齊次微分方程

1、第二講 一階微分方程教學(xué)內(nèi)容】齊次微分方程、一階線性微分方程教學(xué)目的】理解齊次微分方程的概念， 掌握齊次微分方程、 一階線性微分方程的解法?！窘虒W(xué)重點與難點】齊次微分方程、一階線性微分方程的解法【 教學(xué)過程 】一、齊次微分方程：形如dy f ( y) 的微分方程；叫做齊次微分方程 dx x對它進行求解時，只要作變換 u y 原方程便化為可分離變量的微分方程來求解。 x于是有 y ux, ddyxu xdu ，從而原方程可化為 dxduu x fdx(u)即 du f(u) u dx xu 還原此方程是可分離變量的微分方程。按可分離變量微分方程的解法，求出方程的通解，再將變量 為 y ，所得函數(shù)

2、就是原方程的通解。x例1、 求微分方程 (x2 y2)dx 2xydy ，滿足初始條件 y x 1 0的特解。解： 方程可化為dy x2 y2 dx 2xy1 (xy)2x2(yx)x它是齊次方程。令 u y ，代入整理后，有x分離變量，則有du 1 u2dx 2xuu12 du dx兩邊積分，1 u22x得1 2 1 1( 21 )ln(1 u2) (21)ln x ( 12)ln ccx(1 u2) 1將 u y 代入上式，于是所求方程的通解為 x把初始條件 yc(x2 y2) x2x 1 0代入上式，求出 c 1，故所求方程的特解為22yxx二、一階線性微分方程形如y P(x)y Q(x

3、)的方程稱為一階線性微分方程，其中 P(x)、Q(x) 都是連續(xù)函數(shù)。當 Q( x) = 0 時，方程y P(x)y 0 稱為一階線性齊次微分方程； 當 Q(x) 0 ，方程稱為一階線性非齊次微分方程。1. 一階線性齊次微分方程的解法將方程y P(x)y 0分離變量得dyP(x)dxy兩邊積分得ln y P(x)dx lnC方程的通解為P(x)dxy Ce( C 為任意常數(shù) )例2 、 求微分方程 y 2xy 0的通解。 解法 1(分離變量法) 所給方程是一階線性齊次方程變量分離得 dy2xdx兩邊積分得 ln y x2 C1即 y e x2 C1令CeC1方程的通解為2x y Ce解法 2(

4、公式法)將 P( x) =2 x 代入通解公式，得通解P(x)dx 2xdxx2y Ce Ce Ce2. 一階線性非齊次微分方程的解法非齊次方程與齊次方程的差異僅是方程右邊的項Q( x) 。從齊次方程的通解CeP(x)dx的結(jié)構(gòu)及導(dǎo)數(shù)運算的規(guī)律 , 我們有理由推測非齊次方程的解形如y C(x)e P(x)dx(C(x)是關(guān)于 x 的函數(shù))代入非齊次方程，得C(x)Q(x)e P( x )dxdx C一階非齊次線性方程通解的公式為：P(x)dx P(x)dx y e Q(x)e dx C 或y Ce P(x)dx e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx齊次方程非齊次方程的通解的特解y C

5、e P(x)dx e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx齊次方程非齊次方程的通解的特解上述求解方法稱為常數(shù)變易法 . 用常數(shù)變易法求一階非齊次線性方程通解的步驟為：(1) 先求出非齊次線性方程所對應(yīng)的齊次方程的通解；(2) 利用常數(shù)變易法設(shè)出非齊次線性方程的一個特解；(3) 將所設(shè)特解代入非齊次線性方程，解出C(x) ，寫出非齊次線性方程的通解例 3、求微分方程 2y yex的通解 .解法 1(常數(shù)變易法)原方程變形為1 1 xy 2 y 2e對應(yīng)的齊次方程為得通解為y設(shè)原方程的解為Ce P(x)dxCe11dxCexC(x)e21x2C (x)e2化簡得 C (x)1x2e從而11x

6、x21 2y C (x)e22 C(x)e2代入原方程得11xx1 2 1 2 1 x2C(x)e22C(x)e2 2 e兩邊積分，得C(x)e2所以，原方程的通解1x2 y C(x)eCe2解法 2(用公式法)P(x)12 ,Q(x)1x2e把它們代入公式得ye1( 2)dx12exe 12 dxdx Ce2( 12ex e22dx C)xx22 e2 (e2C)例 4、已知曲線過點( 0，0)，且該曲線上任意點 p( x，y)處的切線的斜率為該點的橫坐標與縱坐標之和，求此曲線方程。解法 1 (采用常數(shù)變易法求解) 設(shè)所求的曲線方程為 y=y(x)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義有y x y即yyx初始條件為下 y(0) 0由 y y 0 分離變量并積分，得xy ce令 y u(x)ex，則y u(x) ex (u) x ex ，把y，y 代入方程中，于是有u (x) xe x兩端積分后，得u(x) (x 1)e x c (c 為任意常數(shù))將上式代入 y u(x)ex ，從而方程的通解為y cex (x 1)再把初始條件 y(0) 0 代入上式，解出 c=1，因此方程的特解為xy e x 1這就是所求的曲線方程。解法 2 (采用公式法求解) 原方程中的 p(x)1 ，q(x) x ，把