《復(fù)數(shù)》知識點(diǎn)總結(jié)

1、復(fù)數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)1、復(fù)數(shù)的概念形如a bi(a, b R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足= _1 , a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部.(1)純虛數(shù)：對于復(fù)數(shù) z = a bi，當(dāng)a= 0且b = 0時，叫做純虛數(shù).兩個復(fù)數(shù)相等：a bi, c di(a b、c、d R)相等的充要條件是 a = c且b=d.(3) 復(fù)平面：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，橫軸為實(shí)軸，豎軸除去原點(diǎn)為虛 軸.(4) 復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù) z=a bi可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)表示，向量 OZ的模叫做復(fù)數(shù)z = a bi 的模，表示為：| z |=|a bi 1=、. a2 b2(5)共軛復(fù)數(shù)：兩個

2、復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做共軛復(fù)數(shù).2、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(1) 加減運(yùn)算：(a bi)二(c di) = (a 二c) (b d)i ；(2) 乘法運(yùn)算：(a bi) (c di)二(ac - bd) (ad bc)i ；(3) 除法運(yùn)算:(a biV (c di)二(篤二號)(b： 一 a? i(c di = 0)；c d c d(4) i 的幕運(yùn)算：i4n=1，i4n1=i，T3i.( n Z)(5) ZZ=|Z|2=|Z3、規(guī)律方法總結(jié)(1) 對于復(fù)數(shù)z = a，bi(a,bR)必須強(qiáng)調(diào)a,b均為實(shí)數(shù)，方可得岀實(shí)部為a，虛部為b(2) 復(fù)數(shù)z = a，bi(a,bR)

3、是由它們的實(shí)部和虛部唯一確定的，兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的主要方法對于一個復(fù)數(shù)z = a bi(a,b R)，既要從整體的角度去認(rèn)識它，把復(fù)數(shù)看成一個整體，又要從實(shí)部、虛部的角度分解成兩部分去認(rèn)識(3) 對于兩個復(fù)數(shù)，若不全是實(shí)數(shù)，則不能比較大小，在復(fù)數(shù)集里一般沒有大小之分，但卻 有相等與不等之分.(4) 數(shù)系擴(kuò)充后，數(shù)的概念由實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集，實(shí)數(shù)集中的一些運(yùn)算性質(zhì)、概念、關(guān)系就不一定適用了，如絕對值的性質(zhì)、絕對值的定義、偶次方非負(fù)等1、基本概念計(jì)算類例1若乙=a+2i,z2 =34i,且 N為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) a的值為Z2解：因?yàn)?z1 a 2i (a 2i)(3

4、4i) 3a 6i 4ia - 8 = 3a - 8 (6 4a)iz23-4i (3-4i)(3 4i)2525又為純虛數(shù)，所以， 3a 8 = 0,且6+ 4a = 0。Z22、復(fù)數(shù)方程問題例2證明：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程|z|2 （1_i）z5 _（i為虛數(shù)單位）無解2 i證明：原方程化簡為| z|- i）z -（1 i）z =1 - 3i,設(shè)z = x+ yi（x、y R），代入上述方程得r 2丄2彳+ y2 -2xi -2yi =1-3i.x + y =12y整理得 8x 12x+5=0gx +2y =3A. = -16 ： 0.方程無實(shí)數(shù)解，所以原方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)無解。3、綜合類13

5、設(shè)z是虛數(shù)， = Z亠一是實(shí)數(shù)，且1，2z1=a bi a-bi=(aab .a2b2)(ba2 b2)i，因?yàn)椋菍?shí)數(shù),所以,a2 +b2 =1，即 |z|1，因?yàn)? 2a, 1 0,所以，-M2_2X 2 3= 1,21 2當(dāng)a+ 1 =，即a = 0時上式取等號，所以 M 的最小值是1。a +14、創(chuàng)新類例4對于任意兩個復(fù)數(shù) zx1 y1i,zx2 y2i (x1, x2, y1, y R)定義運(yùn)算“O”為Z1 O Z2 = X1X2 河2，設(shè)非零復(fù)數(shù) 1/ 2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為R, P2,點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若灼1 O o2 = 0,則在APOP2中，NROP2的大小為 .解法一：(

6、解析法)設(shè) =a1b1ir= a2 b2i(aa2= )，故得點(diǎn)P1(a1,b1) ,F2(a2,b2),口b-i b2且 aja2 + 6b2 = 0，即卩一=-1a1 a2b1 b2從而有 kOP11 kOR 2 = = 1 故 OR 丄 OP2,也即 N P-)OP2 = 90a1 a 2解法二：(用復(fù)數(shù)的模)同法一的假設(shè)，知2.2 2.2 2.2 2.2=a1b1+ a2b2 2( a1a2b1b2)= a1b1 + a2b2 2x 0222222=a-! d + a2 b2 = 10P1 | + |0P2 |由勾股定理的逆定理知 / P1OP2 =9O0解法三：(用向量數(shù)量積的知識)同法一