3.三、向量空間.基過度矩陣-基下坐標

1、1 三三. .向量空間向量空間, ,基基, ,過渡矩陣過渡矩陣, ,基下坐標基下坐標 1234 123412341234 123412341234 1 12341234 ,(0,.,0,1,0,.,0) ( ,)( ,) ,(,), ,(,) ,(,) ( i i TTTT TTTT TTTT B AA BB 第 列 解法：引入中介基 基： 基： 為求基到基過渡矩陣 由表示，由 1 12341234 11 12341234 ,)(,) (,) (,), TTTT TTTTTTTT B A CB A過渡矩陣 97.4,2P六, 4 11 22 33 44 (1) (1,1,2,1)(1, 1,0

2、,0) (0,2,1,2)(1,0,0,0) (0,0,3,1)(0,0,2,1) (0,0,0,1)(0,0,3,2) 3 (1) (2) R 已知四維向量空間的兩個基 （）（） 且向量 在基( ) 下坐標為（0, 1,1）, 求由基( )到基( )的過渡矩陣； 求向量 在基( )下的坐標. 1. 已已知知向向量量空空間間兩兩組組基基，求求過過渡渡矩矩陣陣，向向量量在在基基下下坐坐標標 2 97.5,p6 01.11,63); 98.4, (p22) p ，, 類似題：七（）區(qū)別：過渡矩陣從到 五(1)（七； 01.5,六(p59) 11223344 11 1 22 12341234 33

3、44 11223344 1 2 1234 3 4 11 1 22 33 44 , , xxxx xx xx BA xx xx yyyy y y y y yx yx BA xy xy 已知 3 2 求求兩兩個個基基下下有有相相同同坐坐標標的的向向量量 98.6,27p , , 五五（）第第3 3問問不不同同. . 類類似似題題： 0 01 1. .1 11 1, ,五五( (2 2) ) 解法: 注意基注意基()是單位坐標向量組是單位坐標向量組. ()： 1234 , 12341234 1 1 1234 , , TTTT , , , B CB 基 ： 基 到基 過渡矩陣 4 11 22 33 4

4、4 (1,0,0,0)(2,1, 1,1) (0,1,0,0)(0,3, 1,0) ( )( ) (0,0,1,0)(5,3, 2,1) (0,0,0,1)(6,6, 1,3) (1)( )( ) (2)2( ) (3). R 在中取兩個基 求基到基的過渡矩陣； 求向量（1,0, 1）在基下的坐標； 求在兩個基下有相同坐標的向量 4 1 1223344 112233441234 12341234 1234 1234 ,( ,) , , 0 1 0 0 11 0 1 0 11 , 0 0 1 11 0 0 0 01 ,1,1,1, 1 T T xxxx xxxxx x x x k kk B x

5、xx BxxBE xx BEx x x 向量 即 即，或， 為解向量. 1234 12341234 (1, 2,0, 1)1201 1 2 ( ,)(,) 0 1 TT CyC 5 2 已已知知兩兩組組基基關(guān)關(guān)系系式式，求求過過渡渡矩矩陣陣，基基下下坐坐標標 98.12,35)p五五（ 3 123 1123 2123 3123 3 123 123123 123 123 R, 233 22 53. 1,R 2, 3,1,-2,1 , 已知三維向量空間的一個基， 設(shè)， ， ）證明也是的一個基； ）求由基到的過渡矩陣； ）若向量 在基下的坐標為()， 求 在基下的坐標. 1123 2123 3123

6、 123123 233 (1)22 53 ,C 解法： 6 97.6,:197.2,20);99.5,44)類類似似題題：六六( (p p1 11 1) ) 無無之之證證明明; ;四四( (p p五五( (p p 1 123123 123123 123123 1 123 1 123123 12 2 2 1 3 1 5 ,det10 3 2 3 , , 2, 74 9 637 324 3121 11 ,2,2 11 , CCC C C C 可逆 與等價，秩相同，為基. 基到的過渡矩陣為 已知 3 123 10 13 5 ,10135 在下坐標為(,)， 7 3. 3. 已知向量在兩基下坐標之間關(guān)

7、系，求過渡矩陣已知向量在兩基下坐標之間關(guān)系，求過渡矩陣 99.11,四,P45 1234 12 34 12341234 112212 334434 12341234 ( ,) (1,3,4,4)(2,5,7,7) ( 3, 3, 5,2)(5,5,8, 3) ( ,), 35,2 23,58 , x x x x y yy y yxxyxx yxxyxx 設(shè)為向量 在基 （） 下的坐標，是 在基（）下的坐標，且 （1）求從基到基的過渡矩陣； （2） 1234 ,. 求基 12341234 , 解法：已知基，未知基 112233441234 112233441234 , , xxxx yyyy x

8、 y 及 8 112 212 334 434 1 1 2 2 3 3 4 4 35 2 23 58 3 5 00 1 2 00 0 0 23 0 05 8 yxx yxx C yxx yxx yx yx C yx xy yx xy 及關(guān)系即 414 12341234 12341234 , , , xCx C C LL求基到的過渡矩陣： 為所求的過渡矩陣. 1 1 1234124 1 1 1 11 1 2 2 , i C C C COCO CC O C O C 3 求的方法： 先求. 注意 是分塊對角陣 9 123 123 4. , ( )(1,2,2)(2,1,2)(2,2,1) ( ) 1 0 1 2 1 2 3 3 2 (1) (2,3,3) P 3 已知一個基，及過渡矩陣，求另一基 設(shè)R ，未知基()： 已知基：， 又知基()到基的過渡矩陣為 求基( )， 02.5,五,p69 (2) 求在基( )下的坐標. 10 123123 123123 123 11232123313 1 12233123 1 1223 (1)( )( )( ,) ( ,) ( ,) ( ,) 431 ( ,)2 1 0 3 3 1 42333 (2), TT xxxx x x xxx P P LLL 1 解： 基基: 求基( ) ， 設(shè)，為所求坐標. 上式取轉(zhuǎn)置 3 7 5 123 23 5