初中數學教學觀摩研討會

1、初中數學教學觀摩研討會 中考復習：中考復習： 關注核心知識，關注核心知識， 整合整合 復習內容，復習內容， 積累數學經驗，積累數學經驗， 發(fā)展數學能力發(fā)展數學能力. . 初中數學教學觀摩研討會 關注課程標準的基本要求 w基礎知識； w基本技能； w基本數學思想方法； w基本數學活動經驗； 初中數學教學觀摩研討會 w在課程標準要求范圍內遴選初中數學在課程標準要求范圍內遴選初中數學 核心內容作為考查學生各種能力的知識載核心內容作為考查學生各種能力的知識載 體，體現(xiàn)其科學性。體，體現(xiàn)其科學性。 數與代數 數與式 方程與 不等式 函數 初中數學教學觀摩研討會 科學性科學性 w數與代數領域：數與代數領域

2、： 是表示、交流與解決問題的是表示、交流與解決問題的 工具；工具； 考查應關注模型、表示與計考查應關注模型、表示與計 算算 初中數學教學觀摩研討會 “數與式”的表達功能 w例1.如下圖是測量一顆玻璃球體積的過程： （1）將300ml的水倒進一個容量為500ml的杯子中； （2）將四顆相同的玻璃球放入水中，結果水沒有滿； （3）再加一顆同樣的玻璃球放入水中結果水滿溢出 根據以上過程，推測這樣一顆玻璃球的體積在（ ） w20cm3以上，30cm3以下 30cm3以上，40cm 3以下 w40cm3以上，50cm3以下 50cm3以上，60cm 3以下 初中數學教學觀摩研討會 w此類試題結合具體實際

3、情境和直觀圖示，考此類試題結合具體實際情境和直觀圖示，考 查了學生列式表達數量及將現(xiàn)實情境轉化為查了學生列式表達數量及將現(xiàn)實情境轉化為 不等關系的能力而這種列式表達數量或將不等關系的能力而這種列式表達數量或將 現(xiàn)實情境實現(xiàn)數學化的過程，基本是這樣幾現(xiàn)實情境實現(xiàn)數學化的過程，基本是這樣幾 種情況：種情況： w 一般的文字描述的現(xiàn)實情境；一般的文字描述的現(xiàn)實情境； w 一般的純數學的代數意義的數學情境；一般的純數學的代數意義的數學情境； w 一般直觀圖示表述的現(xiàn)實情境；一般直觀圖示表述的現(xiàn)實情境； w 一般的純幾何圖形中的需要量化描述的幾一般的純幾何圖形中的需要量化描述的幾 何情境。何情境。 初中

4、數學教學觀摩研討會 w從知識的整體結構層面看“方程與不等方程與不等 式式”，不僅是初中數學的核心內容之一，也 是進一步學習函數和解決幾何問題中數量關 系的常用工具； 初中數學教學觀摩研討會 w從數學能力的層面看，“方程與不等式”是 培養(yǎng)學生能力的有效載體，比如，通過建立 方程模型，學生的分析問題的能力、抽象概 括能力、符號表達能力等都會得到相應的發(fā) 展； w從思想與方法的層面看，在解和用方程的過 程中，還能進一步地強化“方程思想”、 “化歸思想”及“消元降次”、“換元”等 方法，能很好地提高學生的數學思考能力和 數學思維品質 初中數學教學觀摩研討會 例2我國古代的“河圖”是由33的方格構 成，

5、每個方格內均有數目不同的點圖，每一行、 每一列以及每一條對角線上的三個點 圖的點數之和均相等圖中給出了 “河圖”的部分點圖，請你推算出P 處所對應的點圖是（ ） P AB DC 初中數學教學觀摩研討會 此類例題有的以語言敘述方式給出量的關系，例題有的以語言敘述方式給出量的關系， 有的以圖形方式隱性地給出了量的關系，二有的以圖形方式隱性地給出了量的關系，二 者都含有未知量的相等或不等關系，均只需者都含有未知量的相等或不等關系，均只需 列出對應的方程或不等式即可解需要指出列出對應的方程或不等式即可解需要指出 的是：這種隱含有相關數量關系的試題，雖的是：這種隱含有相關數量關系的試題，雖 然其解法中也

6、包含有直接試驗或推測獲得問然其解法中也包含有直接試驗或推測獲得問 題解的方法，但其實質還是方程問題的相關題解的方法，但其實質還是方程問題的相關 求解，這樣的考法常常能更好地考查學生的求解，這樣的考法常常能更好地考查學生的 方程意識，以及運用方程思想解決問題的能方程意識，以及運用方程思想解決問題的能 力，值得引起重視力，值得引起重視 初中數學教學觀摩研討會 還有一類試題 常見的“方案決策類”試題，其所考查的內容和 思想方法是非常重要的，其考查目的也是一般的方 程與不等式題目所不能完全體現(xiàn)的，具有一定的獨 特性在多數情況下，解這種試題要以“方程和不 等式”作為解決問題的工具，且由于題中含有由 “不

7、確定”中找確定的因素，所以關聯(lián)了方程與不 等式等數學模型的建立與應用一般地，確定一個 量的值的問題基本上都可以轉化為方程問題，而要 確定一個量的范圍的問題，往往要轉化為不等式的 問題因而，這種考法對分析問題的能力和“方程 與不等式”思想意識的考查力度都很強 初中數學教學觀摩研討會 w19.（本題滿分（本題滿分8分）分） w為了美化校園環(huán)境，建設綠色校園，某學校為了美化校園環(huán)境，建設綠色校園，某學校 準備對校園中準備對校園中30畝空地進行綠化畝空地進行綠化.綠化采用綠化采用 種植草皮與種植樹木兩種方式，要求種植草種植草皮與種植樹木兩種方式，要求種植草 皮與種植樹木的面積都不少于皮與種植樹木的面積

8、都不少于10畝，并且種畝，并且種 植草皮面積不少于種植樹木面積的植草皮面積不少于種植樹木面積的2/3 .已知已知 種植草皮與種植樹木每畝的費用分別為種植草皮與種植樹木每畝的費用分別為8000 元與元與12000元元. w種植草皮的最小面積是多少？種植草皮的最小面積是多少？ w種植草皮的面積為多少時綠化總費用最低？種植草皮的面積為多少時綠化總費用最低？ 最低費用為多少？最低費用為多少？ 初中數學教學觀摩研討會 【評析】上述題目首先從一般的意義上考查了【評析】上述題目首先從一般的意義上考查了 學生列代數式、尋找等量或不等量關系的能學生列代數式、尋找等量或不等量關系的能 力，進而考查了學生是否具有力

9、，進而考查了學生是否具有“有意識地建有意識地建 立方程或不等式解決實際問題的數學思立方程或不等式解決實際問題的數學思 想想”由于通過建立方程把由于通過建立方程把“存在存在”與與“不不 存在存在”轉化成方程轉化成方程“有解有解”、“無解無解”的問的問 題，需要比較嫻熟地掌握并運用題，需要比較嫻熟地掌握并運用“方程思方程思 想想”，所以這樣的考法較好地考查了學生的，所以這樣的考法較好地考查了學生的 數學思維水平和和建模能力數學思維水平和和建模能力 初中數學教學觀摩研討會 函數部分的結構性考查函數部分的結構性考查 l函數是初中數學的核心內容其地位和函數是初中數學的核心內容其地位和 作用主要體現(xiàn)在如下

10、兩個方面：作用主要體現(xiàn)在如下兩個方面： 初中數學教學觀摩研討會 函數是所有與變化過程相關問題的最有效 的數學刻畫與表示，其應用應用意義十分重 大，所以逐步形成了“函數思想”和“函數 模型”； 函數是其它所有與數量關系相關問題的思 想基礎和知識基礎，是“代數”的靈魂。眾 多的方程問題，不等式問題，幾何圖形中的 幾何量的關系問題，還有與運動相關的幾何 圖形問題，或隱或顯地都以函數作為解決問 題的基本的方向性的手段。而解決問題的終 極性手段基本上還是方程或不等式。所以三 者的知識與方法性的聯(lián)系就是顯而易見的了。 初中數學教學觀摩研討會 w 函數圖像與性質的研究，是很有代表性函數圖像與性質的研究，是很

11、有代表性 的一個研究過程，幾乎所有函數性質的探究的一個研究過程，幾乎所有函數性質的探究 與發(fā)現(xiàn)都來自于對圖像的直觀觀察與探與發(fā)現(xiàn)都來自于對圖像的直觀觀察與探 究因此對函數圖像及其性質的考查，絕不究因此對函數圖像及其性質的考查，絕不 僅僅限于如一次函數、反比例函數、二次函僅僅限于如一次函數、反比例函數、二次函 數等這些函數性質探究的個案本身，而是具數等這些函數性質探究的個案本身，而是具 有更一般化的普遍意義，所以這類試題雖然有更一般化的普遍意義，所以這類試題雖然 基礎，但很重要。基礎，但很重要。 初中數學教學觀摩研討會 w函數與方程式、不等式之間有很多聯(lián)系。 w從表面形式上講，它們都是用等號或不

12、等號 連接數量關系表示。 w從其表示的結果看，函數是研究一個變化全 過程的問題，不等式是研究一個區(qū)間上的關 系的問題，而方程是研究一個或幾個點上的 特定的問題。 w從應用的角度講：一種是直接體現(xiàn)三者的數 學關系的問題，另一種是綜合而又內在地反 映了函數與方程、不等式的關系的問題。 初中數學教學觀摩研討會 w“統(tǒng)計與概率”的主要內容包括數據的 收集、整理、描述和分析，對簡單隨機 現(xiàn)象的認識，對簡單隨機事件發(fā)生可能 性的刻畫，以及利用數據說理或做出決 策等.“統(tǒng)計與概率”的教學應幫助學生 逐漸建立起數據分析觀念和感受隨機現(xiàn) 象. 發(fā)揮統(tǒng)計與概率在判斷決策中的作 用. 統(tǒng)計與概率部分的知識體系與 結

13、構特點 初中數學教學觀摩研討會 在圖形與空間方面體現(xiàn)在圖形與空間方面體現(xiàn) 其科學性其科學性 初中數學教學觀摩研討會 一一 高度重視對圖形基本概念、基本性質高度重視對圖形基本概念、基本性質 的考查，主要表現(xiàn)為背景新穎、多姿多的考查，主要表現(xiàn)為背景新穎、多姿多 彩，而又中肯、貼切。彩，而又中肯、貼切。 二二 強化相關知識的交匯與結合，以更強化相關知識的交匯與結合，以更 好地實現(xiàn)對知識的考查，以及對合情推好地實現(xiàn)對知識的考查，以及對合情推 理與演繹推理能力的考查。理與演繹推理能力的考查。 初中數學教學觀摩研討會 w圖形與空間圖形與空間 主要目標是發(fā)展學生的空主要目標是發(fā)展學生的空 間觀念間觀念 空間

14、觀念的發(fā)展需要經歷一個空間觀念的發(fā)展需要經歷一個 由對具體幾何對象的由對具體幾何對象的“操作操作” 到憑借幾何圖形到憑借幾何圖形“想象、推理想象、推理” 的發(fā)展過程的發(fā)展過程 初中數學教學觀摩研討會 w圖形的性質：圖形的性質： 以現(xiàn)實生活中的有關圖形以現(xiàn)實生活中的有關圖形 作為背景，通過不同的活動作為背景，通過不同的活動 （觀察、展開、折疊、變換、（觀察、展開、折疊、變換、 作圖、推理等）探索相應的圖作圖、推理等）探索相應的圖 形性質；采用綜合法證明有關形性質；采用綜合法證明有關 性質性質 初中數學教學觀摩研討會 w圖形與坐標：圖形與坐標： “能夠采用適當的坐標方式表能夠采用適當的坐標方式表

15、達一個空間（部分），或者空間中達一個空間（部分），或者空間中 物體之間的位置關系物體之間的位置關系”，以及，以及“了了 解基本的圖形位置關系（及其變換）解基本的圖形位置關系（及其變換） 與相應的坐標變化之間的關系與相應的坐標變化之間的關系” 初中數學教學觀摩研討會 w圖形與變換：圖形與變換： 對現(xiàn)實生活中各種相應變對現(xiàn)實生活中各種相應變 換現(xiàn)象的了解，借助變換的方換現(xiàn)象的了解，借助變換的方 法認識圖形的一些基本性質法認識圖形的一些基本性質 如：角平分線是軸對稱圖形，如：角平分線是軸對稱圖形， 根據對稱圖形的特征，可以找根據對稱圖形的特征，可以找 到解決問題的策略到解決問題的策略 初中數學教學觀

16、摩研討會 w圖形與證明：圖形與證明： 對證明必要性的感受；證對證明必要性的感受；證 明中需要使用的數學語言、符明中需要使用的數學語言、符 號；具體的證明過程；一般的號；具體的證明過程；一般的 證明方法；更進一步的內容可證明方法；更進一步的內容可 以是：以是：由證明過程而獲得的由證明過程而獲得的 對相應命題的深刻理解，得對相應命題的深刻理解，得 到的新發(fā)現(xiàn)到的新發(fā)現(xiàn) 初中數學教學觀摩研討會 具體的：一、通過多種方式深化對圖具體的：一、通過多種方式深化對圖 形基本概念和基本性質的考查形基本概念和基本性質的考查 圖形的基本概念和基本性質是初中數圖形的基本概念和基本性質是初中數 學的核心知識，也是中考

17、考查的重點之一。學的核心知識，也是中考考查的重點之一。 隨著課程標準理念的貫徹與落實，對隨著課程標準理念的貫徹與落實，對 這些內容的考查，除了少數以直白的方式這些內容的考查，除了少數以直白的方式 之外，大都被置于某個新穎的背景之中，之外，大都被置于某個新穎的背景之中， 使其考法演化的多姿多彩，現(xiàn)擇要歸總如使其考法演化的多姿多彩，現(xiàn)擇要歸總如 下：下： 初中數學教學觀摩研討會 1、設計對圖形的操作性活動，通過、設計對圖形的操作性活動，通過“知識知識 的再提煉的再提煉” 深化對概念或性質的考查；深化對概念或性質的考查； 例例.學習了平行線后，小敏想出了過己知學習了平行線后，小敏想出了過己知 直線外

18、一點畫這條直線的平行線的新方法，直線外一點畫這條直線的平行線的新方法， 她是通過折一張半透明的紙得到的（如圖她是通過折一張半透明的紙得到的（如圖 1(1)(4) ）：）： 圖圖3 P P P P 初中數學教學觀摩研討會 2、設計開放的情景，通過、設計開放的情景，通過“從不確定中尋從不確定中尋 找確定找確定” 深化對概念或性質的考查；深化對概念或性質的考查； 例例.如圖如圖6，請你填寫一個適當的條，請你填寫一個適當的條 件：件： ，使，使ADBC 圖圖6 A B C D F E 初中數學教學觀摩研討會 3、構造、構造“逆向型逆向型”的問題情景的問題情景, 通過通過“充分充分 與必要的對應及辨析與

19、必要的對應及辨析” 深化對概念或性質的考深化對概念或性質的考 查查; 例如圖例如圖8，過四邊形，過四邊形ABCD的四個頂點分的四個頂點分 別作對角線別作對角線AC，BD的平行線，所圍成的四邊的平行線，所圍成的四邊 形形EFGH顯然是平行四邊形顯然是平行四邊形 (1)當四邊形當四邊形ABCD分別是菱分別是菱 形、矩形、等腰梯形時，相形、矩形、等腰梯形時，相 應的平行四邊形應的平行四邊形EFGH一定一定 是是“菱形、矩形、正方形菱形、矩形、正方形” 中的哪一種？請將你的結論中的哪一種？請將你的結論 填入下表：填入下表： A H G C F E B D 圖圖8 初中數學教學觀摩研討會 4、由、由“固

20、定固定”引向引向“變動變動”，通過，通過“分類研究分類研究” 深化對概念或性質的考查深化對概念或性質的考查 復習復習“全等三角形全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業(yè)題：的知識時，老師布置了一道作業(yè)題： “如圖，已知在如圖，已知在ABC中，中，AB=AC，P是是ABC內部任意內部任意 一點，將一點，將AP繞繞A順時針旋轉至順時針旋轉至AQ，使，使QAP=BAC，連接，連接 BQ、CP，則，則BQ=CP” 小亮是個愛動腦筋的同學，他通過對圖的分析，證明小亮是個愛動腦筋的同學，他通過對圖的分析，證明 了了ABQ ACP，從而證得，從而證得BQ=CP之后，將點之后，將點P移到等腰移到等腰 三角形三

21、角形ABC之外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)之外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)“BQ=CP”仍然仍然 成立，請你就圖給出證明成立，請你就圖給出證明 圖 Q P C B A A Q B P C 圖 初中數學教學觀摩研討會 二、強化相關知識的交匯與結合，更有效地實現(xiàn)對知二、強化相關知識的交匯與結合，更有效地實現(xiàn)對知 識的綜合運用能力、合情推理與演繹推理能力的考查識的綜合運用能力、合情推理與演繹推理能力的考查 1、通過對基本圖形識別或構造出基本圖形（圖、通過對基本圖形識別或構造出基本圖形（圖 形關系），考查知識運用能力和推理能力形關系），考查知識運用能力和推理能力 例例1如圖如圖15，ABC是邊是邊 長為長為3

22、的等邊三角形，的等邊三角形，BDC是是 等腰三角形，且等腰三角形，且BDC 120以以D為頂點作一個為頂點作一個60 角，使其兩邊分別交角，使其兩邊分別交AB于點于點M， 交交AC于點于點N，連接，連接MN，則，則 AMN的周長為的周長為 圖3 圖15 初中數學教學觀摩研討會 （2）借助于）借助于“圖形變換圖形變換”構造計算型問題構造計算型問題 例如圖，例如圖，ABE和和ACD是是ABC分別沿著分別沿著AB， AC邊翻折邊翻折180形成的，若形成的，若BAC=150，則，則的度的度 數是數是 C D A E B 初中數學教學觀摩研討會 2、借助于、借助于“圖形變換圖形變換”構造新型問題，考查知

23、識構造新型問題，考查知識 運用能力和推理能力運用能力和推理能力 (1)借助于借助于“圖形變換圖形變換”深入考查某些基本圖形的性質深入考查某些基本圖形的性質 例例3.如圖，正方形如圖，正方形ABCD繞點繞點A逆時針旋轉逆時針旋轉n后后 得到正方形得到正方形AEFG，邊，邊EF與與CD交于點交于點O (1)以圖中已標有字母的點為端點連結兩條線段以圖中已標有字母的點為端點連結兩條線段 (正方形的對角線除外正方形的對角線除外)，要求所連結的兩條線段相交，要求所連結的兩條線段相交 且互相垂直，并說明這兩條線段互相垂直的理由；且互相垂直，并說明這兩條線段互相垂直的理由； G D O C F E B A (

24、2)若正方形的邊長為若正方形的邊長為 2cm，重疊部分，重疊部分(四邊形四邊形 AEOD)的面積為的面積為 ， 求旋轉的角度求旋轉的角度n cm 2 4 3 3 初中數學教學觀摩研討會 （3）借助于）借助于“圖形變換圖形變換”構造判斷和推理型問構造判斷和推理型問 題題 25（天津市中考試題）（天津市中考試題） 已知已知RtABC中，中，ACB=90，CA=CB，有一，有一 個圓心角為個圓心角為45，半徑的長等于，半徑的長等于CA的扇形繞點的扇形繞點C 旋轉，且直線旋轉，且直線CE，CF分別與直線分別與直線AB交于點交于點M， N （）當扇形）當扇形CEF繞點繞點C在在ACB的內部旋轉時，的內部

25、旋轉時， 如圖，求證如圖，求證MN=AM+BN； 思路點撥：考慮符合勾股定理的形式，需轉化思路點撥：考慮符合勾股定理的形式，需轉化 為在直角三角形中解決可將為在直角三角形中解決可將ACM沿直線沿直線 CE對折，得對折，得DCM，連，連DN，只需證，只需證DN=BN， 就可以了就可以了 初中數學教學觀摩研討會 w請你完成證明過程：請你完成證明過程： w（）當扇形）當扇形CEF繞點繞點C旋轉至圖的位置旋轉至圖的位置 時，關系式是否仍然成立？若成立，請證明；時，關系式是否仍然成立？若成立，請證明； 若不成立，請說明理由若不成立，請說明理由 C AB E F MN 圖 C AB E F MN 圖 初中

26、數學教學觀摩研討會 3、借助將圖形置于坐標系中，構造新型問題，考查、借助將圖形置于坐標系中，構造新型問題，考查 知識運用能力和推理能力知識運用能力和推理能力 14. 如圖，在平面直角坐標系中，如圖，在平面直角坐標系中，PQR是是ABC經過某種經過某種 變換后得到的圖形，觀察點變換后得到的圖形，觀察點A與點與點P，點，點B與點與點Q，點，點C與點與點R的坐的坐 標之間的關系標之間的關系.在這種變換下，如果在這種變換下，如果ABC中任意一點中任意一點M的坐標為的坐標為 （x，y），那么它們的對應點），那么它們的對應點N的坐標是的坐標是 . 初中數學教學觀摩研討會 4.利用教科書上的原題，進行改編，

27、使試利用教科書上的原題，進行改編，使試 題既不失去基礎性，又增加了許多創(chuàng)新元題既不失去基礎性，又增加了許多創(chuàng)新元 素。素。 初中數學教學觀摩研討會 w指導性命題意圖舉例：指導性命題意圖舉例： w試卷絕大多數試題都源于教科書，是教科書的例試卷絕大多數試題都源于教科書，是教科書的例 題或習題的類比、改造、延伸和拓展其目的在題或習題的類比、改造、延伸和拓展其目的在 于引導教師重視課堂的有效性在教學過程中，于引導教師重視課堂的有效性在教學過程中， 如何讓學生真正理解并掌握新知識，如何有效串如何讓學生真正理解并掌握新知識，如何有效串 聯(lián)已有知識點把握問題的實質，例題習題功能的聯(lián)已有知識點把握問題的實質，

28、例題習題功能的 開發(fā)和拓展就是一個能起事半功倍作用的好方開發(fā)和拓展就是一個能起事半功倍作用的好方 法引導廣大教師教好教科書，學生學好教科書，法引導廣大教師教好教科書，學生學好教科書， 發(fā)揮教科書的擴張效應，同時減輕學生過重的課發(fā)揮教科書的擴張效應，同時減輕學生過重的課 業(yè)負擔，引導學生學會業(yè)負擔，引導學生學會“做數學做數學”，而不是目前，而不是目前 很多學生和教師在很多學生和教師在“背數學背數學”的現(xiàn)狀，這些將有的現(xiàn)狀，這些將有 利于推進素質教育和數學課程改革的順利實施利于推進素質教育和數學課程改革的順利實施 初中數學教學觀摩研討會 例例 2 2. .（杭州市）我們學習了四邊形和一些特殊的四邊

29、形，下圖表示了在（杭州市）我們學習了四邊形和一些特殊的四邊形，下圖表示了在 某種條件下它們之間的關系某種條件下它們之間的關系 如果，兩個條件分別是：兩組對邊分別平行；有且只有一組對如果，兩個條件分別是：兩組對邊分別平行；有且只有一組對 邊平行那么請你對標上的其他邊平行那么請你對標上的其他 6 6 個數字序號寫出相對應的條件個數字序號寫出相對應的條件 四邊形 平行四邊形 矩形 菱形 正方形 梯形 等腰梯形 直角梯形 初中數學教學觀摩研討會 例例 3 3. . ( (教材內容教材內容) )下圖是下圖是 3 3 世紀我國漢代的趙爽在注解周髀算經時世紀我國漢代的趙爽在注解周髀算經時 給出的給出的，人們

30、稱它為“趙爽弦圖”，人們稱它為“趙爽弦圖”。趙爽根據此圖指出：四個全等的直角三趙爽根據此圖指出：四個全等的直角三 角形（紅色）可以如圖圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方形（黃角形（紅色）可以如圖圍成一個大正方形，中空的部分是一個小正方形（黃 色）。色）。 1 1、（20062006 年煙臺）年煙臺） 20022002 年年 8 8 月在北京召開的國際數學家大會會標如月在北京召開的國際數學家大會會標如 圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方 形。若大正方形的面積是形。若大正方形的面積是 1313，

31、小正方形的面積是，小正方形的面積是 1 1，直角三角形的較長直角，直角三角形的較長直角 邊為邊為，較短直角邊為，較短直角邊為，則，則的值為的值為( ( ) ) A A35 35 B B43 43 C C89 89 D D9797 初中數學教學觀摩研討會 2 2、（20062006 年北年北京市京市) ) 請閱讀下列材料：請閱讀下列材料： 問題：現(xiàn)有問題：現(xiàn)有 5 5 個邊長為個邊長為 1 1 的正方形，排列形式如圖的正方形，排列形式如圖 1 1，請把它們分割后，請把它們分割后 拼接成一個新的正方形。拼接成一個新的正方形。 要求：畫出分割線并在正方形網格圖（圖中每個小正方形的邊長均為要求：畫出分

32、割線并在正方形網格圖（圖中每個小正方形的邊長均為 1 1） 中用實線畫出拼接成的新正方形。中用實線畫出拼接成的新正方形。 小東的做法是：設新正方形的邊長為小東的做法是：設新正方形的邊長為 。依題意，割補前后圖形。依題意，割補前后圖形 的面積相等，有的面積相等，有，解得，解得。由此可知新正方形的邊長等于兩個小。由此可知新正方形的邊長等于兩個小 正方形組成的矩形正方形組成的矩形 對角線的長。于是，畫出如圖對角線的長。于是，畫出如圖 2 2 所示的分割線，拼成如所示的分割線，拼成如 圖圖 3 3 所示的新正方形。所示的新正方形。 請你參考小東同學的做法，解決如下問題：請你參考小東同學的做法，解決如下

33、問題： 現(xiàn)有現(xiàn)有 1010 個邊長為個邊長為 1 1 的正的正方形，排列形式如圖方形，排列形式如圖 4 4，請把它們分割后拼成一，請把它們分割后拼成一 個新的正方形。個新的正方形。 要求：在圖要求：在圖 4 4 中畫出分割線，并在圖中畫出分割線，并在圖 5 5 的正方形網格圖（圖中每個小正的正方形網格圖（圖中每個小正 方形的邊長均為方形的邊長均為 1 1）中用實線畫出拼接成的新正方形。）中用實線畫出拼接成的新正方形。 初中數學教學觀摩研討會 例 4. 試題相關的背景或來源. （人教 8(上)P106 正文開頭，P110；北師 7（下）P141, P158） 初中數學教學觀摩研討會 1 1、04

34、04 年江西中考題年江西中考題 如圖，已知方格紙中的每個小方格都如圖，已知方格紙中的每個小方格都是是全等的全等的 正方形，正方形，AOBAOB 畫在方格紙上，請在小方格的頂點上標出一個點畫在方格紙上，請在小方格的頂點上標出一個點 P P，使點，使點 P P 落在落在AOBAOB 的平分線上的平分線上. . 、0404 年江西中考題年江西中考題 如圖，已知方格紙中的每個小方格都如圖，已知方格紙中的每個小方格都是是全等的全等的 正方形，正方形，AOBAOB 畫在方格紙上，請在小方格的頂點上標出一個點畫在方格紙上，請在小方格的頂點上標出一個點 P P，使點，使點 P P 落在落在AOBAOB 的平分

35、線上的平分線上. . E 、0404 年江西中考題年江西中考題 如圖，已知方格紙中的每個小方格都如圖，已知方格紙中的每個小方格都是是全等的全等的 正方形，正方形，AOBAOB 畫在方格紙上，請在小方格的頂點上標出一個點畫在方格紙上，請在小方格的頂點上標出一個點 P P，使點，使點 P P 落在落在AOBAOB 的平分線上的平分線上. . F 初中數學教學觀摩研討會 、 20072007 年江西省年江西省 如圖，已知如圖，已知AOB,OA=OBAOB,OA=OB，點，點 E E 在在 OBOB 邊上，四邊形邊上，四邊形 AEBFAEBF 是矩形請你只用無刻度的直尺在圖中畫出是矩形請你只用無刻度的

36、直尺在圖中畫出AOBAOB 的平分線（保留畫圖的平分線（保留畫圖 痕跡） 痕跡） 原填空題原填空題 1010 解：解：如圖如圖 1 1： （圖 1） A O E B F 2 2、 20072007 年江西省年江西省 如圖，已知如圖，已知AOB,OA=OBAOB,OA=OB，點，點 E E 在在 OBOB 邊上，四邊形邊上，四邊形 AEBFAEBF 是矩形請你只用無刻度的直尺在圖中畫出是矩形請你只用無刻度的直尺在圖中畫出AOBAOB 的平分線（保留畫圖的平分線（保留畫圖 痕跡） 痕跡） 原填空題原填空題 1010 解：解：如圖如圖 1 1： A B F E O （原題圖） （圖 1） A O E

37、 B F 思考思考 1 1: 已知已知AOBAOB，能否只用帶刻度的直尺畫出，能否只用帶刻度的直尺畫出AOBAOB的平分線的平分線? ? 思考思考 2 2: : 若把圖若把圖 1 1 中的矩形換成平行四邊形中的矩形換成平行四邊形( (或菱形，正方形或菱形，正方形) )，能否畫，能否畫 出出AOBAOB的平分線嗎的平分線嗎? ? 思考思考 3 3: 在圖在圖 1 1 中畫出的角平分線中畫出的角平分線OCOC能否把矩形能否把矩形AEBFAEBF的面積平分的面積平分? ? 思考思考 4 4: 若把圖若把圖 1 1 中的矩形變換成圓如圖中的矩形變換成圓如圖 6 6、圖、圖 7 7在圖在圖 6 6 中與

38、中與OAOA、 OBOB分別相切于點分別相切于點C C、D D，在圖，在圖 7 7 中，弦中，弦ACAC= =BDBD只用三角板，能畫出只用三角板，能畫出AOBAOB的的 平分線嗎平分線嗎? ? 初中數學教學觀摩研討會 1 1: 已知已知AOBAOB，能否只用帶刻度的直尺畫出，能否只用帶刻度的直尺畫出AOBAOB的平分線的平分線? ? 思考思考 2 2: : 若把圖若把圖 1 1 中的矩形換成平行四邊形中的矩形換成平行四邊形( (或菱形，正方形或菱形，正方形) )，能否畫，能否畫 出出AOBAOB的平分線嗎的平分線嗎? ? 思考思考 3 3: 在圖在圖 1 1 中畫出的角平分線中畫出的角平分線

39、OCOC能否把矩形能否把矩形AEBFAEBF的面積平分的面積平分? ? 思考思考 4 4: 若把圖若把圖 1 1 中的矩形變換成圓如圖中的矩形變換成圓如圖 6 6、圖、圖 7 7在圖在圖 6 6 中與中與OAOA、 OBOB分別相切于點分別相切于點C C、D D，在圖，在圖 7 7 中，弦中，弦ACAC= =BDBD只用三角板，能畫出只用三角板，能畫出AOBAOB的的 平分線嗎平分線嗎? ? 1 1: 已知已知AOBAOB，能否只用帶刻度的直尺畫出，能否只用帶刻度的直尺畫出AOBAOB的平分線的平分線? ? 思考思考 2 2: : 若把圖若把圖 1 1 中的矩形換成平行四邊形中的矩形換成平行四

40、邊形( (或菱形，正方形或菱形，正方形) )，能否畫，能否畫 出出AOBAOB的平分線嗎的平分線嗎? ? 思考思考 3 3: 在圖在圖 1 1 中畫出的角平分線中畫出的角平分線OCOC能否把矩形能否把矩形AEBFAEBF的面積平分的面積平分? ? 思考思考 4 4: 若把圖若把圖 1 1 中的矩形變換成圓如圖中的矩形變換成圓如圖 6 6、圖、圖 7 7在圖在圖 6 6 中與中與OAOA、 OBOB分別相切于點分別相切于點C C、D D，在圖，在圖 7 7 中，弦中，弦ACAC= =BDBD只用三角板，能畫出只用三角板，能畫出AOBAOB的的 平分線嗎平分線嗎? ? E 、0404 年江西中考題

41、年江西中考題 如圖，已知方格紙中的每個小方格都如圖，已知方格紙中的每個小方格都是是全等的全等的 正方形，正方形，AOBAOB 畫在方格紙上，請在小方格的頂點上標出一個點畫在方格紙上，請在小方格的頂點上標出一個點 P P，使點，使點 P P 落在落在AOBAOB 的平分線上的平分線上. . F 初中數學教學觀摩研討會 w2 2、重視數學思想方法學習學習中能圍繞、重視數學思想方法學習學習中能圍繞 一個數學核心內容設計思維含量由淺入深一個數學核心內容設計思維含量由淺入深 的問題串，問題不斷拓展延伸，學生對問的問題串，問題不斷拓展延伸，學生對問 題認識的深度也在不斷地遞進，學生研究題認識的深度也在不斷

42、地遞進，學生研究 問題的方法也在逐步地熟悉與掌握學生問題的方法也在逐步地熟悉與掌握學生 通過比較研究獲得一類問題的解決方法的通過比較研究獲得一類問題的解決方法的 共同特點共同特點即獲得數學方法，當學生這即獲得數學方法，當學生這 種數學活動經驗豐富到一定程度時轉化為種數學活動經驗豐富到一定程度時轉化為 學生的一種思想觀念學生的一種思想觀念學生也就領悟其學生也就領悟其 數學思想數學思想 初中數學教學觀摩研討會 w例：如圖，在正方形例：如圖，在正方形ABCDABCD中，中，E E、F F分別是分別是BCBC、 CDCD上的點，且上的點，且EAFEAF45 45 ， （1 1）求證：）求證：EFEFB

43、EBEFDFD； （2 2）若）若“ E E、F F分別是分別是BCBC、CDCD上的點上的點”改為改為 “E E、F F分別是分別是BCBC、CDCD延長線上的點延長線上的點 ”，試，試 探索線段探索線段EFEF、BEBE、FDFD之間關系，并加以證之間關系，并加以證 明明 45 F C A B D E A B D C E F 初中數學教學觀摩研討會 w試題改編：試題改編： w1 1、( (源于證明過程源于證明過程) )如圖如圖, ,在四邊形在四邊形ABCDABCD中中,AB,AB AD,BAD,BDD9090,E,E、F F分別是分別是BCBC、CDCD上上 的點的點, ,且且EAFEAF

44、是是BADBAD的一半的一半,1,1）求證：）求證：EFEF BEBEFDFD；(2)(2)若若“ E E、F F分別是分別是BCBC、CDCD上的點上的點” 改為改為“E E、F F分別是分別是BCBC、CDCD延長線上的點延長線上的點 ”, , 試探索線段試探索線段EFEF、BEBE、FDFD之間關系之間關系, ,并加以證并加以證 明明 D A BCE F F D B A C E 初中數學教學觀摩研討會 w2 2、如圖、如圖, ,在四邊形在四邊形ABCDABCD中中,AB,ABAD,B+DAD,B+D 180180,E,E、F F分別是分別是BCBC、CDCD上的點上的點, ,且且EAFE

45、AF是是 BADBAD的一半的一半, ,（1 1）求證：）求證：EFEFBEBEFD;(2)FD;(2)若若 “ E E、F F分別是分別是BCBC、CDCD上的點上的點”改為改為“E E、F F分分 別是別是BCBC、CDCD延長線上的點延長線上的點 ”, ,試探索線段試探索線段EFEF、 BEBE、FDFD之間關系之間關系, ,并加以證明并加以證明 D A BCE F F D B A C E 初中數學教學觀摩研討會 w3 3、如圖，在四邊形、如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，ABABADAD，BB DD9090，BAD BAD 6060，E E、F F分別是分別是 BCBC、CDCD上

46、的點，且上的點，且EAFEAF3030， 求證：求證：EFEFBEBEFD.FD. w4 4如圖，在四邊形如圖，在四邊形ABCDABCD中，中，ABABADAD1 1， BBDD9090, , BAD BAD 120120，E E、F F 分別是分別是BCBC、CDCD上的點，上的點， 且且EAFEAF6060， 求：求：CEFCEF的周長的周長. . F C D B A E 初中數學教學觀摩研討會 w5 5、如圖，、如圖，ACAC是正六邊形外接圓的直是正六邊形外接圓的直 徑，徑，EF=BE+DFEF=BE+DF，求，求EAFEAF的度數的度數 w6 6、進一步推廣為正偶數多邊形、進一步推廣為

47、正偶數多邊形 A D C B F E 初中數學教學觀摩研討會 w例：（例：（1 1）如圖，點）如圖，點D D、E E分別是正分別是正ABCABC邊邊ACAC、CBCB延延 長線上的點，且長線上的點，且CD=BECD=BE，DBDB延長線交延長線交AEAE于于F F，求，求 AFBAFB的度數；的度數； （2 2）若將（）若將（1 1）中的正）中的正ABCABC變成正方形變成正方形ABCMABCM，其他，其他 條件不變，求條件不變，求AFBAFB的度數（直接寫答案）；的度數（直接寫答案）； （3 3）若將（）若將（1 1）中的正）中的正ABCABC變成正五邊形變成正五邊形ABCMNABCMN，其

48、，其 他條件不變，求他條件不變，求AFBAFB的度數（直接寫答案）；的度數（直接寫答案）； （4 4）根據前面探索，你能否將問題推廣到一般的正）根據前面探索，你能否將問題推廣到一般的正n n 邊形情況若能，寫出推廣問題和結論；若不能，邊形情況若能，寫出推廣問題和結論；若不能， 說明理由說明理由 初中數學教學觀摩研討會 試題改編：試題改編：如圖如圖9-1、9-2、9-3、9-n，M、N分分 別是別是 O的內接正三角形的內接正三角形ABC、正方形、正方形ABCD、正、正 五邊形五邊形ABCDE 、正、正n邊形邊形ABCDE的邊的邊AB、 BC上的點，且上的點，且BM=CN,連結連結OM、ON. (

49、1)求圖求圖9-1中中MON的度數的度數;(2)圖圖9-2中中MON的的 度數是度數是_,圖圖9-3中中MON的度數是的度數是_;(3)試探究試探究 MON的度數與正的度數與正n邊形邊數邊形邊數n的關系的關系(直接寫出答直接寫出答 案案). A E D F C B M N O 圖9-1 A B D O M N 圖9-2 A B C D O M N 圖9-3 A B C O M N E G 圖9-n C C 初中數學教學觀摩研討會 w評析：評析： w1 1、 本題由正三角形問題研究，進而擴本題由正三角形問題研究，進而擴 展到正四邊形、正五邊形、以至后來展到正四邊形、正五邊形、以至后來 更為一般的

50、正多邊邊形的情況，問題更為一般的正多邊邊形的情況，問題 不斷拓展延伸，學生對問題認識的深不斷拓展延伸，學生對問題認識的深 度也在不斷地遞進，學生研究問題的度也在不斷地遞進，學生研究問題的 方法也在逐步地熟悉與掌握這樣的方法也在逐步地熟悉與掌握這樣的 研究性問題的出現(xiàn)，無疑會正確引導研究性問題的出現(xiàn)，無疑會正確引導 中考命題改革，促進目前中學數學教中考命題改革，促進目前中學數學教 學方式與學生學習方式的改革學方式與學生學習方式的改革 初中數學教學觀摩研討會 w3 3、關注數學活動過程的考查、關注數學活動過程的考查 w數學活動過程中所表現(xiàn)出來的思維方式、數學活動過程中所表現(xiàn)出來的思維方式、 思維水

51、平，對活動對象、相關知識與方法的理思維水平，對活動對象、相關知識與方法的理 解深度；解深度； w遷移活動過程中的思想方法，間接考查學遷移活動過程中的思想方法，間接考查學 生的數學活動過程；生的數學活動過程； w能否通過觀察、實驗、歸納、類比等活動能否通過觀察、實驗、歸納、類比等活動 獲得數學猜想，并尋求證明猜想的合理性；獲得數學猜想，并尋求證明猜想的合理性； w能否使用恰當的數學語言有條理地表達自能否使用恰當的數學語言有條理地表達自 己的數學思考過程己的數學思考過程 初中數學教學觀摩研討會 w例：如圖例：如圖1-11-1，P P為為RtRtABCABC所在平面內任意所在平面內任意 一點（不在直

52、線一點（不在直線ACAC上），上），ABC=90ABC=90，M M為為ABAB 邊中點邊中點 操作：以操作：以PAPA、PCPC為鄰邊作平行四邊為鄰邊作平行四邊 形形PADCPADC，連結，連結PMPM并并 延長到點延長到點E E，使，使 ME=PM ME=PM，連結，連結DEDE 探究：（探究：（1 1）請猜想）請猜想 與線段與線段DEDE有關的三個結論；有關的三個結論； 圖1-1 C D B E M A P P 初中數學教學觀摩研討會 （2 2）請你利用圖）請你利用圖1-21-2，圖，圖1-31-3選擇不同位置的點按上述方法選擇不同位置的點按上述方法 操作；操作； （3 3）經歷（）經歷

53、（2 2）之后，如果你認為你寫的結論是正確的，請）之后，如果你認為你寫的結論是正確的，請 加以證明；如果你認為你寫的結論是錯誤的，請用圖加以證明；如果你認為你寫的結論是錯誤的，請用圖1-21-2 或圖或圖1-31-3加以說明；（注意：錯誤的結論，只要你用反例加以說明；（注意：錯誤的結論，只要你用反例 給予說明也得分）給予說明也得分） （4 4）若將）若將“RtRtABCABC”改為改為“任意任意ABCABC”，其他條件不變，其他條件不變， 利用圖利用圖1-41-4操作，并寫出與線段操作，并寫出與線段DEDE有關的結論（直接寫答有關的結論（直接寫答 案）案） C B M A M A C B C

54、B M A 圖1-2 圖1-3圖1-4 初中數學教學觀摩研討會 w試題改編過程：試題改編過程： w1 1、已知點、已知點O O是等邊三角形是等邊三角形ABCABC所在平面上所在平面上 的任意一點，連結的任意一點，連結OAOA并延長到并延長到E E，使得，使得AEAE OA. OA. 以以OBOB、OCOC為鄰邊作平行四邊形為鄰邊作平行四邊形OBFCOBFC，連，連 接接EF. EF. 求證：（求證：（1 1）EFBCEFBC； （2 2）EF= BC.EF= BC. 3 C O E A F B 初中數學教學觀摩研討會 w2 2、已知點、已知點O O是等腰直角三角形是等腰直角三角形ABCABC（

55、BCBC為斜為斜 邊）所在平面上的任意一點，連結邊）所在平面上的任意一點，連結OAOA并延并延 長到長到E E，使得，使得AEAEOA. OA. 以以OBOB、OCOC為鄰邊作平為鄰邊作平 行四邊形行四邊形OBFCOBFC，連接，連接EF. EF. 求證：求證：EFBC.EF=2BCEFBC.EF=2BC E A BC O F 初中數學教學觀摩研討會 w3 3、已知點、已知點O O是直角三角形是直角三角形ABCABC（BCBC為斜邊）為斜邊） 所在平面上的任意一點，連接所在平面上的任意一點，連接OAOA并延長到并延長到E E， 使得使得AEAEOA. OA. 以以OBOB、OCOC為鄰邊作平行

56、四邊為鄰邊作平行四邊 形形OBFCOBFC，連接，連接EF. EF. 求證：求證： EF=BC EF=BC A B C O F E 初中數學教學觀摩研討會 w評析：評析： 本題體現(xiàn)了研究一個問題時比較全本題體現(xiàn)了研究一個問題時比較全 面的過程：面的過程： 第一，對問題情景分析的基礎上先第一，對問題情景分析的基礎上先 形成猜想形成猜想 第二，對猜想進行驗證第二，對猜想進行驗證( (或證明成立，或證明成立， 或予以否定或予以否定) ) 第三，在經過證明肯定了猜想之后，第三，在經過證明肯定了猜想之后， 再做進一步的推廣再做進一步的推廣 初中數學教學觀摩研討會 w第四，本題詣在讓學生經歷一個科學第四，

57、本題詣在讓學生經歷一個科學 探究的全過程，人們要研究一個數學探究的全過程，人們要研究一個數學 問題時常常要借助已有的數學知識和問題時常常要借助已有的數學知識和 相應的數學活動經驗對這個問題進行相應的數學活動經驗對這個問題進行 各種各樣的猜測（因為數學數學建模各種各樣的猜測（因為數學數學建模 的最高層次是借助知覺思維創(chuàng)造性的的最高層次是借助知覺思維創(chuàng)造性的 發(fā)現(xiàn)數學事實，正如物理學家、數學發(fā)現(xiàn)數學事實，正如物理學家、數學 家牛頓說：家牛頓說：“沒有大膽的猜想，就沒沒有大膽的猜想，就沒 有偉大的創(chuàng)新有偉大的創(chuàng)新”），這些猜測可能是），這些猜測可能是 正確的，也可能是錯誤的，正確的，也可能是錯誤的，

58、 初中數學教學觀摩研討會 w為了進一步探索與驗證必須要做相關的數學為了進一步探索與驗證必須要做相關的數學 實驗和數學活動，伴隨數學實驗和數學活動實驗和數學活動，伴隨數學實驗和數學活動 經驗的豐富與發(fā)展人們對這些猜測又進行更經驗的豐富與發(fā)展人們對這些猜測又進行更 新與否定，更新是新的發(fā)現(xiàn)，否定是在數學新與否定，更新是新的發(fā)現(xiàn)，否定是在數學 實驗和數學活動中找到反例，經過反復實驗實驗和數學活動中找到反例，經過反復實驗 你認為是正確的猜測必須進行證明，這樣才你認為是正確的猜測必須進行證明，這樣才 能體現(xiàn)課程標準中的證明的必要性作為科能體現(xiàn)課程標準中的證明的必要性作為科 學探究兩個重要途徑是擴充與反駁

59、，只有在學探究兩個重要途徑是擴充與反駁，只有在 擴充與反駁的過程中才能推動科學的發(fā)展，擴充與反駁的過程中才能推動科學的發(fā)展， 伴隨數學實驗和數學活動我們可能獲得新的伴隨數學實驗和數學活動我們可能獲得新的 發(fā)現(xiàn)，將問題加以推廣，本題是上述想法的發(fā)現(xiàn)，將問題加以推廣，本題是上述想法的 具體落實因此，本題的意義就不在于考查具體落實因此，本題的意義就不在于考查 了相應的知識，更在于考查了活動過程，從了相應的知識，更在于考查了活動過程，從 而也進一步加強了學生對數學活動過程中的而也進一步加強了學生對數學活動過程中的 方法與策略的認識及運用方法與策略的認識及運用 初中數學教學觀摩研討會 w例13:操作：在

60、ABC中，AC=BC=2， C=90，將一塊 等腰直角三角板的直 角頂點放在斜邊AB的 中點P處將三角板繞 點P旋轉，三角板的 兩直角邊分別交射線 AC，CB于D，E兩點 圖中的(1),(2),(3)是旋轉 三角板得到的圖形中的 其中3種 初中數學教學觀摩研討會 w探究：探究：(1)三角板繞點三角板繞點P旋轉，觀察線段旋轉，觀察線段 PD 和和PE之間有什么大小關系之間有什么大小關系?它們的關系它們的關系 為為 ，并以圖，并以圖(2)為例，加以證明為例，加以證明 w(2)三角板繞點三角板繞點P旋轉，旋轉，PBE是否能成為是否能成為 等腰三角形等腰三角形?若能，指出所有情況若能，指出所有情況(即