應(yīng)變狀態(tài)分析

1、第三章 應(yīng)變狀態(tài)分析內(nèi)容介紹本章討論彈性體的變形，物體的變形是通過(guò)應(yīng)變分量確定的。因此，首 先確定位移與應(yīng)變分量的基本關(guān)系幾何方程。 由于應(yīng)變分量和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)都是通 過(guò)位移導(dǎo)數(shù)表達(dá)的， 因此必須確定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移與純變形位移的關(guān)系， 才能完全 確定一點(diǎn)的變形。對(duì)于一點(diǎn)的應(yīng)變分量，在不同坐標(biāo)系中是不同的。因此，應(yīng)變狀態(tài)分析 主要是討論不同坐標(biāo)軸的應(yīng)變分量變化關(guān)系。這個(gè)關(guān)系就是應(yīng)變分量的轉(zhuǎn)軸公 式；根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式，可以確定一點(diǎn)的主應(yīng)變和應(yīng)變主軸等。當(dāng)然，由于應(yīng)變分量 滿足二階張量變化規(guī)律，因此具體求解可以參考應(yīng)力狀態(tài)分析。應(yīng)該注意的問(wèn)題是變形協(xié)調(diào)條件，就是位移的單值連續(xù)性質(zhì)。假如位移 函數(shù)不是基本未知量

2、， 由于彈性力學(xué)是從微分單元體入手討論的， 因此變形后的 微分單元體也必須滿足連續(xù)性條件。 這在數(shù)學(xué)上， 就是應(yīng)變分量必須滿足變形協(xié) 調(diào)方程。在彈性體的位移邊界，則必須滿足位移邊界條件。二 . 重點(diǎn)1. 應(yīng)變狀態(tài)的定義：正應(yīng)變與切應(yīng)變；應(yīng)變分量與應(yīng)變張量；2. 幾何方程與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)；3. 應(yīng)變狀態(tài)分析和應(yīng)變分量轉(zhuǎn)軸公式；4. 應(yīng)變狀態(tài)特征方程和應(yīng)變不變量；主應(yīng)變與應(yīng)變主軸；5. 變形協(xié)調(diào)方程與位移邊界條件；知識(shí)點(diǎn)位移與變形 正應(yīng)變純變形位移與剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移 應(yīng)變分量坐標(biāo)轉(zhuǎn)軸公 式主應(yīng)變齊次方程組 體積應(yīng)變變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程證明多連域的變形協(xié)調(diào)變形與應(yīng)變分量切應(yīng)變 幾何方程與應(yīng)變張量位移增量的

3、分解 應(yīng)變張量 應(yīng)變狀態(tài)特征方程 變形協(xié)調(diào)的物理意義變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義3.1 位移分量與應(yīng)變分量 幾何方程學(xué)習(xí)思路 :由于載荷的作用或者溫度的變化， 物體內(nèi)各點(diǎn)在空間的位置將發(fā)生變化， 就是產(chǎn)生位移。 這一移動(dòng)過(guò)程， 彈性體將同時(shí)發(fā)生兩種可能的變化： 剛體位移和變形位移。 變形位移是與彈 性體的應(yīng)力有著直接的關(guān)系。彈性體的變形通過(guò)微分六面體單元描述，微分單元體的變形分為兩個(gè)部 分，一是微分單元體棱邊的伸長(zhǎng)和縮短； 二是棱邊之間夾角的變化， 分別使用正 應(yīng)變和切應(yīng)變表示這兩種變形的。由于是小變形問(wèn)題，單元變形可以投影于坐標(biāo)平面分析。根據(jù)正應(yīng)變和切應(yīng)變定義，不 難得到應(yīng)變與位移的關(guān)系幾何方程，

4、或者稱為柯西方程。幾何方程給出的應(yīng)變通常稱為工程應(yīng)變。 幾何方程可以表示為張量形式， 應(yīng)該注意的是， 正應(yīng)變與對(duì)應(yīng)應(yīng)變張量分量相等； 而切應(yīng)變等于對(duì)應(yīng)的應(yīng)變張量 分量的兩倍。幾何方程給出了位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1. 位移函數(shù) ； 2. 變形與應(yīng)變分量 ； 3. 正應(yīng)變表達(dá)式 ；4. 切應(yīng)變分量 ； 5. 幾何方程與應(yīng)變張量 。由于載荷作用或者溫度變化等外界因素等影響，物體內(nèi)各點(diǎn)在空間的位置將發(fā)生變化， 即產(chǎn)生位移。這個(gè)移動(dòng)過(guò)程，彈性體將可能同時(shí)發(fā)生兩種位移變化。第一種位移是位置的改變，但是物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)仍然保持初始狀態(tài)的相 對(duì)位置不變，這種位移是物體在空間做剛體運(yùn)動(dòng)引起的，因

5、此稱為 剛體位移 。第二種位移是彈性體形狀的變化， 位移發(fā)生時(shí)不僅改變物體的絕對(duì)位 置，而且改變了物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位置， 這是物體形狀變化引起的位移， 稱 為變形。一般來(lái)說(shuō)，剛體位移和變形是同時(shí)出現(xiàn)的。當(dāng)然，對(duì)于彈性力學(xué)，主要 是研究變形，因?yàn)樽冃魏蛷椥泽w的應(yīng)力有著直接的關(guān)系。根據(jù)連續(xù)性假設(shè)， 彈性體在變形前和變形后仍保持為連續(xù)體。 那么彈性體中某點(diǎn)在變形過(guò)程 中由 M（x， y， z）移動(dòng)至 M （ x， y， z），這一過(guò)程也將是連續(xù)的 ,如圖所示。在數(shù)學(xué)上 ，x，y，z 必為 x，y，z的單值連續(xù)函數(shù)。設(shè) MM= S 為位移矢量，其三個(gè)分量 u，v，w 為位移分量。則u=x（x，y，

6、z）-x=u（x，y，z）v=y（x，y，z）-y=v（x，y，z）w=z（x，y，z）-z=w（x，y，z）顯然，位移分量 u，v，w 也是 x，y，z 的單值連續(xù)函數(shù)。以后的分析將進(jìn)一步假定位移函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。為進(jìn)一步研究彈性體的變形情況， 假設(shè)從彈性體中分割出一個(gè)微分六面體單元， 其六個(gè)面分別與三個(gè)坐標(biāo)軸垂直。對(duì)于微分單元體的變形，將分為兩個(gè)部分討論。一是微分單元體棱邊的 伸長(zhǎng)和縮短；二是棱邊之間夾角的變化。 彈性力學(xué)分別使用 正應(yīng)變和切應(yīng)變 表示 這兩種變形的。對(duì)于微分平行六面體單元，設(shè)其變形前與 x， y，z坐標(biāo)軸平行的棱邊分 別為 MA，MB，MC，變形后分別變?yōu)?MA，MB

7、 ，MC 。假設(shè)分別用 x y z表示 x，y，z 軸方向棱邊的相對(duì)伸長(zhǎng)度，即正應(yīng)變；分別用 xy yz zx表示 x 和 y，y 和 z，z和 x 軸之間的夾角變化，即切應(yīng)變。則Oxy,Oyz,Ozx 平面來(lái)討對(duì)于小變形問(wèn)題，為了簡(jiǎn)化分析，將微分單元體分別投影到論。顯然，單元體變形前各棱邊是與坐標(biāo)面平行的，變形后棱邊將有相應(yīng)的 轉(zhuǎn)動(dòng)，但我們討論的是小變形問(wèn)題， 這種轉(zhuǎn)動(dòng)所帶來(lái)的影響較小。 特別是物體位 移中不影響變形的計(jì)算，假設(shè)各點(diǎn)的位移僅為自身的大小和形狀的變化所確定， 則這種微分線段的轉(zhuǎn)動(dòng)的誤差是十分微小的， 不會(huì)導(dǎo)致微分單元體的變形有明顯 的變化。首先討論 Oxy 面上投影的變形設(shè) m

8、a，mb分別為 MA，MB 的投影， ma，mb分別為 MA ，MB，即 變形后的 MA，MB 的投影。微分單元體的棱邊長(zhǎng)為 dx，dy，dz，M 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ x，y，z）， u（x， y，z）， v（x, y, z）分別表示 M 點(diǎn) x，y 方向的位移分量。則 A 點(diǎn)的位移為 u（x+dx，y，z），v（x+dx，y，z）, B 點(diǎn)的位移為 u（x， y+dy，z），v（x，y+dy，z）。按泰勒級(jí)數(shù)將 A，B 兩點(diǎn)的位移展開(kāi)，并且略去二 階以上的小量，則 A，B 點(diǎn)的位移分別為因?yàn)樗酝砜傻糜纱丝梢缘玫綇椥泽w內(nèi)任意一點(diǎn)微分線段的相對(duì)伸長(zhǎng)度，即正應(yīng)變。顯然微分線段伸長(zhǎng)，則正應(yīng)變 x, y

9、, z 大于零，反之則小于零。 以下討論切應(yīng)變表達(dá)關(guān)系。假設(shè) yx為與 x軸平行的微分線段 ma向y 軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度， xy為與 y軸平 行的 mb向 x 軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。則切應(yīng)變因?yàn)樯鲜降耐茖?dǎo)中，利用了小變形條件下位移的導(dǎo)數(shù)是高階小量的結(jié)論。同 理可得yx和 xy可為正或?yàn)樨?fù)，其正負(fù)號(hào)的幾何意義為： yx大于零，表示位移 v 隨 坐標(biāo) x 而增加，即 x 方向的微分線段正向向 y 軸旋轉(zhuǎn)。將上述兩式代入切應(yīng)變表 達(dá)式，則同理可得切應(yīng)變分量大于零，表示微分線段的夾角縮小，反之則增大綜上所述，應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系為上述公式稱為 幾何方程 ，又稱柯西方程。柯西方程給出了位移分量和應(yīng)變分量之間的

10、關(guān)系。如果已知位移，由位 移函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)即可求得應(yīng)變； 但是如果已知應(yīng)變， 由于六個(gè)應(yīng)變分量對(duì)應(yīng)三個(gè) 位移分量，則其求解將相對(duì)復(fù)雜。 這個(gè)問(wèn)題以后作專門討論。幾何方程給出的應(yīng)變通常稱為工程應(yīng)變。如果使用張量符號(hào)，則幾何方程可以表達(dá)為上式表明應(yīng)變分量 ij 將滿足二階張量的坐標(biāo)變換關(guān)系， 應(yīng)變張量分量與 工程應(yīng)變分量的關(guān)系可表示為3.2 純變形位移與剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移學(xué)習(xí)思路 :應(yīng)變分量通過(guò)位移的偏導(dǎo)數(shù)描述了一點(diǎn)的變形，對(duì)微分平行六面體單元 棱邊的伸長(zhǎng)以及棱邊之間夾角的改變做出定義。 但是這還不能完全描述彈性體的 變形，原因是沒(méi)有考慮微分單元體的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。通過(guò)分析彈性體內(nèi)無(wú)限鄰近兩點(diǎn)的位置變化，則可得

11、出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)位移 與純變形位移之間的關(guān)系。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)分量描述。剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移的物理意義：如果彈性體內(nèi)某點(diǎn)沒(méi)有變形，則無(wú)限鄰近它 的任意一點(diǎn)的位移由兩部分組成， 平動(dòng)位移和轉(zhuǎn)動(dòng)位移。 如果發(fā)生變形， 位移中 還包括純變形位移。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1. 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移 ； 2. 轉(zhuǎn)動(dòng)位移分量 ； 3. 純變形位移與 轉(zhuǎn)動(dòng)位移 ；4. 位移的分解 。應(yīng)變可以描述一點(diǎn)的變形， 即對(duì)微分平行六面體單元棱邊的伸長(zhǎng)以及棱邊之 間夾角的改變做出定義。 但是這還不足以完全描述彈性體的變形， 原因是應(yīng)變分 析僅僅討論了棱邊伸長(zhǎng)和夾角變化， 而沒(méi)有考慮微分單元體位置的改變， 即單元 體的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。通過(guò)分析彈性體內(nèi)無(wú)限鄰近兩

12、點(diǎn)的位置變化，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)位移 與純變形位移之間的關(guān)系。設(shè) P 點(diǎn)無(wú)限鄰近 O 點(diǎn)，P 點(diǎn)及其附近區(qū)域繞 O 作剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過(guò)微小角度。設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)矢量為 ，OP 之間的距離矢量為 ，如圖所示。則引入拉普拉斯算符矢量設(shè) P 點(diǎn)的位移矢量為 U ，有U =ui +uj +uk 由于位移矢量可以表示為 U = , 所以即其中x, y, z 為轉(zhuǎn)動(dòng)分量，是坐標(biāo)的函數(shù)，表示了彈性體內(nèi)微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)。 設(shè) M 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ x，y，z），位移（ u，v，w）。與 M 點(diǎn)鄰近的 N 點(diǎn)，坐標(biāo)為（ x+dx， y+d y， z+dz）， 位移為（ u+du， v+dv，w+dw）。則 MN 兩點(diǎn)的相對(duì)位移為（ du，dv， dw）。因?yàn)槲灰茷樽鴺?biāo)的函數(shù)，所 以同理可得以上位移增量公式中，前三項(xiàng)為產(chǎn)生變形的純變形位移，后兩項(xiàng)是某點(diǎn)鄰近區(qū)域的材料繞該點(diǎn)像剛體一樣轉(zhuǎn)動(dòng)的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移。剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移的物理意義為， 如果彈性體中某點(diǎn)及鄰近區(qū)域沒(méi)有變形， 則與某點(diǎn)無(wú)限鄰近這一點(diǎn)的位移， 根據(jù)剛體動(dòng)力學(xué)可知， 是由兩部分組成。 分別 是隨這點(diǎn)的平動(dòng)位移和繞這點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)位移。 對(duì)于彈性體中某一點(diǎn)， 一般還要發(fā)生 變形，因此位移中還包括純變形位移。總得來(lái)講，與 M 點(diǎn)無(wú)限鄰近的 N 點(diǎn)的位移由三部分組成的：1 隨同 M 點(diǎn)作平動(dòng)位移。2 繞M 點(diǎn)作剛性轉(zhuǎn)動(dòng)在 N 點(diǎn)產(chǎn)生