huán)節(jié) 6/4/

18、2021 7:14:27 PM 24 求單位階躍輸入的輸出響應(yīng)： , 1 )(, 1 1 )( )( s sX TssX sY ) 11 ( ) 1( )( 1T ss k Tss k sY )1 ()()( 1 T t eksYLty 可見，y(t)是非周期單調(diào)升的，所以慣性環(huán)節(jié)又叫作非周期環(huán)節(jié)。 慣性環(huán)節(jié)的慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng) 6/4/2021 7:14:27 PM 25 R2 C i u o u - + R1 CsR R Z R CsR Cs RZ RZ 2 2 2 2 2 22 11 1 , 111 , 而 CsRsU sU Z U sZ sU R R i oi 22 0

19、 1 1)( )( , )( )( 1 2 R C i u o u 1 1 )( )( , )()( 11 RCssu susu R su i o Cs o Cs i 兩個實(shí)例： 慣性環(huán)節(jié)實(shí)例慣性環(huán)節(jié)實(shí)例 6/4/2021 7:14:27 PM 26 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié) 時域方程：)()()()( 00 1 2 txbtyatyatya 傳遞函數(shù)： 12 1 )( 22 01 2 2 0 TssT k asasa b sG 上述傳遞函數(shù)有兩種情況： 當(dāng) 時，可分為兩個慣性環(huán)節(jié)相乘。 即： )1(, ) 1)(1( )( 2 2, 1 21 TT sTsT k sG )1( 1 2 2, 1 T

20、p 1 傳遞函數(shù)有兩個實(shí)數(shù)極點(diǎn)： （四）振蕩環(huán)節(jié) 6/4/2021 7:14:27 PM 27 振蕩環(huán)節(jié)分析振蕩環(huán)節(jié)分析 y(t) t 10 1 mI eR 0 n 2 1 n j 2 1 n j 單位階躍響應(yīng)曲線極點(diǎn)分布圖 分析：y(t)的上升過程是振幅按 指數(shù)曲線衰減的的正弦運(yùn)動。與 有關(guān)。 反映系統(tǒng)的阻尼程度，稱 為阻尼系數(shù)， 稱為無阻尼振蕩圓 頻率。當(dāng) 時，曲線單調(diào)升， 無振蕩。當(dāng) 時，曲線衰減 振蕩。 越小，振蕩越厲害。 n 1 10 若 ，傳遞函數(shù)有一對共軛復(fù)數(shù)。還可以寫成： 2 2 2 2 )( nn n ss sG 10 設(shè)輸入為： s sX 1 )( )2( )()()( 2

21、2 2 nn n sss sXsGsY 則 0), 1 1sin( 1 1)( 2 12 2 ttgt e ty n t 6/4/2021 7:14:27 PM 28 解： 當(dāng) 時，有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。所以： , Fkxfxmx kfsmssF sX sG 2 1 )( )( )( 04 2 mkf , 1 )( 2 m k s m f s m k k sG ,2 , 2 m f m k nn 解得： mk f m k n 2 , 例：求質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的 和 。（見例2-2，p20） n 振蕩環(huán)節(jié)例子振蕩環(huán)節(jié)例子 6/4/2021 7:14:27 PM 29 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié) （五）微分環(huán)節(jié)： 微分環(huán)節(jié)的時域形式有三種形式： )()( tkxty )()()( txtxkty )()(2)()( 2 txtxtxkty 相應(yīng)的傳遞函數(shù)為： kssG)( ) 1()(sksG ) 12()( 22 ssksG 分別稱為：純微分，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)沒有極 點(diǎn)，只有零點(diǎn)。分別是零、實(shí)數(shù)和一對共軛零點(diǎn)（若 ）。 在