必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講解

1、圓臺(tái)圓臺(tái)( (棱臺(tái)棱臺(tái)) )是由圓錐是由圓錐( (棱錐棱錐) )截成的截成的 根據(jù)臺(tái)體的特征，如何求臺(tái)體的體積？根據(jù)臺(tái)體的特征，如何求臺(tái)體的體積？ A B A B C D C D P S S h 1 () 3 VSS SS h 11 () 33 1 () 3 VVVS hxS x ShSS x 小小大大 2 2 () Sx Shx SxS h x hx S SS 1 () 3 S Vh SSS SS 1 3 SSSS h 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講解 柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？ 上底擴(kuò)大上底擴(kuò)大 1 () 3 VSS SS h 上底

2、縮小上底縮小 VSh SS 0S 1 3 VSh 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講解 例例3 3 有一堆規(guī)格相同的鐵制六角螺有一堆規(guī)格相同的鐵制六角螺 帽共重帽共重5.8kg5.8kg（鐵的密度是（鐵的密度是7.8g/cm7.8g/cm3 3），）， 已知螺帽的底面是正六邊形，邊長(zhǎng)為已知螺帽的底面是正六邊形，邊長(zhǎng)為 12mm12mm，內(nèi)孔直徑為，內(nèi)孔直徑為10mm10mm，高為，高為10mm10mm， 問(wèn)這堆螺帽大約有多少個(gè)？問(wèn)這堆螺帽大約有多少個(gè)？ 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講解 12 10 10 96.210514.310612 4 3 22 V 251)96.28.7(108.5 3 求

3、此棱柱挖去圓求此棱柱挖去圓 柱后的體積和表柱后的體積和表 面積面積 定理定理: 半徑是半徑是R的球的體積的球的體積 3 3 4 RV 定理定理: 半徑是半徑是R的球的表面積的球的表面積 2 4 RS 球的體積、表面積的計(jì)算公式球的體積、表面積的計(jì)算公式 C A B O R 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講解 球的半徑球的半徑r和正方體和正方體 的棱長(zhǎng)的棱長(zhǎng)a有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ . r a 球與多面體的內(nèi)切、外接球與多面體的內(nèi)切、外接 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講解 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講解 正方體的外接球正方體的外接球 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講解 二、球與多面體的接、切二、

4、球與多面體的接、切 定義定義1：若一個(gè)多面體的：若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上都在一個(gè)球的球面上， 則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體內(nèi)接多面體， 這個(gè)球是這個(gè)這個(gè)球是這個(gè) 。 定義定義2：若一個(gè)多面體的：若一個(gè)多面體的各面各面都與一個(gè)球的球面相切都與一個(gè)球的球面相切， 則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體外切多面體， 這個(gè)球是這個(gè)這個(gè)球是這個(gè) 。 一、一、 球體的體積與表面積球體的體積與表面積 3 4 3 VR 球球 2 4SR 球球面面 多面體的多面體的外接球外接球 多面體的多面體的內(nèi)切球內(nèi)切球 棱切：棱切： 一個(gè)幾何體各個(gè)面分別

5、與另一個(gè)幾一個(gè)幾何體各個(gè)面分別與另一個(gè)幾 何體各條棱相切。何體各條棱相切。 圖3圖4 圖5 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講解 中截面中截面 設(shè)為設(shè)為1 1 2 1 4=SR 甲甲 球的外切正方體的棱長(zhǎng)等于球直徑。球的外切正方體的棱長(zhǎng)等于球直徑。 AB CD D1 C1 B1 A1 O 例例1 甲球內(nèi)切于正方體的各面，乙球內(nèi)切于該正方體的各條棱，甲球內(nèi)切于正方體的各面，乙球內(nèi)切于該正方體的各條棱， 丙球外接于該正方體，則三球表面面積之比為丙球外接于該正方體，則三球表面面積之比為( ) A. 1:2:3 B. C. D.1: 2: 31: 8: 27 33 1: 4: 9 必修二：球的內(nèi)切和外接

6、例題講 解 AB CD D1 C1 B1 A1 O 中截面中截面 正方正方形形的對(duì)角線等于球的直徑。的對(duì)角線等于球的直徑。 2 2 4=2SR 乙乙 . 球內(nèi)切于正方體的棱球內(nèi)切于正方體的棱 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講 解 A B C D D1 C1 B1 A1 O A 1 A C 1 C O 對(duì)角面對(duì)角面 設(shè)為設(shè)為1 1 2 23R 球的內(nèi)接正方體的對(duì)角線等于球直徑。球的內(nèi)接正方體的對(duì)角線等于球直徑。 2 3 4=3SR 丙丙 球外接于正方體球外接于正方體 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講 解 1.3.21.3.2球的體積和表面積球的體積和表面積 安徽省含山縣林頭中學(xué)安徽省含山縣林頭中學(xué)

7、正方體的內(nèi)切球正方體的內(nèi)切球直徑直徑 正方體的外接球正方體的外接球直徑直徑 與正方體所有棱相切的球與正方體所有棱相切的球直徑直徑 探究探究 若正方體的棱長(zhǎng)為若正方體的棱長(zhǎng)為a，則，則 a a3 a2 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講解 ：有三個(gè)球：有三個(gè)球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一球切一球切 于正方體的各側(cè)棱于正方體的各側(cè)棱,一球過(guò)正方體的各頂點(diǎn)一球過(guò)正方體的各頂點(diǎn),求求 這三個(gè)球的體積之比這三個(gè)球的體積之比. 畫出正確的截面畫出正確的截面：(1)(1)中截面；中截面；(2)(2)對(duì)角面對(duì)角面 找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系 2 1 a r a a a a2 ar 2 2 2 a

8、a2 ar 2 3 3 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講解 性質(zhì)性質(zhì)1：用一個(gè)平面去截球，截面是圓面；用一個(gè)平面去：用一個(gè)平面去截球，截面是圓面；用一個(gè)平面去 截球面，截球面， 截線是圓。截線是圓。 大圓大圓-截面過(guò)球心，半徑等于球半徑；小圓截面過(guò)球心，半徑等于球半徑；小圓-截面不過(guò)球截面不過(guò)球 心心 A 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講 解 O A B C O 例例4已知過(guò)球面上三點(diǎn)已知過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距離的距離 等于球半徑的一半，且等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體，求球的體 積，表面積積，表面積 解：如圖，設(shè)球解：如圖，設(shè)球O半徑為半徑為R

9、， 截面截面 O的半徑為的半徑為r， r 3 32 AB 2 3 3 2 AO 是正三角形，是正三角形，ABC R OO , 2 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講 解 A B C D O A B C D O 求正多面體外接球的半徑求正多面體外接球的半徑求正方體外接球的半徑求正方體外接球的半徑 例例5、 求棱長(zhǎng)為求棱長(zhǎng)為 a 的正四面體的正四面體 A-BCD的的外接球的表面積。外接球的表面積。 變式題：1、一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為 ，四個(gè)頂點(diǎn)在同一 球面上，則此球的表面積為（ ） A. B. C. D. 2 34 3 36 A 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講解 五、構(gòu)造直角三角形五、構(gòu)造直角三角形

10、 1、求棱長(zhǎng)為a的正四面體外接球 的體積 2、求棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)切球的體積 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講解 O A B C D 圖1 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講解 ：正四面體：正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為的棱長(zhǎng)為a，求，求 其內(nèi)切球半徑其內(nèi)切球半徑r與外接球半徑與外接球半徑R. 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講解 【點(diǎn)評(píng)】由于正四面體本身的對(duì)稱性可知，內(nèi)切球和外 接球的兩個(gè)球心是重合的，為正四面體高的四等分點(diǎn)， 即內(nèi)切球的半徑為 (h 為正四面體的高)，且外接球的 半徑 ，從而可以通過(guò)截面圖中 建立棱長(zhǎng)與半徑之 間的關(guān)系。 4 h 4 3h OBERt (1)正多面體存在內(nèi)切球且正多面體的

11、中心為內(nèi)切球的球心 (2)求多面體內(nèi)切球半徑，往往可用“等體積法” (3)正四面體內(nèi)切球半徑是高的 ，外接球半徑是高的 . (4)并非所有多面體都有內(nèi)切球(或外接球) 3 1 內(nèi)切表多 RSV 4 1 4 3 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講解 ：若正四面體變成正三棱 錐，方法是否有變化？ 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講解 ：若正四面體變成正三棱錐，方法：若正四面體變成正三棱錐，方法 是否有變化？是否有變化？ 1 1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球 球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等 2 2、正多面體的內(nèi)切球和外接

12、球的球心重合、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合 3 3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但 不重合不重合 4 4、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理 5 5、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講解 1 例例2、正三棱錐的高為、正三棱錐的高為 1，底面邊長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為 。求棱錐。求棱錐 的全面積和它的內(nèi)切球的表面積。的全面積和它的內(nèi)切球的表面積。 62 過(guò)側(cè)棱過(guò)側(cè)棱AB與球心與球心O作截面作截面( 如圖如圖 ) 在正三棱錐中，在正三棱錐

13、中，BE 是正是正BCD的高，的高， O1 是正是正BCD的中心，且的中心，且AE 為斜高為斜高 62BC 2 1 EO3AE 且且 2 62 4 3 362 2 1 3S 全全 9 26 3 解法解法1 ： O1 A BE O C D 作作 OF AE 于于 F F 設(shè)內(nèi)切球半徑為設(shè)內(nèi)切球半徑為 r，則，則 OA = 1 r Rt AFO Rt AO1E 3 1 2 rr 26 r 6258S 球球 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講 解 162 4 3 3 1 V 2 BCDA 26r 6258S球 球 O A B C D 設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為 r，則，則 VA- BCD = VO-ABC

14、 + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD 32 全全 Sr 3 1 r3223 解法解法2： 例例2、正三棱錐的高為、正三棱錐的高為 1，底面邊長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為 。求棱錐的。求棱錐的 全面積和它的內(nèi)切球的表面積。全面積和它的內(nèi)切球的表面積。 62 內(nèi)切球內(nèi)切球全全多面體多面體 rS 3 1 V 注意：割補(bǔ)法，注意：割補(bǔ)法， 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講解 探究探究(2)(2)：如圖是一個(gè)簡(jiǎn)單組合體的三視圖，：如圖是一個(gè)簡(jiǎn)單組合體的三視圖， 想象它表示的組合體的結(jié)構(gòu)特征，嘗試畫出它想象它表示的組合體的結(jié)構(gòu)特征，嘗試畫出它 的示意圖。的示意圖。 正視圖正視圖側(cè)視圖側(cè)視圖 俯俯 視

15、視 圖圖 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講 解 思考3:怎樣畫底面是正三角形，且頂點(diǎn) 在底面上的投影是底面中心的三棱錐？ AB C M z B C A S y o x B C A S 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講 解 例例2一個(gè)幾何體，它的下面是一個(gè)圓柱，上面是一個(gè)一個(gè)幾何體，它的下面是一個(gè)圓柱，上面是一個(gè) 圓錐，并且兩底面重合，圓柱的底面直徑為圓錐，并且兩底面重合，圓柱的底面直徑為3cm，高為，高為 4cm，圓錐的高為，圓錐的高為3cm，畫出此幾何體的直觀圖，畫出此幾何體的直觀圖. x y O O x y Z 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講 解 練習(xí)練習(xí)4:已知一四邊形已知一四邊形ABCD的

16、水平放的水平放 置的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為置的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，的正方形， 請(qǐng)畫出這個(gè)圖形的真實(shí)圖形。請(qǐng)畫出這個(gè)圖形的真實(shí)圖形。 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講 解 六、尋求軸截面圓半徑法六、尋求軸截面圓半徑法 正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng) 都為 ，點(diǎn)S,A,B,C,D都在同一球面上， 則此球的體積為 . 2 C D A B S O 1 圖3 解 設(shè)正四棱錐的底面中心為 ，外接球的球 心為O，如圖3所示.由球的截面的性質(zhì)， 可得 又 ，球心O必在 所在的直線上. 的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外 接圓的半徑就是外接球的半徑. 在 中，由 是外接圓的半徑，也是外 接球的半

17、徑.故 1 O ABCDOO平面 1 1 SO ASC ASC 1 2 . ., 2,2 222 AC RtACASC ACSCSAACSCSA 為斜邊的是以 得 3 4 球 V ABCDSO平面 1 2 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講解 球的表面積與體積球的表面積與體積 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講 解 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)球截面性質(zhì)找出 球半徑與截面圓半徑和球心到截面距 離的關(guān)系，求出球半徑 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講 解 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講 解 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講 解 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講 解 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講 解 必修二：球的內(nèi)切和外接

18、 例題講 解 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講 解 【思路點(diǎn)撥】(1)利用特征三角形求 斜高即可； (2)抓住球心到正三棱錐四個(gè)面的距離 相等求球的半徑 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講 解 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講 解 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講 解 必修二：球的內(nèi)切和外接 例題講 解 P A O1 D E O 例例3 求棱長(zhǎng)為求棱長(zhǎng)為 a 的正四面體的正四面體 P ABC 的外接球的表面積的外接球的表面積 過(guò)側(cè)棱過(guò)側(cè)棱 PA PA 和球心和球心 O O 作截面作截面 則則截球得大圓，截正四面體得截球得大圓，截正四面體得PADPAD，如圖所示，如圖所示, , G 連連 AO AO 延長(zhǎng)交延長(zhǎng)交 PD PD 于于 G G 則則 OG PD，且，且 OO1 = OG Rt PGO Rt PO1D a Ra a R 6 3 3 6 2 3 aR 4 6 a 2 3 a 6 3 a 3 6 2 a 2 3 S 表表 解法解法1