求極限的13種方法

1、求極限的13種方法（簡(jiǎn)敘）龘龖龍極限概念與求極限的運(yùn)算貫穿了高等數(shù)學(xué)課程的始終， 極限思想亦是高等數(shù)學(xué)的核心與 基礎(chǔ)，因此，全面掌握求極限的方法與技巧是高等數(shù)學(xué)的基本要求。 本篇較為全面地介紹了 求數(shù)列極限與函數(shù)極限的各種方法，供同學(xué)參考。一、利用恒等變形求極限利用恒等變形求極限是最基礎(chǔ)的一種方法，但恒等變形靈活多變，令人難以琢磨。常用的的恒等變形有：分式的分解、分子或分母 有理化、三角函數(shù)的恒等變形、某些求和公式與求積公式的利用等。n例 1、求極限 lim (1 a)(1 a2).(1 a2 )，其中 a 1n:分析 由于積的極限等于極限的積這一法則只對(duì)有限個(gè)因子成立,此,應(yīng)先對(duì)其進(jìn)行恒等變

2、形。因?yàn)?1 a)(1 a2).(1a2 )1 2 2(1 -a)(1a)(1 a2).(1 a21 -a1 2 2 2n r；(1a2)(1a2)(1a2)12n 1二心)nr， 時(shí) ，2n 1 f而 a 1時(shí)，t 1n，n_2n，n_2t -1 (t 1)(t t . 1) t t . 1 n 原式= lim limmjpmi口tm 1tj (t 1)(tm +tm +. + 1) t +t +. + 1 m三、利用對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換求極限利用對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換求極限主要是通過(guò)公式uelnuv,進(jìn)行恒等變形，特別的情形，在（1 ：）型未定式時(shí)可直接運(yùn)用v(u-1) vu e例3、求極限lim (cosx)XT

3、O csc2 X1 . 2 sin x,八2lim解 原式= lim e(cosx )csc x 二 ex * sin xXT01四、利用夾逼準(zhǔn)則求極限利用夾逼準(zhǔn)則求極限主要應(yīng)用于表達(dá)式易于放縮的情形例4、求極限limnTon!n n分析當(dāng)我們無(wú)法或不易把無(wú)窮多個(gè)因子的積變?yōu)橛邢迺r(shí)，可考慮使 用夾逼準(zhǔn)則。解因?yàn)?。丄2：口衛(wèi)丿，n n n n n n且不等式兩端當(dāng)趨于無(wú)窮時(shí)都以 0為極限，所以lim一嗎=0 nTo nn五、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限主要應(yīng)用于給定初始項(xiàng)與遞推公式Xn f(Xn)的數(shù)列極限。在確定lim Xn存在的前提下，可由方程A=f(A)nT解出 A，則 l

4、im Xn=A。nTo1a例 5、設(shè) a 0，X10，Xn1二；(3xn-3),( n =1,2,)，求極限 limXn 1時(shí),x -1 = 0,則 sin sin(x -1) sin(x 一1) x - 1,ln x = In(1 x - 1) x - 1故原式=lim =1X-1 X 1七、利用導(dǎo)數(shù)定義求極限并且需要In u v二e ,進(jìn)利用導(dǎo)數(shù)定義求極限適用于mx0 J 型極限,滿足f(Xo)存在。sin (a + 丄)例7求nimn，其中遼，。分析 初步可判斷此題為(1：)型未定式，先通過(guò)公式u 行恒等變形，再進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)定義求得極限。1sin (a)s i na(+ ) lim n

5、 ln解 Ip jn=en sina nis i a1 1sin (a+)In si n(a+ )T n s i a而 lim n lnlim-nYsin an護(hù)1n丄1ln sin(a + )Tn sin a由導(dǎo)數(shù)的定義知，lim片表示函數(shù)Insinx在x=a處的導(dǎo)1 si n( a+_) 數(shù)。即 lim n ln二In si nxx=a 二 cot a。nsin a八、利用洛必達(dá)法則求極限利用洛必達(dá)法則求極限適用于0二,0 :型未定式，其它類型未定式也 0 O0可通過(guò)恒等變形轉(zhuǎn)化為0,二,0-型。洛必達(dá)法則使用十分方便，但使0 0用時(shí)注意檢查是否符合洛必達(dá)法則的使用條件。例8求極限lim

6、cosx予。血T X2sinx 3sin3xcosx 9cos3x 解原式Timlim42x注：連續(xù)兩次使用洛必達(dá)法則T2xT九、利用微分中值定理求極限利用微分中值定理求極限的重點(diǎn)是學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用拉格朗日中值定理， 即 f（a）他二 f（）,其中（a, b）。a -bx sin x例9、求極限lim-0 x sin x分析 若對(duì)函數(shù)f（x）ex，在區(qū)間bin x,xl上使用拉格朗日中值定理x sin x則：e ,其中：（sinx,x）x sin xx sin x解由分析可知e ,其中：（sinx,x）x sin x又 x0時(shí)，有 s i n ：時(shí)分別趨于0與1,故積分區(qū)間為 0，.n n將0,等

7、分，則有* =丄,從而有:n原式=lim 1(si n si nsin ) = si n： xd = -1 tox l nnn力兀兀十二、利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限級(jí)數(shù)具有以下性質(zhì)：若級(jí)數(shù)x Un收斂，則lim Un =0。所以對(duì)于某些極限lim f(n),可以將函“nnJpCn 數(shù)f(n)作為級(jí)數(shù)Cf(n)的一般項(xiàng)，只需證明級(jí)數(shù)&f(n)收斂，便有nn Tlim f(n), =0.n_.例12、求極限n. n lim 2 j：(n!)2n解令Un 0qQ（獷對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)有l(wèi)im = lim (n 1)n；Y( n +1)!)2nn n =(n 1)nnlim (1 )n lim e 0n n 1 n1lim加n I UnqQ= 0：1,由比值審斂法知，級(jí)數(shù) Un收斂n z4n故也總=0十三、利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求極限當(dāng)數(shù)列本身就是某個(gè)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列時(shí),求該數(shù)列的極限就成了求相應(yīng)級(jí)數(shù)的和。此時(shí)常?？梢暂o助性地構(gòu)造一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的值。例13、求極限lim （1n2 -332分析若構(gòu)造幕級(jí)數(shù)Q0n -1j nxn