二面角大小的幾種求法(歸類總結(jié)研究分析)

1、二面角大小的幾種求法（歸類總 結(jié)分析）作者:日期:#二面角大小的幾種求法二面角大小的求法中知識(shí)的綜合性較強(qiáng)， 方法的靈活性較大，一般而言，二面角的大小往往轉(zhuǎn)化 為其平面角的大小，從而又化歸為三角形的內(nèi)角大小， 在其求解過程中，主要是利用平面幾何、立體 幾何、三角函數(shù)等重要知識(shí)。求二面角大小的關(guān)鍵是， 根據(jù)不同問題給出的幾何背景，恰在此時(shí)當(dāng)選 擇方法，作出二面角的平面角，有時(shí)亦可直接運(yùn)用射影面積公式求出二面角的大小。I.尋找有棱二面角的平面角的方法（定義法、三垂線法、垂面法、射影面積法）一、定義法：利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)） ，過該點(diǎn)在兩個(gè)半 平面內(nèi)作垂直于棱的射線

2、，兩射線所成的角就是二面角的平面角， 這是一種最基本的方法。要注意用 二面角的平面角定義的三個(gè) 主要特征”來找出平面角。例空間三條射線CA、CP、CB，/ PCA二/ PCB=60。，/ ACB=90。,13 /14解：過PC上的點(diǎn)D分別作DE丄AC于E, DF丄BC于F,連EF./ EDF 為二面角 B-PC-A 的平面角，設(shè) CD=a,vZ PCA= / PCB=600, CE=CF=2a, DE=DF= 3a，又T/ ACB=900，二 EF=2 2a , / edf= 3a 8 12 3a23APB= BPC= CPA=600，求二面角 A-PB-C 的余弦值1.在三棱錐P-ABC中,

3、2.如圖，已知二面角a a B等于 120 PA丄 a, A a PB 丄 B,3.在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形, 大小。PA丄平面ABCD ,PA=AB=a，求二面角 B-PC-D 的用三垂線定理或逆定理作出二面二、三垂線法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線, 角的平面角。例 在四棱錐P-ABCD中，ABCD是平行四邊形，PA丄平面ABCD , PA=AB=a，/ ABC=30 , 求二面角P-BC-A的大小。解：如圖，PA丄平面BD，過A作AH丄BC于H，連結(jié)PH,貝卩PH丄BC又AH丄BC,故/ PHA是二面角P-BC-A的平面角。在 RtAABH 中，AH=ABsi

4、n / ABC=aSin30 =a ; 2在 RtA PHA 中，tan/ PHA=PA/AH=旦 2，則/ PHA二arctan2. a25. 在四棱錐P-ABCD中，ABCD是平行四邊形，PA丄平面ABCD , PA=AB=a，/ ABC=30，求L二面角P-BC-A的大小6. 如圖，在三棱錐 P-ABC 中，PA丄平面 ABC , PA二AB , AC=BC=1，/ ACB=90, M 是 PB 的 中點(diǎn)。（1）求證：BC丄PC,平面MAC與平面ABC所成的二面角的正切A7. ABC中，/ A=90 , AB=4 , AC=3,平面ABC外一點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影是 AB中點(diǎn)M , 二

5、面角PAC B的大小為45求（1） 二面角P BCA的大??；（2）二面角C PB A的大小。8. 如圖，已知 ABC中，AB丄BC, S為平面ABC外的一點(diǎn)，SA丄平面ABC , AM丄SB于M , AN丄SC于N,（1）求證平面SAB丄平面SBC求證/ ANM是二面角A SC- B的平面角.9. 第8題的變式：如上圖，已知 ABC中，AB丄BC, S為平面ABC外的一點(diǎn)，SA丄平面ABC , / ACB = 60, SA = AC = a, (1)求證平面SAB丄平面SBC (2)求二面角A SC BC的正弦值.10. 如圖,ABCD-AiBiCiDi是長方體，側(cè)棱AA i長為1,底面為正方

6、體且邊長為2, E是棱BC的中點(diǎn)，求面CiDE與面CDE所成二面角的正切值。11.如圖4,平面丄平面n =l, A , B ，點(diǎn)A在直線I上的射影為A1,點(diǎn)B在I的射影為B1，已知AB=2 , AA1 = 1, BB1= .2，求：二面角A1-AB - B1的大小三、垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)， 過兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的交線所成的 角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直。例 在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA丄平面ABCD , PA=AB=a，求B-PC-D的大小。P解：（垂面法）如圖，PA丄平面BD BD丄AC=BD丄BC =過BD作平面BDH

7、丄PC于H= PC丄DH、BHDABCBHD為二面角B-PC-D的平面角。因 PB= . 2 a,BC=a,PC=3 a,1pBBC=SApBC=；pc冊(cè)則 BH= ；=DH , BHD中由余弦定理，得:cos/ BHD =BH2 DH2 BD22BHgBD2、2a，又 0Z BHD “，則/ BHD=，二面角B-PC-D的大小是3312.空間的點(diǎn)P到二面角 I的面、及棱1的距離分別為4 3、警，求二面角1的大小.13. 如圖，在三棱錐 S-ABC中，SA丄底面ABC , AB丄BC , DE垂直平分SC且分別交 AC、SC于 D、E,又 SA = AB , SB= BC,求二面角 E-BD

8、C 的度數(shù)II. 尋找無棱二面角的平面角的方法（射影面積法、平移或延長（展）線（面）法）四、射影面積法：利用面積射影公式S射=S原cos ,其中 為平面角的大小，此方法不必在圖形中 畫出平面角。例 在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA丄平面ABCD , PA= AB = a,求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。AD PA解：（面積法）如圖， AD AB AD PBA于A ,PAI AB A同時(shí)，BC丄平面BPA于B，故 PBA是厶PCD在平面PBA上的射影則 cos 0 =PBAPCD14. 如圖，設(shè)M為正方體ABCD-A iBiCiDi的棱CCi的中點(diǎn), 的二面角的大小。15

9、. 如圖，AC ,BD , a與 B所成的角為 60, AC l 于 C, BD l 于 B, AC= 3, BD = 4,CD = 2,求A、B兩點(diǎn)間的距離設(shè)平面PBA與平面PDC所成二面角大小為0,五、平移或延長（展）線（面）法：對(duì)于一類沒有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之 相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。例在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形, 面PDC所成二面角的大小。（補(bǔ)形化為定義法）PA丄平面ABCD ,PA= AB = a,求平面PBA與平解：（補(bǔ)形化為定義法）如圖，將四棱錐 P-ABCD補(bǔ)形得正方體 則PQ丄PA、PD,于是/ APD是兩面所成二

10、面角的平面角。在 RtA PAD 中，PA=AD，則/ APD=45。即平面BAP與平面PDC所成二面角的大小為4516. 在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA丄平面ABCD ,面PDC所成二面角的大小。D平面 ABCD, AD/BC/FE , AB AD ,六、向量法解立體幾何中是一種十分簡捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向 量法求解，用向量法解立體幾何題時(shí)，通常要建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將 幾何圖中的線段寫成用坐標(biāo)法表示的向量，進(jìn)行向量計(jì)算解題。例（2009天津卷理）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)AM 為 EC 的中點(diǎn)，AF=AB=BC=F

11、E=丄 AD。2,（1）求異面直線BF與DE所成的角的大小；（II）證明平面AMD 平面CDE;(III)求二面角A-CD-E的余弦值解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)AB 1,依題意得B 1,0,0 , C 1,1,0 , D 0,2,0 , 1 1E 0,1,1 F 0,0,1 M ,1,.2 -(I)解:BF1,0,1 , DE0,1,于是 cos:：BF,DEBF?DE0 0 11BF DE2? 2 2所以異面直線BF與DE所成的角的大小為600.(II )證明：由AM1,0,，AD0,2,0，可得 CE?AMCE ?AD 0因此，CEAM，CEAD 又 AMADA

12、，故 CE平面AMD .而CE 平面CDE，所以平面AMD平面CDE.(III)解：設(shè)平面CDE的法向量為u (x, y, z),則u?CE 0,于是u?DE 0.0,0.令x 1,可得u(1,).又由題設(shè)，平面ACD的一個(gè)法向量為v (0,0,1).18. ( 2008湖北)如圖，在直三棱柱 ABC A BQ中，平面ABC 側(cè)面A1ABB1 . 求證：AB BC ；(II)若直線AC與平面ABC所成的角為，二面角A BC A的大小為， 試判斷 與 的大小關(guān)系，并予以證明.分析：由已知條件可知：平面 ABB1 A1丄平面BCC1 B1丄平面ABC于是很容易想到以B點(diǎn)為空間坐 標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，

13、并將相關(guān)線段寫成用坐標(biāo)表示的向量， 先求出二面角的兩個(gè)半平面的法向量， 再利用兩向量夾角公式求解。(答案：a口aca、arcs in,且,)2 2 2 2 2 2/ a cb、a c. a c由此可見，二面角的類型和求法可用框圖展現(xiàn)如下:角可卯1轉(zhuǎn) 化廣定義法f三垂統(tǒng)法7*垂面法_ |41積法不見棱型分析：所求二面角與底面 ABC所在的位置無關(guān)，故不妨利用定義求解。略解：在二面角的棱PB上任取一點(diǎn)Q在半平面PBA和半平面PBC上作QM PB, QN PB則由定 義可得 MQN!卩為二面角的平面角。設(shè) PM=a則在Rt PQM和Rt PQN中可求得QM二QNa;又由2PQN PQM導(dǎo)PN二a,故

14、在正三角形PMh中MN=a在三角形 MQ中由余弦定理得 cos MQN=，即二3面角的余弦值為1。3PA AB因?yàn)?AB=AD=a , pa AD PBPBPD , BCPCPDDC PBD PDC。PC過B作BH丄PC于H，連結(jié)DH=DH丄PC故Z BHD為二面角B-PC-D的平面角。因 PB 2 a,BC=a,PC= 3a,1 PB-BC=S PBC=- PC-BH，貝S BH=2 2a _=DH 又 BD= 2a。在 BHD3中由余弦定理，得:cosZ BHD =氣詩2 2.6.6aa332“舟，又0Z BHD n則，BHD弋二面AB AD a角B-PC-D的大小是令。基礎(chǔ)練習(xí)1.二面角

15、是指（）A兩個(gè)平面相交所組成的圖形B 一個(gè)平面繞這個(gè)平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)所組成的圖形C從一個(gè)平面內(nèi)的一條直線出發(fā)的一個(gè)半平面與這個(gè)平面所組成的圖形D從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形2.平面a與平面僅丫都相交，則這三個(gè)平面可能有（ ）A 1條或2條交線B 2條或3條交線C僅2條交線D 1條或2條或3條交線3.在30的二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn),若它到另一個(gè)面的距離是10,則它到棱的距離是（）B 2010.24.在直二面角 a-l- 3中，Rt ABC在平面 則AC與平面3所成的角為（）a內(nèi)，斜邊BC在棱I上，若AB與面（3所成的角為60,A 300B 450C 600D 1200f5.如圖，射

16、線BD、BA、BC兩兩互相垂直，AB=BC=1 , BD二出,2則弧度數(shù)為-的二面角是（）A. D-AC-BB. A-CD-BC. A-BC-DD. A-BD-C6.A ABC在平面a的射影是厶A1B1C1，如果 ABC所在平面和平面a成B角，有（A.S A1B1C1 =SABC sin 0B. S A1B1C1 = S ABC COS 0C. Sabc =SA1B1C1 sin 0D. ABC =SA1B1C1 COS 07.如圖，若P為二面角M-I-N的面N內(nèi)一點(diǎn)，PB丄I, B為垂足，A為I上一點(diǎn)，且/ PAB=a ,PA與平面M所成角為伏二面角M-I-N的大小為y則有（）A sin a

17、 =sin 3 sin 丫 B sin 3 =sin a sin 丫C sin 丫 =sin a sin 3 D以上都不對(duì)8在60的二面角的棱上有兩點(diǎn) A、B，AC、BD分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)垂直于 AB的 線段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，貝S CD=。9.已知 ABC和平面a, / A=30,Z B=60, AB=2 , AB a,且平面ABC與a所成角為30, 則點(diǎn)C到平面a的距離為。10 .正方體 ABCD AiBiCiDi中，平面 AAQC和平面 AiBCDi所成的二面角（銳角） 為。11. 已知菱形的一個(gè)內(nèi)角是600，邊長為a,沿菱形較短的對(duì)角線折成大小為600的二面角，則菱 形中含600角的兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離為。12. 如圖， ABC在平面a內(nèi)的射影為 ABCi,若/ ABCi=B, BCi=a，且平面ABC與平面a 所成的角為 嘰求點(diǎn)C到平面a的距離13. 在二面角a-AB- 3的一個(gè)平面a內(nèi)，有一直線AC ,它與棱AB成450角，AC與平面3成300 角，求二面角a-AB- 3的度數(shù)。深化練習(xí)14. 若二面角內(nèi)一點(diǎn)到二面角的兩個(gè)面的距離分別為a和池a,至U棱的距離為2a,則此二面角的度數(shù)是。、15.把等腰