第十四章重積分

1、習(xí)題14-11.證明：若函數(shù)f(x,y)在矩形閉區(qū)域 D上可積，則f(x,y)在D上有界.證假設(shè)f x, y在D上可積，但在D上無(wú)界.則對(duì)D的任何一個(gè)分割T八1,；2,，二n二f x, y必在某個(gè)小區(qū)域 6上無(wú)界當(dāng)i=k時(shí)，任取R 二i,令I(lǐng) ! if x,y dxdy,D由于f x,y在二k上無(wú)界，即存在Pk 二k,使f PkI +1 + G,從而-kzinkGY f (R )阿i式I ! f x,y dxdy,Df (Pk 込i + f(Pk 怦 X f(Pk Mk - 遲 f(Pk 處6 = I +1 (*)另一方面，由于fx, y在D上可積，取；=1 ,故存在0 ,對(duì)任一 D的分割n：

2、1.6 當(dāng)T :時(shí),T的任一積分和7 f P *i都滿足i=1而此與(*)式矛盾，所以，f x,y在D上有界另證假設(shè)f x, y在D上可積，但在D上無(wú)界則對(duì)D的任何一個(gè)分割T，6 I f x,y必在某個(gè)小區(qū)域 J上無(wú)界當(dāng)i=k時(shí)，任取P 二i,令由于f(x,y心k上無(wú)界,對(duì)任意的Mle。，都存在玖，使| HP,詈從而y f U f ui亦啟 f(Fk )加 瓦 f(Fk Q(*)所以山 E f ( R Qq - I 1.i 4此與f X, y在D上可積的定義矛盾2. 設(shè)f在可求面積的區(qū)域 D上連續(xù)，證明：(1) 若在D 上, f非負(fù)且在D上不恒為零,則H f x,yd二 0.D(2) 若在D內(nèi)

3、任一子區(qū)域D 二D上都有M f X, yd；：=O,則在D上f(x,y)=O.d證(1)由已知，存在PO X0, y D ,使f Xo,yo 0.則存在 0,對(duì)一切Px,y Di,(其中1D=UP);D),有fx, y?fxo,y。0.而f x,y在有界閉區(qū)域 D上非負(fù)連續(xù)，則有1f x, y d ： = f x, y d 亠 I 丨 f x, y d；_ 3 f X。，y。0 ,DD1D _D12其中Sd1表示為D1的面積.用反證法：假設(shè)在D內(nèi)存在一點(diǎn)PX0, y0 ,使fX0,y= 0 ,不妨設(shè)fx,y0 .則1存在0,使對(duì)一切PxyFD其中DU F0 D),有 f(x,y )3 f (x

4、, y ) 0.這時(shí)2 1!.f x, yd f X0, y0 Sd10 ,D1 2這與題設(shè)I I f x, y d = 0,產(chǎn)生矛盾(Sd為區(qū)域D1的面積).d3. 證明：若f在有界閉域D上連續(xù)，g在D上可積且不變號(hào)，則存在一點(diǎn)(】)D使 得f(x,y)g(x,y)dxdy=f( , ) g(x,y)dxdy.DD證 不妨設(shè)g x, y 一 0, x, D ,函數(shù)f x, y在有界閉區(qū)域 D上連續(xù)，必存在最大值 M與最小值m ,使對(duì)一 x, y 三D ,有m豈f x, y M .從而m g x, y dxdy 乞 f x, y g x, y dxdy 乞 M g x, y dxdy.DDD若

5、 11 g x, y dxdy = 0= . f x, y g x, y dxdy 二 0 ,即對(duì)任意的, D ,等式成立.JJ f(x, y g(x, y pxdy若 g x, y dxdy 0=m_M .由介值定理，存在dgx,ydxdyD.f x, y g x,y dxdyRD,使f 二上.等式得證.g x,y dxdyD4.應(yīng)用積分中值定理估計(jì)積分dxdyI22|x| 砒。100 cos x cos y解由于f x, y二122 2100 cos x cos在有界閉區(qū)域D = x, y x - y 10上連續(xù)，則由中值定理，存在V盧D,使得dW22x . y| qoo100 cos x

6、 cos y100 cos?cos2SD1,max f (x, y )=,所以102 x,y.D 、100d；1計(jì)算下列二重積分：(1) (y-2x)dxdy,D 珂3,5 1,2；Dxy2dxdy,D =0,2 0,3;D1 而 Sd =200,且 min f X, y 二 (x,y 嚴(yán)空22.51 x y 2.00100 cos x cos y習(xí)題14-2! cos(x y)dxdy, D = 0, 0,二;sin Jx232y2dxdy, D 二( x,y) | 二 2 0)2si nx 0 dx 0 f (x, y)dy；1 2y33今 0dy 0 f (x, y)dx v dy 0

7、f (x, y)dx.解(1)積分區(qū)域D如圖14-1所示.b xb bUf (x,y )dxdy= dx f (x,y )dy = dyj f (x,y)dx.a aa yD根據(jù)已知累次積分知道它對(duì)應(yīng)的而重積分的積分區(qū)域?yàn)镈 = fx, y）J2axx2 蘭 y 乞 * 2ax,0 蘭 x 乞 2a 1 如圖 14-2 所示.I要改變積分順序，應(yīng)將積分區(qū)域分成三個(gè)y型區(qū)域，所以2 a.2ax0 dX.2ax 壬aa _a2 _y2f x,y dy = 0dy 匚 f x, y dx2a圖 14-2a2a2a2a0dy .a a27y2 f x, y dx * dy 上 f x, y dxv2a

8、(3)積分區(qū)域如圖14-3所示2sinx1- _arcsin y0 dx 0 f(X,y)dy0dy.arcsiny f x, y dx02 二 _arcsin y亠I dy.1arcsi nyx, y dx. 積分區(qū)域如圖14-4所示，所以圖 14-312 y33-y23-x0dy 0 f(x,y)dx dy。 f (x, y)dx = 0 dx x f x, y dy23.設(shè)f（x）在R上連續(xù)，a,b為常數(shù).證明b xb(1) adxa f(y)dy二 a f(y)(b_y)dy；a ya(2) 0 dy 0eaf(x)dx 二 0 (a-x)eaf (x)dx, (a 0).證（1）bx

9、bbbdxf f(y)dy = dyj f(y)dx可 f(y)(b-y)dy.aaaya圖 14-4b（說(shuō)明：在最后一個(gè)定積分中，將積分變量y換成x,還可得原式f x b-x dx）aa ya ady0e2f(x)dx=dxe2f(x)dy珂 |eaf x)dy Ux= L(a-xbaf (x)dx4.求旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2 y2，三個(gè)坐標(biāo)面及平面x1所圍有界區(qū)域的體積解如圖14-5z =x2 +y22 1y dxdyodx。x2D1 1 o 2 4x 2x x 0 331 _x22x y dy_ 1_6.5.設(shè)f （x,y） = fi（x）f2（y）為定義在D二切識(shí)心上3 dx而所以bd.f

10、1x f2 y 二Da |f1(x)l f2(y pydx .的函數(shù)，若f1（x）與f2（y）均為可積的函數(shù)，則f在D上可積，且b1b2Df幼：曲叭帥陽(yáng)b d.f x,y dxdy 二 x f? y = a dx c h x f? y dy 二DDddc f1 Xf2y dy = f1 X c f2 y dy ,d由于.f2 y dy是一常數(shù)，因而可提到積分號(hào)的外面，于是得cf1 Xf2y 二D|1dxf1(x)吐 f2(y y .JJ f (x, y)dxdy.x2 -y2 ：】222 0 dx i f (x, y)dy ,若 u = x y,v=x_y; f(x y)dxdy,D其中 D

11、二(x,y) | x . y 豈 a,x_Qy_0,若 x =ucof v,y =usin4v； I , f (x y)dxdy ,其中 D ( x,y) | x y 乞 a, x _ Q, y _ 0,若 x y = u,y = uv.11蚣,V*1 1鞏 x,y|1 -1J =D1 d _,D - x, y 1 - x _ y _ 2 - x,0 _ x _ 2：=D 二：u,v -u_v_4-u,1_u_2f，所以4_ u v u - v_u2 2 1 2已(x,y j4 cos v-4u cos3sin vJ =訊u,v廠4 sin v4u sin3 v cos uD=4u cos4

12、vsin3 v, D : - x 、.、二、a =0 dx 仁 f x, y dy 二 f x, y dxdy 二 f u,v J dudv du z2D :u = a,x=0= u = 0 或 v二?，y =0= u = 0 或 v = 0 .所以a11 f (x y)dxdy 2 dv 4uv cos v sin v f u cos v, u sin v dv.D2 因?yàn)樽儞Q x y=u, y=uv將 D 變換成 D -u.v 0 _ u _ a,0 _ v _ , J u,v = u ,所以a 11 aJJf(x +y)dxd尸 ff f (u uv,uv Judud du f (u u

13、vuv)udv二 J0dvJ0 f (u uv,uv)uduDD2.對(duì)積分.f (x, y)dxdy進(jìn)行極坐標(biāo)變換并寫(xiě)出變換后不同順序的累次積分D(1)當(dāng)D為由不等式a2%22耳2,丫-0所確定的區(qū)域(2) D =( x, y) |x y _ y,x _ 0 ;(3) D = ( x, y) | 0 _ x _ 1,0 _ x y _ 1.xr cost(1)令丿則極坐標(biāo)變換將 D變成D = t(r ,t歸蘭r蘭b,0蘭t蘭n ,從而 y = r sint.11 f x, y dxdy 二 f r cost, rsint rdrdtDD b 二 二 b=adr 0 rf r cost,r si

14、 nt dt = 。dt * rf r cost.r s int dr令丿x 二 r cost,y = r sint.則極坐標(biāo)變換將 D變成D =(r ,t )0蘭r蘭sint,0蘭t乞三？，從而iif x, y dxdy 二 f r cost, r s int rdrdtDD 1sint= -0dr-a2csinrrf t dt；dt .。rfCOSt.W 2x = r cost,則極坐標(biāo)變換將D變成y =rsi nt.r,t -匚 _t _?,0 _rcost 一1,0 一r cost sint _1 ,從而0secti i f x, y dxdy = f r cost,r sint rd

15、rdt - dt rf r cost, r sint dr 0DD4n 1虛 n4-2-arccos!1 rf r cost.r sint dt 十 dr 二 r rf r cost.rsint dt.2r4亠！ 2dt ：ost sint f rcost rsint dt = o2 dr 2rf r cost.r sint dt3. 用極坐標(biāo)計(jì)算下列二重積分：(1) i i sin ； x2 y2dxdy ,其中 D =( x, y) | 二 2 _ x2 y2 _ 4二 2;D f(x y)dxdy ,其中 D =( x, y) | x2y2 一 x y；D !|xy |dxdy,其中 D

16、 =( x, y) |x2 y2 遼 a2;D.f (x2 y2)dxdy,其中 D =( x, y) | x2 y2 R2.解(1)已在第2節(jié)中出現(xiàn)過(guò)x = r cost,(2)令丿則極坐標(biāo)變換將y = r si nt.從而D 變成 (r,tJT3)-Et蘭一兀,0蘭r蘭si nt十cost,44(3)3 cost：S int-4f x y dxd 4 dt 0D4rf (r sint r cost)dr.x = r cost令丿則極坐標(biāo)變換將y = r sint.D變成D -、r,t 0 zt乞2二，0乞r乞a從而I! I xy dxdy 二 r sint r cost rdrdtDD 一

17、口 sin 2tr3drdt2 D -f2；I|sin2t dtfr3dr2 sJ 0(4)x = r cost令丿則極坐標(biāo)變換將y = r si nt.D變成D =Er, t 0乞t豈2，0豈r ,J(r,t $ = r. 2 2 i 22 1二 dt 2 - -r 0 _所以V =+y )-(x2 +y2 )dxdy =一 -r2 rdrdtD1D八2丿5.設(shè)f x, y為連續(xù)函數(shù)，且f x, y = f y,x .證明:1 x1 x0dx0 f x,ydy 二 dx。f 1-x,1-ydy.證令x=1u,y=1v，則0蘭v蘭1,0蘭u蘭v, J =1,于1 x1 v1 v1 x0dx 0

18、 f 1 X，1 y dy 二 0dv。f u,v du = 0 dv 0 f v,u du 二 0dx0 f x, y dy.習(xí)題14-41 .計(jì)算下列三重積分 iiiixy z2y2 = 2z 、，、(8) iii(x2 y2)dxdydz,其中二為繞z軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面與z = 8所圍成的Qlx = 0區(qū)域2531253解(1) iiitxy - z dxdydz = *dx ；dy 0 xy z dz = ./x ：V dxdyd z,其中門(mén)=-2,5 x -3,3 x 0,1；一 乙-一厶-Q(2)111 xcosy coszdxdydz,其中-0,1Q 111 zdxdydz,門(mén)由曲

19、面 z =x2 y2, z =1,z = 2所圍成；Q3222(4) iiix yzdxdydz,門(mén)由曲面x y - z = 1,x = 0, y = 0, z = 0圍成的位于第一卦限Q的有界區(qū)域(5) dxdydz 3 ,其中門(mén)是由x y z =1與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的區(qū)域； 五(1+x + y +z )JJJ(6) ycos x - z dxdyd z,其中】是由 y =、. x,y=0,z=：0 及 x - z所圍成的Q2區(qū)域iiizix2 y2dxdydz,其中門(mén)是由y 二 2x-x2,z=0, z = 1,y = 0所圍成的區(qū)域.Q111 x cos y cos zdxdydzV10

20、xdx 02cosydy 02coszd2JI(3)積分區(qū)域如圖14-6所示z JJdxdxy dz= .Dxy丿2: z2d oy圖 14-6(4)積分區(qū)域如圖14-7所示(與教材的參考答案不一樣，請(qǐng) 檢查)31 371 -X2( -X22! x yzdxdydz二 0xdx 0 ydy 0 zdz Q13訂1公123=0X dx 0 yxy y dy1 3 2M-x2dx 二1192 積分區(qū)域如圖14-8dxdydz(1 +x +y + z 311 -z1 _x _z0dz0 dx0dz3(1 + x + y + z 3=丄 0dz0|1- dx=12 00 |l1 x z 42 積分區(qū)域

21、如圖14-9xxhi ycos x z dxdydz = 2 dx。ydy : cos x z dzV1 -sinx dx =二216積分區(qū)域如圖14-10所示! ! ! z ； x2 y2 dxdydz 二QJx2 +y2dxdyDxy2x cost, y =rsi nt2cost 28r dr =-9(8)積分區(qū)域如圖14-11所示圖 14-102 y2 dxdz二唇.(x2Qx zr cost, y sint g 2 - =J J dtj0002 8_y )dxdydz= f (0 y 2z 3r dr2.試改變下列累次積分的順序 ：11 -xx 亠y 0dx0 dy 0 f x y z

22、 dz;圖 14-111111X1x2 -y211x2 y2dx dy fx, y,zdz= dy dx f x, y, z dz 0000001y2111 21=0dy 0 dz 0 f x,y,z dx 0dy dz. 2_f x,y,z dx 書(shū)2 0dx0dy 0 f x,y,z dz.解積分區(qū)域V -x, y,z 0 _ z _ x y,0 _ y _1 x,0 _ x如圖14-15,它在xOy平面上的投影區(qū)域 Dxy = ? x, y 0巴y- x,0三x込仁，所以11 _xx -y0叭 dy。11 _x x4y11 _yx4yX, y,zdz= 0dx0 dy 0f x, y,

23、z dz = dy dxfxyzdz；它在yOz平面上的投影區(qū)域 Dyz = y, z 0空y空1,0豈z空1J所以xy11 _xx Iy111 -y0dx0 dy0 f(x,y,zdz= dzfdyf (x, y, zjdz111 _y0dz0dy0 f x, y, z dx1y1 -y111 -y-0dy0dz0 f x,y,zdz 0dyydzzx, y, z dx;它在xOz平面上的投影區(qū)域二；x, z 0乞x乞1 - x,0空z乞11所以11 _xx: ：；y1 x 1 _x111 _x0dx0 dy0 f x,y,zdz0dxdz0 f x,y,z dy 。dx xdz f x,y

24、,z dy1 Z 1 A111 _z=0dz(dxj J(x,y,z)dy + dzjdx0 f(x,y,z)dy;(2)積分區(qū)域V x,y,z 0 豈 z 乞X2 y2,0 乞 y 豈1,0 乞如圖 14-16它在xOy平面，yOz平面及zOx上的投影區(qū)域分別為Dxy _ ； x, y 0 _ x _ 1,0 _ y _ 1, Dyz = ： y, z 0 玄 y 弐1,0 玄 z 玄1y2 *以及Dzx = 乙x 0遼z乞1 x2,0乞x乞1】 所以r111 211 111=odz.xdy 0f xyzdx idz pdy 22 f X,y,zdz= dz(Xof x,y,zdy2 221

25、11 x2111“x21d dz . dxf x,y,z dy jdx 0 dz f x,y,z dx dx x2 dz.f xyzdy;習(xí)題14-51.采用適當(dāng)?shù)淖儞Q計(jì)算下列三重積分:2 2 2 2(1) iiiix y dxdydz,門(mén) 由曲面 z=x y,z=4,z=16圍成；(2) 11 z.、x2 y2 dxdydz ,Q其中I】由y -、2x - x2 ,z = 0,z =1, y = 0所圍成；iii(x y z)dxdydz,門(mén)由 x2 y2 z2 =R2圍成; Q: 5111 i . x2 y2 z2 dxdydz /1 由 x2 y2 z2 二 2z 圍成;Qzl n(1

26、x2 y2 z2)222dxdyd z,q 1 +x +y +z2 2 2=( x,y,z)|xy z 乞 1,z 一0.(1)積分區(qū)域如圖14-17 所示.用柱坐標(biāo)變換，得z1yy圖14-17x1 5x2zH *圖 14-182 2 2 16I tx y dxdydz = 4Qjj(x2 +y2 )dxdyy: 16 3(2)積分區(qū)域如圖14-18所示，用先二后一法進(jìn)行積分，得in z x2 y2dxdydzz 丨丨 x2 y2dxdy(h0 E；x cost, y hsint f zfdtf-o 02cost 2 ,r dr I 壬 1zd8.9 0-4細(xì)40； 積分區(qū)域如圖14-19所示

27、,用柱坐標(biāo)變換，得（與參考答案不附）iii(x y z)dxdydzQiiixdxdydz亠 iiiydxdydz亠 hi zdxdydzQ-_RRJybdxdzdyzRdz=JIRx R2 2 2 2-x dx y R-y dyR 積分區(qū)域如圖14-2 0所示，用球坐標(biāo)變換計(jì)算5X* 2y2 z2 dxdydzQ22cos ：7二 dr 2d： sind t0 - 0 - 021. 864=2二 2 2cos sin d.0 89（5）積分區(qū)域如圖14-21所示，是上半單位球體，故應(yīng)用柱坐標(biāo)變換，則z2 2 2zln 1 x y z222 dxdydz =q Vx + y +z011_r20

28、rdr 02 2zln 1 r - z22 dz1 r - zjdjdrjd ln2 1 r2 z2）1 工2二 10 drWrln2 2 -ln2 1 r2 drln22162ln 22 -2ln 2116ln2dr Qr ln2 1 r2z2 1 r2 d 1 r2 二16 0 16 : l n2ln22 -1 .816（這是一個(gè)很有趣的題目， 從題目的情況來(lái)看， 使用球坐標(biāo)變換應(yīng)該更方便一些，但情況卻恰恰相反，使用球坐標(biāo)變換后的三次積分反而不好算。所以，很多問(wèn)題必須具體問(wèn)題具體分析，才可能選到最好的解決問(wèn)題的途經(jīng)）2 2 22設(shè)球體x y z 2x上各點(diǎn)的密度等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，求

29、這球的質(zhì)量.解密度函數(shù)f x, y,-x2 y2 z2 ,則球體的質(zhì)量y2 z2乞2x變成M =x2y2z2dxdydz .應(yīng)用球坐標(biāo)變換將球體V:x22 2 cx y -z 哆 xjiV，=3(r,日，卜一蘭日蘭一,0蘭蘭.0蘭r蘭2si n co3所以2 sin 匚cos vr3sin dr = 8 二53.2求由拋物面z=6-x-y2與錐面, x2 y2所圍成的空間的體積曲面圍成的立體J如圖14- 2 2 所示,故可用柱面坐標(biāo)計(jì)算2 二 2 2=JJJdv = JJJ rdrd 日dz =J0d日J(rèn)0rdrJrdz =2兀J0(6r- r2 - r4.設(shè)函數(shù) f (u)在-1,1上連續(xù) 證明：11