菱形證明專題訓練

1、絕密啟用前樂學教育菱形證明專題訓練1.已知：如圖，在四邊形ABCD中,AB/ CD,E,F為對角線 AC上兩點，且AE=CF,DF / BE,AC平分 / BAD.求證：四邊形 ABCD為菱形.C【答案】 AB/CD,?/ BAE=/ DCF.? DF / BE,?/ BEF=/ DFE ,?/ AEB=/ CFD.?又；AE=CF,? AEB CFD,? AB=CD.? AB / CD,?四邊形ABCD是平行四邊形.BAE=/ DAF.BAE=/ DCF , DAF = / DCF,? AC 平分/ BAD,?/?又/?/ ? AD = CD,?四邊形ABCD是菱形.2.如圖，矩形 ABCD

2、中，點O為AC的中點，過點 0的直線分別與 AB, CD交于點E, F, 連接 BF 交 AC 于點 M，連接 DE , BO.若/ COB=60 FO = FC.四邊形EBFD是菱形；【答案】 連接OD.點O為矩形ABCD的對角線AC的中點, ? B,D,?O 三點共線且 BD=DO=CO=AO.?在矩形 ABCD 中，AB / DC , AB=DC， / FCO = / EAO. ?在厶CFO和 AEO中，? CFO AEO,. FO = EO.?又.BO=DO,.四邊形BEFD是平行四邊形.? BO = CO,/ COB=60? COB 是等邊三角形./ OCB=60 ?/ FCO =

3、/ DCB-/ OCB=30 ? F0 = FC， / F0C=/ FC0=30 .?/ F0B = / F0C+ / C0B=90 .? EF丄BD. 平行四邊形 EBFD是菱形.(2)MB : 0E=3 : 2.【答案】/ B0=BC, 點B在線段0C的垂直平分線上. ? F0=FC ,點F在線段0C的垂直平分線上.? BF是線段0C的垂直平分線.?/ FM0 = / 0MB=90 .?/ 0BM=30 . 0F=BF.?/ F0C=30 FM = 0F.? BM=BF-MF=20F-0F=0F.?即 F0=E0,.BM : 0E=3 : 2.3.如圖,在 ABC中，/ ABC=90 :B

4、D為AC邊上的中線，過點C作CE丄BD于點E,過點A作BD 的平行線,交CE的延長線于點F,在AF的延長線上截取 FG=BD連接BG,DF.求證：四邊形 BGFD是菱形.【答案】?四邊形?四邊形【答案】/ FG / BD,BD=FG,.四邊形BGFD是平行四邊形.? CF 丄 BD,AG / BD,.CF 丄 AG.又ABC=90。，點 D 是 AC 的中點, BD=DF=AC,?平行四邊形BGFD是菱形.4.如圖,點0是菱形ABCD對角線的交點，DE / AC,CE/ BD,連接OE. ?求證:0E=BC./ DE / AC,CE / BD,0CED是平行四邊形.ABCD是菱形， ? AC丄

5、 BD,0B=0D, ?/ B0C=/ C0D=90 ,?四邊形0CED是矩形，?/ ODE=90 ,v OB=OD, / BOC = / ODE=90 ? BC=,OE=,? DE = OC.? OE = BC.5. 2015 蘭州中考，25?(9 分)如圖，四邊形 ABCD 中,AB/ CD,AB毛D,BD=AC.C(1)求證:AD=BC ;【答案】 作BM / AC,BM交DC的延長線于點 M,則/ ACD= / BMD. 1分? AB / CD,BM / AC,?四邊形ABMC為平行四邊形.2分? AC=BM.? BD=AC , BM=BD.?/ BDM= / BMD.?/ BDC=

6、/ ACD.?在厶BDC和 ACD中，? BDC ACD.4 分5分? BC=AD.(2)若E,F,G,H分別是AB,CD,AC,BD的中點求證:線段EF與線段GH互相垂直平分.【答案】 連接EG,GF,FH,HE. 6分 ? E,H 為 AB,BD 的中點， EH=AD.?同理 FG=AD ,EG=BC ,FH=BC.? BC=AD , EG=FG=FH=EH.?四邊形EGFH為菱形，? EF與GH互相垂直平分.9分 6. 2015長春中考，18?（7分）如圖,CE是ABC外角/ ACD的平分線,AF / CD交CE于點 F,FG / AC交CD于點G,求證：四邊形ACGF是菱形.【答案】因

7、為AF II CD,FG/ AC,?所以四邊形ACGF是平行四邊形，?又因為/ ACE= / ECG, / ECG= / AFC, ?所以/ ACE= / AFC,所以 AC=AF , ?由得四邊形 ACGF是菱形.7. 2010上海中考，23已知梯形ABCD中，AD / BC, AB= AD（如圖所示）,/ BAD的平分線 AE交BC于點E，連結DE.（1）在圖中，用尺規(guī)作/ BAD的平分線AE（保留作圖痕跡，不寫作法），并證明四邊形 ABED 是菱形；【答案】?/ BAE = / DAE ,?/ DAE = / BEA,?/ BAE = / BEA, AB = BE= AD ,?AD /

8、BE,.四邊形 ABED的平行四邊形，又 AB = AD, ?四邊形ABED為菱形(2)/ABC = 60 EC = 2BE，求證：ED 丄DC.【答案】 過D作DF / AE,貝y DF = CF = 1 ,?/ C= 30 而/ DEC = 60 ?/ EDC = 90 ED 丄 DC.8. 2010沈陽中考，19如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于0,點E, F分別為邊 AB, AD的中點，連接 EF，0E，OF，求證：四邊形 AEOF是菱形.【答案】點E, F分別為AB, AD的中點? AE = AB, AF = AD（2 分）?又四邊形ABCD是菱形? AB = AD? AE

9、= AF（4 分）?又菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點0? 0為BD的中點? 0E , OF是 ABD的中位線（6分）? 0E / AD , 0F / AB?四邊形AE0F是平行四邊形（8分）? AE = AF?四邊形AE0F是菱形（10分）9. ?2010 安徽中考，20如圖，AD / FE，點 B,C在 AD 上,/ 1=/ 2, BF = BC.(1)求證：四邊形 BCEF是菱形;【答案】/ AD / FE， / FEB = / 2. ?/ 1 = / 2，/ FEB = / 1.? BF = EF? BF = BC,.BC= EF.?四邊形BCEF是平行四邊形? BF = BC,

10、?四邊形BCEF是菱形（5分）（2）若 AB= BC = CD，求證： ACFBDE.【答案】 EF = BC, AB= BC = CD , AD / FE ,?四邊形ABEF、四邊形CDEF均為平行四邊形，二 AF = BE, FC = ED .（8分）?又；AC= 2BC = BD , （9 分）? ACFN BDE.（10 分）10. 2013長沙中考，24如圖，在?ABCD中，M , N分別是AD , BC的中點，/ AND = 90 連接CM交DN于點O.（1）求證： ABNCDM ;【答案】/ ABN=/ CDM , AB= CD,?BN = BC= AD = DM ,? ABNN

11、 CDM （SAS）.過點C作CE丄MN于點E,交DN于點P,若PE = 1,/ 1=/ 2,求AN的長.【答案】 M , 0分別為AD, ND的中點，? AN / MO 且 AN = 2MO,?/ MOD = / AND = 90 即平行四邊形 CDMN是菱形，?在 Rt MOD 與 Rt NEC 中，?/ 1 = / 2, MD = NC , Rt MOD 也 Rt NEC ,? MO = NE.?根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，/ MND = / CND，/ 1 = / CND，所以/ MND =/ CND = / 2= 30 所以在 Rt ENP 中 NE= PE詵an30 =,?即 AN= 2.

12、11.如圖,在 ABC中，/A= 90 AH丄BC于點H,/ B的平分線交 AC于點D,交AH于點 E,DF丄BC于點F,求證：四邊形AEFD是菱形.【答案】/ ABD= / FBD,BD=BD , / BAD= / DFB= 90 ? ABDN FBD,. AD=DF ,AB=FB.?又/ ABE= / FBE,BE=BE ,? ABEN FBE.?/ BAE= / BFE.?又/ BAE= 90 / ABC= / C,?/ BFE= / C, EF / AD.? DF 丄 BC,AH 丄 BC,.AE / DF.?四邊形AEFD是平行四邊形.?又 AD=DF ,四邊形AEFD是菱形.12.

13、 2012南寧中考，25如圖,已知矩形紙片 ABCD,AD = 2,AB= 4,將紙片折疊，使頂點A與邊CD 上的點E重合折痕FG分別與AB,CD交于點G,F,AE與FG交于點0.(1)如圖1,求證：A,G,E,F四點圍成的四邊形是菱形;（:【答案】證法一:C?0A = OE,AG= EG（1 分）?在矩形 ABCD中,AB / CD?/ AEF = / EAG?/ A0G=/ E0F? A0G E0F（ASA）（2 分）? AG = EF?四邊形AGEF是菱形（3分）(2)如圖2,當 AED的外接圓與BC相切于點N時，求證，點N是線段BC的中點;【答案】證明：連接0N,0是Rt ADE外接圓

14、圓心.? If； U?TO 0與BC相切于點N? 0N 丄 BC（4 分）?在矩形 ABCD中,DC丄BC,AB丄BC? CD / 0N / AB?= （5 分）? 0A = 0E CN= NB?即N為BC的中點（6分）(3)如圖2,在第2問的條件下，求折痕FG的長.【答案】解法一：?過點0作0M丄AB于點M,則四邊形OMBN是矩形?lC H?證明：在矩形 ABCD中,CD / AB ?/ 1 = / 3（1 分）?由折疊可知：AG = EG, / 1 = / 2?/ 2=/ 3? EF = EG（2 分）? EF = AG?四邊形AGEF是菱形（3分）?證法二：?證明：連接AF,由折疊可知?

15、設0 O半徑為X貝U OA= OE = ON= x（7分）? AB = 4,AD = 2 AM = 4 x?由第2問得,NB = OM = 12 2 2?在 Rt AOM 中,OA = AM + OM2 2 2? X = （4 X）+ 1X = （8 分）?AM = 4 =?/ FEO = / OAM?又；/ FOE = / OMA = 90 ? Rt EFO s Rt AOM ?= （9 分）? OF = FG = 2OF = （10 分）?解法二：?延長NO交AD于點M 川1?四邊形ABNM是矩形? AM = BN = AD = 1? O為Rt ADE外接圓圓心? OA = OE = ON

16、?設 ON 為 X,則 OM = 4 x（7 分）2 2 2?在 Rt AMO 中,AM + OM = OA2 2 2?即 1 + （4 X）= X?X= （8 分）?. OM = 4 =? FG 丄AE,MN / DCFEO =/ MOA / AMO = / EOF = 90? EOF OMA?= （9 分）13. 2013葫蘆島中考,20?（本小題滿分8分）?如圖，四邊形 ABCD 中,AD II BC,BA丄 AD,BC=DC ,BE丄 CD 于點 E.(1)求證： ABD EBD;? AD II BC,?/ 1= / DBC.? BC=DC , / 2= / DBC.?/ 1= / 2

17、.2 分?又；/ BAD= / BED= 90 ?BD=BD , ABDEBD. 4 分 過點E作EF II DA,交BD于點F,連接AF.求證:四邊形AFED是菱形.【答案】由第1問得,AD=ED , / 1= / 2. ? EF II DA, / 1= / 3, / 2= / 3.? EF=ED.5 分? EF=AD.6 分?四邊形AFED是平行四邊形.?又；AD=ED.?四邊形AFED是菱形.8分14. 2013貴陽中考，20?已知：如圖，在菱形 ABCD中，F(xiàn)為BC上的任意一點，連接 AF交對角線BD于點E,連接? OF = FG = 2OF = （10 分）求證:AE= EC;【答案

18、】C?證明：連接AC.? BD是菱形ABCD的對角線,? BD垂直平分 AC.? AE = EC.(2)當/ ABC = 60 /BC的中點. 中，AB = BC,CEF = 60。時，點F在線段BC上的什么位置？說明理由【答案】點F是線段?理由：菱形ABCD?又；/ ABC= 60 ? ABC是等邊三角形，/ BAC= 60 ? AE = EC, / CEF = 60 EAC = 30 ? AF是 ABC的角平分線.? AF 交 BC 于點 F,? AF是 ABC的BC邊上的中線.?點F是線段BC的中點.15. 2012上海中考，23已知：如圖，在菱形ABCD中，點E,F分別在邊BC,CD(

19、1)求證：BE= DF ;【答案】四邊形ABCD為菱形， ? AB = AD = BC= CD，?/ ABD = / ADB = / CBD =/ CDB，?/ ABE = / ADF?/ BAF = / DAE，?且/ BAF = / BAE +/ EAF，?/ DAE = / DAF + / EAF?/ BAE = / DAF.? ABE ADF (ASA).? BE = DF.(2)當=時，求證：四邊形 BEFG是平行四邊形.【答案】在菱形ABCD中，ADBC，?/ DAE = / BEA，/ ADB = / EBD.? AGDsA EGB.?又；=，BE = DF，DBC.CDB，GD

20、F，? GF II BE. ?/ DGF = / ?/ DBC = / ?/ DGF = /? GF = DF，? BE = GF.? BEGF,?四邊形BEFG是平行四邊形.16. 2013烏魯木齊中考,19如圖，在 ABC中，/ACB= 90 ,CD丄AB于D,AE平分/ BAC,分別 與BC,CD交于E,F,EH丄AB于H,連接FH.求證：四邊形 CFHE是菱形.【答案】 AE平分/ BAC,/ CAE = / EAH,而/ ACB = 90,CD 丄 AB, ?/ CEA +/ CAE = / AFD +/ EAH = 90又/ APD = / CFE,?/ CFE = / CEF,

21、CF = CE.?又；AE平分/ BAC,/ ACB = 90.EH 丄 AB, CE= EH,? CF = EH = CE,T CD丄AB,EH 丄AB,； CF / EH,?四邊形CFHE是菱形.17.如圖所示，在菱形ABCD中,CE丄AB于點E,CF丄AD于點F,求證:AE=AF.如圖所示，連接AC,?四邊形ABCD是菱形，? AC 平分/ BAD,即/ BAC= / DAC.?在厶ACE和 ACF中，?/ AEC= / AFC= 90 ,/ BAC= / DAC ,AC=AC , ? ACE ACF(AAS), AE=AF.?證法2：v四邊形ABCD是菱形，? BC=DC=AD=AB

22、，/ B= / D.?又在 BCE 和 DCF 中,/ BEC= / DFC= 90 : ? BCEN DCF(AAS), BE=DF , AE=AF.求證: ABE CDF ;在菱形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA(或 AB= CD , BC = DA).【答案】?/ B =/ D.?點E, F分別是邊BC, AD的中點,? BE = DF.? ABE N CDF.(2)若/ B = 60 AB= 4,求線段 AE的長.【答案】解法一： AB = BC,/ B= 60 ? ABC是等邊三角形.?點E是BC邊的中點.? AE 丄 BC.?在 Rt ABE 中，sinB =.?

23、 AE = AB sinB= 4 x=.?解法二： AB= BC, / B= 60 ? ABC是等邊三角形.?點E是BC邊的中點， AE丄BC. ?/ BAE = 30 ?在 Rt ABE 中，BE= AB= 2.?. ae =19. 2012溫州中考，19（本題8分）?如圖, ABC中，/ B= 90 ,AB= 6cm,BC= 8cm,將 ABC沿射線 BC方向平移10cm,得到 DEF,A,B,C的對應點分別是 D,E,F,連接AD.求證：四邊形 ACFD是菱形.D20. 2011?蘭州中考，27(本小題滿分?已知：如圖17所示的一張矩形紙片 合，再展開，折痕 EF交AD邊于點【答案】 法

24、一：/ B = 90,AB = 6cm,BC = 8cm.? AC = 10cm.?由平移變換的性質(zhì)得 CF = AD = 10cm,DF = AC,? AD = CF = AC= DF ,?四邊形ACFD是菱形.?法二：由平移變換的性質(zhì)得AD / CF,?AD = CF = 10cm,?四邊形ACFD是平行四邊形，?./ B= 90 ,AB = 6cm,BC = 8cm,? AC = 10cm,? AC = CF,? ?ACFD 是菱形.12分)ABCD(AD AB)，將紙片折疊一次，使點A與點C重E,交BC邊于點F.分別連接AF和CE.（圖 17）求證：四邊形 AFCE是菱形;【答案】由題

25、意可知0A= 0C, EF丄A0.（第27題答圏）/ AD / BC，. / AEO = / CFO , / EAO = / FCO , AOE COF , AE = CF，又 AE / CF ,四邊形AECF是平行四邊形（2分）AC丄EF，四邊形 AECF是菱形.（4分）2若AE= 10?cm,A ABF的面積為24?cm，求 ABF的周長;【答案】四邊形AECF是菱形， AF = AE = 10?cm.設 AB = a, BF = b,2? 2 2/ ABF 的面積為 24?cm a + b = 100, ab= 48（6 分）2（a + b） = 196, a + b= 14 或 a +

26、 b = 14（不合題意，舍去）（7 分） ABF 的周長為 a+b+ 10= 24?cm（8 分）(3)在線段AC上是否存在一點P,使得2AE2 = AC?AP?若存在，請說明點 P的位置，并予以 證明；若不存在，請說明理由.【答案】存在，過點E作AD的垂線，交AC于點P,點P就是符合條件的點(9分)證明：/ AEP=/ AOE = 90 / EAO = / EAP , AOEsA aEP, = ,ae2= AO?AP（11 分）四邊形AECF是菱形，2 AO = AC , AE = AC?A P,22AE = AC?AP.（12 分）21. 2013營口中考，19如圖？, ABC中,AB=AC,AD是ABC 一個外角的平分線，且(1)求證： ABC CDA;【答案】 AB=AC , / B= / ACB ?又./ FAC是 ABC的一個外角， ?/?/?又.?/?又.FAC= / B+ / ACBFAC= 2 / ACB 2 分AD 是/ FAC 的角平分線，/ FAC= 2 / CAD,ACB= / CAD 3 分AC=CA , / BAC= / DCA? ABCCDA 4 分(2)若/ ACB= 60。，求證：四邊形ABCD是菱形.【答案】/ BAC= / ACD? AB / CD 5 分?又；/ ACB= / CAD,? AD / BC.?四邊形ABCD