八立體幾何第二十三講空間中點直線平面之間的位置關(guān)系答案文2010 2018高考真題分類

1、專題八立體幾何第二十三講 空間中點、直線、平面之間的位置關(guān)系答案部分AE與CD所成角等于相交直則 CE 1 , BC 2 ,1. C【解析】如圖，連接BE,因為AB / CD ,所以異面直線線AE與AB所成的角，即EAB .不妨設(shè)正方體的棱長為由勾股定理得BEJ5，又由AB 平面BCC1B1，可得ABBE ,所以tan EABBEAB昭，故選C.2/Z.iD,7D1A1ECBC12. A【解析】若mm / n ,由線面平行的判定定理知m /.若 m /不一定推出m /直線m與n可能異面，故“ m/ n ”是“ m /精品文檔5”的充分不必要條件.故選3. A【解析】由正方體的線線關(guān)系,易知B、

2、C、D 中 AB / MQ ,所以 AB/平面MNQ ,只有A不滿足.選A .4. C【解析】如圖，連結(jié)A1D，易知AD1平面 ADE ,所以 AD1 AE ,又 BG / AD1 ,所以BC1 平面ADE，故A,E BC1，選C.5. A【解析】因為過點A的平面 與平面CB1D1平行，平面ABCD /平面A1B1C1D1 ,所以m / B1D1 / BD，又AB /平面CB1D1,所以n / AB ,則BD與AB所成的角為所3求角，所以m , n所成角的正弦值為 、，選A.26. C【解析】選項A，只有當(dāng)m /時，m / l ；選項B,只有當(dāng)m 時 m / n ；9.選項C,由于l所以nl

3、；選項D，只有當(dāng)m /時，m n，故選C.B【解析】16y162 r 8得圓錐底面的半徑r所以米堆的體積2563205，所以堆放的米有991C【解析】二棱錐Vo ABC Vc OAB S/OAB h，其中h為點C到平面OAB的距離，而3底面三角形OAB時直角三角形，頂點r2h320-9-1.6222 斛.C到平面OAB的最大距離是球的半徑,11故Vo ABC Vc OAB S/OABh = 331 R336，其中R為球O的半徑,2所以R 6，所以球O的表面積S4 R2144 .D【解析】若直線h和|2是異面直線,h在平面 內(nèi)，l2在平面 內(nèi)，l是平面與平面的交線，則I至少與h , I2中的一條

4、相交,故選 A.10. B【解析】解法設(shè) ADC , AB2，則由題意知ADBD AD在空間圖形中,連結(jié) AB，設(shè)AB = t.在從DB中,cos ADBAB212 12 t22 t22A D DB過A作ANDC，過B作BM DC，垂足分別為N、M .過N作NP/MB，使四邊形BPNM為平行四邊形，則 NP DC ,連結(jié)A P,BP，則 A NP就是二面角ACD B的平面角，所以 ANP在 RtAAND 中，DNA D cos A DCcos , A NA D sin A DCsin同理，BM PN sin,DM cos，故 BP MN2cos顯然BP 平面ANP ,故 BP AP .在 Rt

5、AAB P 中，AP2AB BP2 t2(2cos )2 t24cos2在從 NP 中，cos cos ANP E NP? A 卩2A N NP11.12.13.14.15.222222sin sin (t 4cos ) _ 2 2cost2sin22si n22 t22sin 22cos.2sin12Sin2cos A DB cos2-sin所以 coscosADB2 Sin1 sin2ADB2 cos.2 sincos.2 sin所以cos cosA DB(當(dāng)=因為 ，ADB0,，而y所以 0 ,?時取等號），cosx在0,上為遞減函數(shù),時，ACB ，排除D ；當(dāng) 0時，ACB 0 ,【解

6、析】利用正方體模型可以看出，h與l4的位置關(guān)系不確定.選 D .【解析】選項 A,B,D中m均可能與平面平行、垂直、斜交或在平面內(nèi)，故選【解析】對于選項 A，若m/ ,n/ ,，則m與n可能相交、平行或異面， A錯誤；顯然選項B正確；對于選項 C,若m錯誤；對于選項D，若m/, m誤.故選B .【解析】作PH BC，垂足為H，設(shè)由余弦定理 AH J625 3x2 40巧,tanPHm n，則 n 或 n/, C則n/或n 或n與相交，D錯貝U CH Tsx ,PHtan PAH 空AHI尸（丄 0），陛40為3 x x2x也 時，tan取得最大值，最大值為1255/39B【解析】直線OP與平面

7、ABD所成的角為的取值范圍是2AOA1CQAi ,由于sinAOA遁3sin C1OA1逅逅速逅,sin 133332所以sin的取值范圍是16. D【解析】作正方形模型,為后平面,為左側(cè)面可知D正確.17. D【解析】A中m, n可能平行、垂直、也可能為異面；B中m,n還可能為異面；C中m應(yīng)與中兩條相交直線垂直時結(jié)論才成立，選D.18. B【解析】利用排除法可得選項B是正確的， I /，則.如選項A :I /,I /時，丄選項D :若丄,I丄B【解析】過點A作AEACE，從而有BDCIACCD時,因為BCADBC，因為BCAB1血BC，所選B.19.20. D【解析】對于，即與平面的./;選

8、項C:若 丄/ 或I丄BD，若存在某個位置，使得，計算可得BD與CE不垂直,AC丄 ,I / 或IBD，貝y BD 面A不正確；當(dāng)翻折到CD，所以CD 面ABC，從而可得 AB CD ;若CD，所以BC 面ACD，從而可得BC AC，而，故 C不正確；同理，D也不正確，故D,若平面平面，則平面內(nèi)的某些直線可能不垂直于平面的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面內(nèi)，其余選項易知均是正確21. D【解析】兩平行直線的平行投影不一定重合，故A錯；由空間直線與平面的位置關(guān)系精品文檔722. 8【解析】由題意畫出圖形，如圖,C設(shè)AC是底面圓0的直徑，連接SO，則SO是圓錐的高，設(shè)圓錐的母線長為則由SA SB,

9、SAB的面積為8，得丄！228，得 I 4，在 Rt ASO 中,由題意知 SAO30，所以SO -l2AO 也 273 .2故該圓錐的體積VAO2 SO(273)2 2 8 .23.【解析】因為APCPAC 4 ,O為AC的中點，所以O(shè)P丄AC，且OP 2品.精品文檔19且OB丄AC ,由 OP2 OB2由OP丄OB ,OP丄AC知PO丄平面ABC .連結(jié)OB .因為AB BC AC，所以ABC為等腰直角三角形,21OB -AC 2. 2PB2知，OP 丄 OB .作CH丄OM，垂足為H 又由可得OP丄CH，所以CH丄平面POM .故CH的長為點C到平面POM的距離.由題設(shè)可知0CIac2

10、, CM2bc4近233所以0M2翻,CH0C MC sinACB3OM所以點C到平面P0M的距離為4亦524.【解析】 由題設(shè)知，平面 CMD丄平面ABCD，交線為CD .ACB 45 -4/55因為BC丄CD , BC 平面ABCD，所以BC丄平面CMD，故BC丄DM .因為M為Cd上異于C , D的點，且DC為直徑，所以 DM丄CM .又BC I CM =C，所以DM丄平面BMC .而DM 平面AMD，故平面AMD丄平面BMC .當(dāng)P為AM的中點時，MC /平面PBD .證明如下：連結(jié) AC交BD于0 因為ABCD為矩形，所以0為AC中點.連結(jié)0P，因為P為AM 中點，所以MC / 0P

11、 .MCC25【解析】/ PA PD，且 E 為 AD 的中點， PE AD .底面ABCD 為矩形， BC/ AD , PEBC .平面PBD , 0P 平面PBD，所以MC /平面PBD .底面ABCD為矩形， AB AD .平面PAD 平面ABCD , AB 平面PAD . AB PD .又 PA PD ,/ PD 平面PAB,.平面PAB 平面PCD .如圖，取PC中點G，連接FG,GD ./ F,G 分別為 PB 和 PC 的中點， FG / BC，且 FG - BC . 2四邊形 ABCD為矩形，且 E為AD的中點,1- ED/ BC,DE -BC ,2 ED / FG，且ED F

12、G，四邊形EFGD為平行四邊形, EF / GD .又EF 平面PCD , GD 平面PCD , EF / 平面 PCD .26.【解析】（1）由平面ABC丄平面ABD，平面ABC n平面ABD = AB , AD丄AB ,可得AD丄平面ABC，故AD丄BC .取棱AC的中點N，連接MN , ND 又因為 M為棱AB的中點，故 MN /BC .所以 DMN （或其補角）為異面直線 BC與MD所成的角.1，故 DM Jad2 am 2 =713.因為AD丄平面ABC ,故AD丄AC .在 Rt DAN 中，AN1，故 DN Jad2 an2=7T3 .在 Rt DAM 中，AM1tMN在等腰三角

13、形DMN中,MN 1，可得 cos DMN 2DM 26所以，異面直線 BC與MD所成角的余弦值為 亟26連接CM .因為 ABC為等邊三角形， M為邊AB的中點，故CM丄AB ,27.【證明】(1)在平行六面體ABCD ABQD 中,AB / AB -因為AB 平面ABiC,A1 Bi平面 ARC ,所以AB /平面AB1C .(2)在平行六面體ABCDABiCiDi中，四邊形 ABBiA為平行四邊形.CMJ3 又因為平面ABC平面ABD ,而CM 平面ABC ,故CM平面ABD .所以，CDM為直線CD與平面ABD所成的角在RtCAD 中，CDJac2AD24 .在RtCMD 中，sinC

14、DMCM73CD4 所以，直線CD與平面ABD所成角的正弦值為734又因為AAi AB，所以四邊形 ABBiAi為菱形,因此ABj丄AB .又因為 AB,丄 B1C1 , BC / B1C1 , 所以ABBC .又因為AB I BC= B，AiB 平面ABC，BC 平面ABC , 所以AB平面ABC .因為AB, 平面ABB1A1 ,所以平面ABB1A1丄平面A1BC .28.【解析】（1）由 AB 2 , AAi 4 , BBi2 , AA1 AB , BB1 AB 得AR A1B1 2貶,所以 A1B12 AB12AA2.故AB1ABi .由BC2 , BB12, CC11 , BB1BC

15、 , CCi BC 得 BiCi 75 ,由ABBC 2 ,ABC 120 得 AC由CC1AC，得 AG辰，所以 AB2 BQ： AC12，故 AB1 B1C1 .因此AB1 平面AiB1C1 .如圖，過點G作GDA1B1，交直線A1B1于點D，連結(jié)AD .CC1由AB1平面A1B1C1得平面A1B1C1平面ABB1， 由 C1D ABi 得 CQ 平面 ABB1，所以 GAD是AG與平面ABB1所成的角.由 B1C1 45, A1B1 2 血,AC1 721/6 1得 cos C1 A| B1, sin C1 A| B1 ,V741所以C1D昭，故sin C1AD C1。爐AG13因此，直

16、線ACi與平面ABBi所成的角的正弦值是4397329.【解析】（1）在平面ABCD內(nèi)，因為 BADABC 90，所以 BC / AD ,又BC 平面PAD ,AD 平面PAD，故BC /平面PAD .（2）取AD的中點M1，連結(jié) PM , CM .由 AB BC -AD 及 BC / AD ,ABC 90得四邊形ABCM正方形，則CM AD .PAD I 平面 ABCD =因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面 ABCD，平面AD，所以PM AD , PM 底面ABCD .因為CM底面ABCD，所以PMPD 2x 取 CD 的BC x，貝U CM x , CD 72x , PM yf3x ,

17、 PC中點N，連結(jié)PN，貝y PN CD，所以PN414x .2因為 PCD的面積為 2厲 ,所以-J2x2血X 247，解得x 2 （舍去），2x 2 于是 AB BC 2 , AD 4, PM所以四棱錐P ABCD的體積V 1 22330.【解析】（1）取AC的中點0連結(jié)DO , BO .因為AD CD，所以AC丄DO .又由于 ABC是正三角形，所以 AC丄BO.從而AC丄平面DOB，故AC丄BD.(2)連結(jié)EO .由（1）及題設(shè)知在Rt AOB中,ADC 90，所以 DO AO .BO2 AO2 AB2.又AB BD ,所以BO2 DO2 BO2 AO2 AB2 BD2，故 DOB 9

18、0.1由題設(shè)知 AEC為直角三角形，所以 EO -AC .21 AB BD ,所以 EO -BD .2又ABC是正三角形，且故E為BD的中點，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的-，四面2體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的1，即四面體 ABCE與四面體 ACDE的2體積之比為1:1.31.【解析】（I）如圖，由已知AD/BC，故DAP或其補角即為異面直線 AP與BC所成的因為AD丄平面PDC ,所以AD丄PD .在Rt PDA中，由已知，得APTADPd275, 故 cos DAPADAP所以,異面直線 AP與BC所成角的余弦值為又A1E 平面ABCD , BD 平面ABCD

19、 ,（n）證明：因為AD丄平面P DC,直線PD 平面P DC,所以AD丄PD.又因為BC/AD ,所以PD丄BC,又PD丄PB,所以PD丄平面 PBC .（川）過點D作AB的平行線交BC于點F，連結(jié)PF,貝y DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.因為PD丄平面PBC,故PF為DF在平面PBC上的射影，所以 DFP為直線DF和平面PBC所成的角.由于 AD /BC, DF/AB，故 BF=AD=1，由已知，得 CF=BC - BF=2 .又 AD 丄 DC，故BC丄 DC ,在 Rt DCF 中，可得 DF JCDCF 2J5,在 Rt DPF 中，可得sin DFP 竺DF

20、 5所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為 並532.【解析】（I）取BiDi中點Oi,連接COi , AQ ,由于ABCD A| B1C1 Di為四棱柱，所以 AOi / OC , AQ OC , 因此四邊形AOCO1為平行四邊形， 所以 AO / O1C ,又 OiC面 BiCDi, AO 平面 BiCDi,所以AiO /平面BiCDi,(n)v AC BD . E , M分別為AD和OD的中點, EM BD ,精品文檔23所以AiE BD ,AiEBl Di , B1D1 / BD，所以 EMB1D1 ,又 AiE , EM 平面 AEM , AE IEM E ,所以B1D1 平面A

21、EM,又 BiDi平面 BiCDi,所以平面AEM 平面BCDi .33.【解析】（I）因為PA AB , PABC，所以PA 平面ABC ,又因為BD 平面ABC，所以PABD .C（n）因為AB BC , D為AC中點，所以BD AC ,由（I）知，PA BD，所以BD 平面PAC .所以平面BDE 平面PAC .（川）因為PA/平面BDE，平面PAC I平面BDEDE ,所以 PA / DE .因為D為AC的中點，所以DE-PA 1 , BD DC 72 .2由（I）知，PA 平面ABC ,所以DE平面ABC .所以三棱錐E BCD的體積V-SS DBC3DE -BD DC DE634.

22、【解析】（I）如圖，設(shè) PA中點為F，連結(jié)EF, FB.因為E, F分別為PD,PA中點，所以EF / AD且EF - AD , 2又因為BC / AD , BC12 ad，所以EF / BC 且 EF=BC ,即四邊形BCEF為平行四邊形，所以 CE / BF ,因此CE /平面PAB.(n)分別取 BC, AD的中點為 M, N .連結(jié)PN交EF于點Q,連結(jié) MQ .因為E, F , N分別是PD, PA, AD的中點，所以 Q為EF中點,在平行四邊形 BCEF中，MQ / CE .由PAD為等腰直角三角形得PN 丄 AD .由DC丄AD, N是AD的中點得BN 丄 AD .所以 AD丄平

23、面PBN ,由BC/ AD得 BC丄平面 PBN,那么，平面 PBC丄平面 PBN .過點Q作PB的垂線，垂足為 H，連結(jié)MH .MH是MQ在平面PBC上的射影，所以/ QMH是直線CE與平面PBC所成的角.設(shè) CD=1 .在 PCD 中，由 PC=2, CD=1 , PD=v2得 CE=v2,在MBN 中，由 PN =BN=1 , PB= v3得 QH1 -在 Rt MQH 中，QH - , MQ = v2,4所以 sin QMH 8所以，直線CE與平面PBC所成角的正弦值是 835.【解析】證明：（1）在平面ABD內(nèi)，因為AB AD , EF AD，所以EF / AB.又因為EF 平面AB

24、C , AB 平面ABC，所以EF /平面ABC .(2)因為平面ABD丄平面BCD ,平面ABD I 平面 BCD = BD ,BC平面 BCD , BC BD ,所以BC 平面ABD .因為AD 平面ABD，所以BC AD .又 AB AD , BCI AB B , AB 平面 ABC ,BC 平面ABC ,所以AD丄平面ABC ,又因為AC 平面ABC ,所以AD AC .36.【解析】（1）由正棱柱的定義， CC1 平面ABCD ,所以平面A1ACC1 平面ABCD , CC1記玻璃棒的另一端落在 CC1上點M處.因為 AC 10仃,AM 40 .所以MN 丿402 （10切230，從

25、而sin MAC記AM與水平的交點為 p，過p作RQ1AC ,Qi為垂足,精品文檔25RQi則 RQ1 平面 ABCD，故 PQ112 ,從而AP s16.答：玻璃棒I沒入水中部分的長度為 16cm.（如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為24cm）C第1聯(lián)1)題)(第I盤(2)題)(2)如圖，O , Oi是正棱臺的兩底面中心.由正棱臺的定義， OO1丄平面 EFGH , 所以平面EiEGG丄平面EFGH , 00EG .同理，平面 ErEGG!丄平面 E-i F-iG! H1, OO-i 丄 E1G1.記玻璃棒的另一端落在GG上點過G作GK丄EiGi , K為垂足，則 GK

26、=00i =32.因為 EG = 14, E1G1 = 62,所以 KG1 = 62 1424 ,從而GGJkG： GK2 J242 32240.設(shè)/ EGG1,/ ENG,則 sinsin( / KGG1)2cos/ KGG1因為一2，所以cos在 ENG中，由正弦定理可得40sin，解得sin sin725因為0-，所以cos22425于是 sin / NEG sin()sin( ) sin coscos sinBED所成角.過點A作AH DE于點H，連接BH，又因為平面BED 平面4 24373 () 5 255255記EN與水面的交點為 P2，過P2作F2Q2 EG ,Q2為垂足，則

27、P2Q2丄平面P2Q2EFGH，故 P2Q2=12，從而 EP2=/sin / NEG答:玻璃棒I沒入水中部分的長度為 20cm.20.（如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為20cm）精品文檔2937.【解析】（I）證明：因EF / BD，所以EF與BD確定一個平面，連接 DE，因為AE EC,E為AC的中點，所以DE AC ；同理可得BD AC，又因為BD DE D，所以 AC 平面 BDEF，因為 FB 平面 BDEF , AC FB .（n）設(shè)FC的中點為I，連GI,HI，在 CEF中，G是CE的中點，所以GI / EF，又 EF / DB ,HI / BC，又 GI

28、HI所以GI/DB ;在 CFB中，H是FB的中點，所以I，所以平面GHI /平面ABC，因為GH 平面GHI ,所以GH /平面ABC .B38.【解析】（I）證明：取BD的中點為0 ,連接OE,OG，在BCD中，因為G是BC的中點，所以 OG/DC且OG1 DC 1，又因為 EF/AB,AB/DC，所以EF/OG且EF OG，即四邊形OGFE是平行四邊形，所以FG/OE，又FG平面BED , OE 平面BED，所以FG /平面BED .（n）證明：在 ABD中，AD 1, AB 2, BAD 60，由余弦定理可BD （3 ,進而可得 ADB 90 ,即BD AD ,又因為平面 AED 平面

29、ABCD,BD 面ABCD ；平面AED 平面ABCD AD，所以BD 平面AED .又因為BD平面BED，所以平面BED 平面AED .（川）解：因為 EF / AB，所以直線EF與平面BED所成角即為直線 AB與平面AED ED，由(n)知 AH 平面BED，所以直線AB與平面BED所成角即 為 ABH 在 ADE中，AD 1, DE 3, AE 品，由余弦定理可得cos ADE -，所以 sin ADE3遁，因此 AH AD sin ADE ，在33Rt AHB 中,AHsin ABH AB逅，所以直線AB與平面BED所成角的正弦639.【解析】(I)因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所

30、以AB PD.CE，所以因為D在平面PAB內(nèi)的正投影為AB DE.所以AB 平面PED，故ABPG.又由已知可得，PAPB，從而G是AB的中點.(n)在平面PAB內(nèi),過點E作PB的平行線交PA于點F , F即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.理由如下：由已知可得PB PA , PB PC，又 EF /PB ,所以 EF PA ,EF PC,因此 EF平面PAC，即點F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.連接CG，因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D ,所以D是正三角形 ABC的中心.由(I)知，G是AB的中點，所以D在CG上,2故 CD -CG.3由題設(shè)可得PC 平面PAB ,DEPAB ,所以DE/PC ,因

31、此PE 2PG, DE PC.33由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA 6，可得 DE 2,PE W2.在等腰直角三角形 EFP中，可得EF PF 2.114所以四面體pdef的體積V-2 2 2-32340.解析】（I）由已知得，AC BD,AD CD ,又由 AE CF 得CL，故 AC/EF.AD CD由此得 EF HD,EF HD，所以 AC/HD .(n)由EF /AC得如DOAEAD由 AB 5,AC 6得 DOBOJab2 AO2 4.所以O(shè)H1,D H DH3.于是OD 2OH 2(2 72)2 129 D H2,故 OD OH.由（I）知AC HD，又 ACBD,BD I

32、 HD H ,所以AC平面BHD ,于是ACOD.又由ODOH,AC IOH O，所以,OD平面ABC.又由匡ACDH 得 efDO五邊形ABCFE的面積I2.S 1 62694所以五棱錐D ABCEF體積V2322精品文檔35241.【解析】（I）由已知得AM -AD 2 ,取BP的中點T ,連接AT, TN ,由N為PC3中點知 TN / BC , TN BC2又AD/BC，故TN平行且等于AM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN /AT .因為AT 平面PAB , MN平面PAB，所以MN /平面PAB .1-PA取BC的中點E ,連結(jié)AE .由AB AC 23得AEBC ,AE Ja

33、b2 be2 45.由AM / BC得M到BC的距離為J5，故S BCM1所以四面體N BCM的體積VN BCM 1 S bcm312PAT47542.【解析】(I)因為四邊形 ABCD為菱形，所以 ACBD，因為BE 平面ABCD，所以ACBE，故 AC平面BED .又AC 平面AEC，所以平面 AEC平面BED .(n)設(shè)AB = x，在菱形ABCD中,由 ABC =120可得 AG 二 GC = dx , GB2GD =-2因為AE EC，所以在RtAEC 中，可得 EG二 J3x .2由BE 平面ABCD，知AEBG為直角三角形,可得 BE二 .2-AC GD BE x32244631

34、由已知得，三棱錐 E ACD的體積VE ACD -3從而可得AE EC二ED=J6 .所以AAEC的面積為3, AEAD的面積與ECD的面積均為 J5 .故三棱錐E ACD的側(cè)面積為3+2 J5 .43.【解析】()交線圍成的正方形 EHGF如圖AA18.因（-也正確）.944.【解析】（I）設(shè)ACIBE由于E為AD的中點,ABO，連結(jié) OF, EC,所以 AE/BC, AEAB()作 EM AB，垂足為 M，則 AM AE 4，EB112，EM為EHGF為正方形，所以 EH EF BC 10.于是 MH JeH 2EM 2 6，AH 10， HB =6 .9因為長方形被平面分成兩個高為10的

35、直棱柱，所以其體積的比值為 -7因此四邊形 ABCE為菱形，所以 O為AC的中點，又F為PC的中點,因此在 PAC中，可得AP/OF .又OF 平面BEF，AP 平面BEF，所以AP /平面BEF .（n）由題意知，ED/BC,ED BC，所以四邊形BCDE為平行四邊形,因此BE/CD .又AP 平面PCD,所以AP CD，因此AP BE .因為四邊形ABCE為菱形，所以BE AC .又 AP I AC A，AP，AC 平面 PAC，所以 BE 平面 PAC .45.【解析】(I)T D ,E 為 P C , AC 中點， DE / PA,/ PA 平面 DEF，DE 平面 DEF， PA /

36、 平面 DEF，(n)v D ,E 為 PC , AC 中點， DE 2 PA 3， E ,F 為 AC ,AB 中點， EF 1 BC 4，- DE2 EF2 DF2， DEF 90， DE 丄 EF，/ DE/PA , PA AC， DE AC，/ AC I EF E， DE 丄平面 ABC，/ DE 平面BDE，平面 BDE丄平面 ABC .46.【解析】(I)連接BD交AC于點0,連結(jié)E0.因為ABCD為矩形，所以0為BD的中點。又E為PD的中點，所以 E0/ PB。E0 平面AEC, PB 平面AEC，所以PB/平面 AEC.AD, AP兩兩垂直.uuuAP為單位長，建立空間直角(n

37、)因為PA 平面ABCD, ABCD為矩形，所以 AB,uuu如圖，以A為坐標(biāo)原點， AB的方向為x軸的正方向,坐標(biāo)系A(chǔ) xyz,-1 uuuJ3 1則 D(0M,0),E(0,-2),AE (O,-,/設(shè) B(m,0,0)(m 0)，則 C(m,73,0), AC (mj3,0)設(shè)ri(x, y, z)為平面ACE的法向量,n-i則1uuu； 0,mx 軸 0,uuu 即 JoAE 0,y2iz 0,(d, 1,妁. m又r2(1,0,0)為平面DAE的法向量,由題設(shè)cosS，門2)-,即1，解得m因為E為PD的中點，所以三棱錐E ACD1的高為-.21精品文檔37三棱錐E ACD的體積V

38、-347. 【解析】(I)證明：如圖取 PB中點M，連接MF , AM.因為F為PC中點,精品文檔471故MF/BC且MF = BC.由已知有BC/AD, BC=AD .又由于E為AD中點,2為平行四邊形,因而 MF/AE且MF=AE，故四邊形 AMFE所以EF/AM，又AM平面PAB，而 EF平面PAB，所以EF/平面PAB.(n) (i)證明：連接PE,BE.因為FA=PD,BA=BD，而E為AD中點,故 PE AD, BE AD ,所以PEB為二面角P-AD-B的平面角.在三角形 PAD 中,由AD2,PA PD可解得PE=2 .在三角形ABD 中，由 BA BD，可解得 BE=1.在三

39、角形PEB 中, PE=2, BE=1 , PEB 60 ,由余弦定理，可解得 P b=73，從而PBE90，即 BE PB,又 BC/AD , BE AD，從而 BE BC ,因此BE 平面 PBC. 又 BE 平面 ABCD ,所以平面PBC 平面ABCD .(ii)連接BF，由(i)知BE 平面PBC.EFB為直線EF與平面PBC所成的角，由 PB=V3 , FA/5 , AB=72 得 ABP 為直角，而 MB = - PB=，可得 AM=2 2EFB匹刈EF 11所以故EFu11，又BE=1，故在直角三角形 EBF中，sin2所以直線EF與平面PBC所成角的正弦值為2用1148. 【

40、解析】(I)設(shè)點0為AC, BD的交點，由AB= BC, AD = CD，得BD是線段AC的中垂線.所以0為AC的中點，BD丄AC.又因為PA丄平面ABCD , BD 平面ABCD ,所以PA丄BD .所以BD丄平面APC .(n)連結(jié)OG.由可知OD丄平面APC,則DG在平面APC內(nèi)的射影為OG,所以/OGD是DG與平面APC所成的角.由題意得OG = PA =2 2在 ABC 中，ACaB2 BC2 2AB BC cos ABC = 2/3 ,1所以 OC = AC =2在直角 OCD中,OD = JcD2 OC2 = 2.在直角 OGD中,tan/OGD = OD 空3OG 3所以DG與

41、平面APC所成的角的正切值為(川)連結(jié)OG.因為PC丄平面BGD ,OG 平面BGD，所以PC丄OG.在直角 PAC中，得PC =715.所以GC =AC OCPC從而PG =所以PGGC49. 【解析】(I)由 AB是圓O的直徑，得 AC丄BC .由PA丄平面 ABC, BC 平面 ABC，得PA丄BC ,又 PAnAC =A, PA 平面 PAC, AC 平面 PAC,所以BC丄平面PAC .(n)連 OG并延長交 AC與M，鏈接QM , QO.由G為？AOC的重心，得由G為PA中點，得QM又O為AB中點，得OM因為 QM nMO = M , QM所以QG/平面PBC.50【解析】(I)因

42、為ABCBM為AC中點,/ PC./ BC.平面QMO .ABiG是直三棱柱，所以CCi平面ABC,又AD 平面ABC ,所以CC1 AD，又因為 AD DE,CC1,DE 平面 BCC1B1 , CC1 DE E,所以AD 平面BCC1B1，又AD 平面ADE，所以平面ADE 平面BCC1B1 .(n)因為AiBi AC1，F(xiàn)為B1C1的中點，所以AiF BiG .因為CCi平面AiBiCi，且AF平面ABG，所以CCi AiF.又因為CCi ,BiCi 平面 BCCiBi ,BiG Ci，所以 AiF 平面 BCCiBi，所以 AF/AD.又AD 平面ADE ,AiF 平面ADE，所以Ai

43、F /平面ADE .51.【解析】(I) AB 平面PAD , PH 面PADPH AB又 PH AD, AD I AB A PH 面 ABCD(n) E是PB中點點E到面BCF的距離h2ph三棱錐E BCF的體積1V S BCF h31 1-FC AD h3 24212(川)取PA的中點為G，連接DG, EG ,PDADDG PA,又AB 平面PAD 面PAD面PABDG 面 PAB ,點E,G是棱PB, PA的中點EG/1 AB, DF/-AB=2 =2EG/DFDG /EF ,得：EF 平面PAB .52.【證明】：（I）在FAD中，因為E、F分別為AP, AD的中點，所以 EF/PD

44、.又因為EF 平面PCD , PD 平面PCD ,所以直線EF/平面PCD .C(n)連結(jié) DB，因為 AB=AD, / BAD=60所以ABD為正三角形，因為 F是AD的中點，所以BF丄AD .因為平面 PAD丄平面 ABCD , BF 平面ABCD，平面 PAD 平面ABCD=AD ,所以BF丄平面PAD .又因為 BF 平面BEF，所以平面 BEF丄平面 PAD .53.【解析】法一：（I）證明：取AD中點G,連接PG, BG, BD .因PA= PD,有PG AD ,在 ABD中,ABAD 1, DAB60,有ABD為等邊三G ,所以AD平面PBGADP B,ADEF，而 DE/GB 得 ADDE,又FEDE E角形，因此又 PB/EF，得 ADBG AD,BG PG，所以ADGB.平面DEF。PGB為二面角(n) Q PG AD,BG AD ,PAD B的平面角,在 Rt PAG中,PG2 PA2 AG2在 Rt ABG中，BG=AB sin60O = cos PGBPG2 BG2 PB22 PG BG73-4442 &晅法二：（I）取AD中