遞推式與應(yīng)用

1、遞推式與應(yīng)用摘 要：通過幾例典型例題說明數(shù)列遞推式在應(yīng)用問題方面的表現(xiàn)特點和解決方法，指出這類問題對鍛煉學生思維能力所起的作用。關(guān)鍵詞：遞推式；應(yīng)用問題；思維能力 遞推式是一類廣泛而復雜的問題，特點是：邏輯嚴謹，推理性強，解法靈活開放，有利于思維的發(fā)散性與個性品質(zhì) 的培養(yǎng)，主要是轉(zhuǎn)化為：等差數(shù)列與等比數(shù)列求解。應(yīng)用問題是數(shù)學知識作用于實際的數(shù)學問題，是高考和競賽中的熱點，其特點是：內(nèi)容廣泛，對信息收集、語言轉(zhuǎn) 換和數(shù)據(jù)處理能力要求高，是應(yīng)用意識與能力培養(yǎng)的素質(zhì)教 育的一個主要方面。應(yīng)用問題與遞推式結(jié)合既可把數(shù)學運用于實踐，又可以在實踐中發(fā)展能力，因此在教學中有意識地從這兩個方面去 培養(yǎng)學生的能

2、力是有益的。下面從幾個方面舉例說明。1. 排序問題例 1 】將 1 元和 2 元的兩種硬幣共 n 元排成一排，總共有多少種不同的排法？解：設(shè)排法總數(shù)為xn，則x1=1 , x2=2，把xn種排法分成兩類：頭一張是 1 元的排法數(shù)就是 xn-1 ； 頭一張是 2 元的排法應(yīng)是 xn-2 。于是 xn=xn-1+xn-2 (n=3, 4, 5,)面用待定系數(shù)求求通項xn 。引入?yún)?shù) m 設(shè)： xn+mxn-1= ( m+1 ) xn-1+xn-2即 xn+mxn-1= (m+1) (xn-1+ xn-2)令m= ，則m= ，于是xn- xn-1= (xn-1- xn-2 xn- xn-1= (xn

3、-1- xn-2 )由式知數(shù)列xn- xn-1是首項為x2- x1 = ，公比為q1 = 的等比數(shù)列,所以有 xn- xn-1 = ()n-2= () n由式知數(shù)列 xn- xn-1是首項為x2- x1 = ，公比為q1 = 的等比數(shù)列,所以有 xn- xn-1 = ()n-2= () n由消去 xn-1 ,即得xn= () n- () n注：這是斐波拉契數(shù)列的遞推式,可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求 通項。2. 化學問題【例2】容器中有濃度為 m%的溶液a升，現(xiàn)從中倒出b升后用水加滿，再倒出b升后用水加滿，這樣進行了10次后溶液的濃度是多少？解：容易計算每次操作后濃度減少了, 第一次操作后濃度為 a1=

4、(1-) ?m%,設(shè)第n次操作后濃度為 an，則有 an+1=an?( 1-)，于是 an 是首項為 a1=(1-) ?m%,公比為q=1-的等比數(shù)列，即 an= (1-) n?m% , a10=( 1-)10?m%注：這是數(shù)學在化學中的應(yīng)用。3. 涂色問題【例3】把一塊圓形木板分成 n (nA2)個扇形：S1,S2,，Sn,在每一塊木板上涂色，可用紅、黃、綠三種顏色之一涂，要求相鄰扇形顏色不同，問一共有多少種涂法？解：設(shè)n (n 2)個扇形的涂法數(shù)為 an ( n 2),當n=2時，S1有3種涂法，S2有兩種涂法， a2=3X2=6。當 n2 時，S1 有 3 種涂法，S2, S3, S4,

5、，Sn-1,Sn 與 S1 同色Sn各有兩種涂法，共有3X 2n-1種涂法，其中 時有 an-1 種涂法，二 an=3x 2n-1-an-1 , (n2),上式即 = - ?即-仁-( -1),得數(shù)列 -1是以首項為 -1= ,公比為q=-的等比數(shù)列，所以 -1=,即 an=2n1 + =22n-1+ (-1) n,即當 n2 時，一共有 22n-1+（-1） n 種涂色方法。注：染色問題通常會涉及排列與組合知識，是數(shù)學競賽中的常見問題。4.概率問題例 4】A、B 兩人各拿兩顆骰子玩拋擲游戲，規(guī)則是：若拋出的點數(shù)之和為 3 的倍數(shù)， 則繼續(xù)拋； 若不是 3的倍數(shù)，則由對方拋。先由 A 開始拋，

6、第 n 次由 A 拋的概率為Pn，求 Pn ？解：拋兩顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)和為 3 的倍數(shù)的情況有：1，4)，2），（2， 1），（3， 3），（3， 6），（ 6， 3），（6， 6），（2，（ 4， 2），（ 4， 5），（ 5， 4），（ 1 ， 5），（ 5， 1 ）共 12?N 可能，第 n+1 次由 A 拋這一事件，包含兩類：第n次由A拋，第n+1次繼續(xù)由A拋，概率為：Pn第n次由B拋，第n+1次由A拋，概率為：（1-）1-Pn)從而有 Pn+仁 Pn+ (1-) (1-Pn)即Pn+1=- Pn+，（其中P1=1 )即 Pn+1- =-( Pn-)于是 Pn-=(P1-.) ? (-

7、) n-1,即 Pn= + ( -) n-1。注：概率問題是博弈論中的中心問題，也是大數(shù)據(jù)中經(jīng)常用到的方法。5.幾何問題例 5】觀察下面的圖形有規(guī)律：圖( 1)是一個正三角形(邊長為1);圖(2)是在圖(1)的各邊中央處向外長出一個正三角形，形成了六角形星形；圖(3)是在圖( 2)的每一小邊的中央處又向外長出一更小的正三角形；如此求第 10 個幾何圖形的周長 L10；求第 10 個圖形的面積 S10。解：設(shè)第n圖形的邊數(shù)為cn，邊長為dn，則由后面一個圖形的邊長是前面的圖形的邊長的，每條邊增加到四條邊 可知；cn=4cn-1，又 c1=3 , cn=3 x 4n-1 dn= dn-1，又 d1

8、=1，二 dn= () n-1，于是第 n 個圖形的周長為 Ln=Ln-1+Cn-1 x dn即 Ln=Ln-1+3 x 4n-2 x()n-1 Ln=Ln-1+ x(.)n-1用累加法可得Ln= +3 x()n-2 L10= +3 x()10-2= +3 x()8第n個圖形的面積 Sn=Sn-1+cn-1 xx( dn) 2即 Sn=Sn-1+3 x 4n-2 xx()2n-2即 Sn=Sn-1 + x()n用累加法可得 Sn=+ x 1- () n-1S10= + x 1- () 10-1 = + x 1- () 9注：本題由一道全國競賽題改編而成。遞推式與應(yīng)用問題包含的內(nèi)容相當廣泛。如：分期付款、旅游開發(fā)、環(huán)境保護、城鎮(zhèn)規(guī)劃、機構(gòu)改革等等，甚至在其他學科(物理、化學、生物、體