工程力學(xué)平面力系平衡問題

1、工程力學(xué) 主 講：譚寧 副教授 辦公室：教1樓北305 工程力學(xué) 2 工程力學(xué) 3 jiF yxR FF )(FMM OO 平面力系向作用面內(nèi)任選一點(diǎn)平面力系向作用面內(nèi)任選一點(diǎn)O簡化，一般可得一個力簡化，一般可得一個力 和一個力偶，這個力等于該力系的主矢，作用于簡化中心和一個力偶，這個力等于該力系的主矢，作用于簡化中心 O；這個力偶的矩等于該力系對于；這個力偶的矩等于該力系對于O點(diǎn)的主矩點(diǎn)的主矩。 得到平面力系平衡的充分必要條件是：得到平面力系平衡的充分必要條件是： 00F OR M, 工程力學(xué) 4 0,00,0 OROR MFMF或 充分性：充分性：當(dāng)當(dāng) 時，表明作用于簡化中心時，表明作用于

2、簡化中心O的匯交力的匯交力 系是平衡力系；附加力偶系亦是平衡力系，故原力系平衡。系是平衡力系；附加力偶系亦是平衡力系，故原力系平衡。 0,0 OR MF OR MF , 根據(jù)力系的簡化結(jié)果可知道，此時原力系可簡化為一個力偶或根據(jù)力系的簡化結(jié)果可知道，此時原力系可簡化為一個力偶或 一個力，與一個力，與“假設(shè)原力系平衡假設(shè)原力系平衡”的前提條件不符，故只有的前提條件不符，故只有 均為零，原力系才能平衡。均為零，原力系才能平衡。 OR MF , 必要性：必要性：當(dāng)原力系平衡時，我們用反設(shè)法說明。假設(shè)當(dāng)原力系平衡時，我們用反設(shè)法說明。假設(shè) 有有 一個不為零，即一個不為零，即 工程力學(xué) 5 平衡條件的解

3、析式：平衡條件的解析式： 0)( 0 0 F O y x M F F 上面的方程式是力系平衡的充分必要條件，也稱為上面的方程式是力系平衡的充分必要條件，也稱為 平衡方程的平衡方程的基本方程基本方程。 00F OR M, 平衡條件的矢量式：平衡條件的矢量式： 平衡方程基本形式平衡方程基本形式 工程力學(xué) 6 二矩式二矩式 0 0)( 0)( x B A F M M F F x軸不得垂直于軸不得垂直于A、B的的連線。連線。 （3 3）又若該力系又同時滿足）又若該力系又同時滿足 ，而，而x軸不得垂直于軸不得垂直于AB連線連線時，顯然力系時，顯然力系 不可能有合力。這就表明，只要滿足以上三個方程及附加條

4、件，該力系必平衡不可能有合力。這就表明，只要滿足以上三個方程及附加條件，該力系必平衡 , 0 x F 0)( iA MF （1 1）若力系已滿足了）若力系已滿足了 ，則表明力系不可能簡化為一力偶，只可能是，則表明力系不可能簡化為一力偶，只可能是 作用線通過作用線通過A點(diǎn)點(diǎn)的一個合力，或者是平衡。的一個合力，或者是平衡。 0)( iB FM （2 2）若該力系同時滿足）若該力系同時滿足 ，則該力系合成結(jié)果或者是作用線通過，則該力系合成結(jié)果或者是作用線通過A、B 兩點(diǎn)的一個合力，或者是平衡。兩點(diǎn)的一個合力，或者是平衡。 平衡方程其他形式平衡方程其他形式 工程力學(xué) 7 三矩式三矩式 0)( 0)(

5、0)( F F F C B A M M M A、B、C三三點(diǎn)不得共線。點(diǎn)不得共線。 平衡方程其他形式平衡方程其他形式 為什么呢？為什么呢？ 工程力學(xué) 8 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 此時，此時， 自然滿足。自然滿足。 則平面平行力系平衡方程為則平面平行力系平衡方程為 0 x F 0)( 0 iO y M F F 思考：思考： 工程力學(xué) 9 00 11 n i yi n i xi FF, 各力匯交于一點(diǎn)各力匯交于一點(diǎn)A， 自然自然 滿足。則平面匯交力系平衡方程為滿足。則平面匯交力系平衡方程為 0F )( iA M 思考：思考： 工程力學(xué) 10 顯然，關(guān)于力平衡的方程自然滿足。顯

6、然，關(guān)于力平衡的方程自然滿足。 0 M 工程力學(xué) 11 1 1根據(jù)問題條件和要求，選取研究對象。根據(jù)問題條件和要求，選取研究對象。 2 2分析研究對象的受力情況，畫受力圖。畫出研究對分析研究對象的受力情況，畫受力圖。畫出研究對 象所受的全部主動力和約束力。象所受的全部主動力和約束力。 3 3根據(jù)受力類型列寫平衡方程。平面一般力系只有三根據(jù)受力類型列寫平衡方程。平面一般力系只有三 個獨(dú)立平衡方程。為計算簡捷，應(yīng)選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系和個獨(dú)立平衡方程。為計算簡捷，應(yīng)選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系和 矩心，以使方程中未知量最少。矩心，以使方程中未知量最少。 4 4求解。校核和討論計算結(jié)果。求解。校核和討論計算結(jié)果。 求

7、解步驟：求解步驟： 工程力學(xué) 12 例例1 1：一種車載式起重機(jī)，車：一種車載式起重機(jī)，車重重P1= 26 kN，起重機(jī)伸，起重機(jī)伸 臂重臂重P2 = 4.5 kN，起重機(jī)的旋轉(zhuǎn)與固定部分共重，起重機(jī)的旋轉(zhuǎn)與固定部分共重P3 = 31 kN。尺寸如圖所示。設(shè)伸臂在起重機(jī)對稱面內(nèi)，且放在尺寸如圖所示。設(shè)伸臂在起重機(jī)對稱面內(nèi)，且放在 圖示位置，試求車子不致翻倒的最大起吊重量圖示位置，試求車子不致翻倒的最大起吊重量Pmax。 工程力學(xué) 13 0 0 F B M F 0 321 PPPPFF BA 0 2 81 52 3 52 2 21 ).(.).( A FPPP PPPFA5 . 55 . 22

8、8 . 3 1 21 不翻倒的條件是：不翻倒的條件是：FA0。 kN 7.52.52 5 .5 1 21 PPP 工程力學(xué) 14 例例2 2：如：如圖所示是汽車制動圖所示是汽車制動 機(jī)構(gòu)的一部分。已知司機(jī)踩機(jī)構(gòu)的一部分。已知司機(jī)踩 到制動蹬上的力到制動蹬上的力F=212 N， = 45 。當(dāng)平衡時，。當(dāng)平衡時，DA鉛鉛 直，直，BC水平，試求拉桿水平，試求拉桿BC 所受的力。已知所受的力。已知EA=24 cm， DE=6 cm 點(diǎn)點(diǎn)E在鉛直線在鉛直線DA上上 ，又又B ，C ，D都是光滑鉸都是光滑鉸 鏈，機(jī)構(gòu)的鏈，機(jī)構(gòu)的自重不計。自重不計。 工程力學(xué) 15 O q x y A B D F FD

9、 FB ： ， ， 0 0 y x F F 0 sin sin 0 cos cos q q FF FFF D DB 4 1 OE DE sin已知 N750 B F 工程力學(xué) 16 例例3：已知：已知 , , ,;P q a Mpa 求支座求支座A、B處的約束力處的約束力. . 工程力學(xué) 17 aqQ2 aAD 例例3：已知：已知 , , ,;P q a Mpa 求支座求支座A、B處的約束力處的約束力. . 工程力學(xué) 18 0)( 0 0 FM F F A y x 024 0 0 aQaPMaF QPFF F B BAy Ax qaPF qaPFF B AyAx 2 1 4 1 2 3 4 1

10、 0 , 例例3：已知：已知 , , ,;P q a Mpa 求支座求支座A、B處的約束力處的約束力. . 工程力學(xué) 19 工程力學(xué) 20 對于系統(tǒng)整體畫受力圖，圖上展示的僅是外力；當(dāng)對于系統(tǒng)整體畫受力圖，圖上展示的僅是外力；當(dāng) 取系統(tǒng)中的某一部分為研究對象時，此時，該部分與系取系統(tǒng)中的某一部分為研究對象時，此時，該部分與系 統(tǒng)其他部分之間的作用力（本來是內(nèi)力）也變成了作用統(tǒng)其他部分之間的作用力（本來是內(nèi)力）也變成了作用 在該部分上的外力。因此，對不同的研究對象而言，外在該部分上的外力。因此，對不同的研究對象而言，外 力、內(nèi)力是相對的。力、內(nèi)力是相對的。 工程力學(xué) 21 系統(tǒng)平衡的特點(diǎn)系統(tǒng)平衡

11、的特點(diǎn) 系統(tǒng)整體是平衡的；系統(tǒng)整體是平衡的； 物系中每個單體也是平衡的。每個單體可列物系中每個單體也是平衡的。每個單體可列3 3個平個平 衡方程，整個系統(tǒng)可列衡方程，整個系統(tǒng)可列3 3n n個方程（設(shè)物系中有個方程（設(shè)物系中有n n個個 物體物體, ,每個物體都受有平面一般力系作用）每個物體都受有平面一般力系作用） 由由n個剛體組成的物系，個剛體組成的物系，其中其中n1個剛體為二力體或個剛體為二力體或 受有平面力偶系作用，受有平面力偶系作用，n2個剛體受有平面匯交力系個剛體受有平面匯交力系 或平行力系作用，或平行力系作用，n3個剛體受有平面一般力系作用，個剛體受有平面一般力系作用， 且：且：n

12、 = n1+n2+n3 ，則整個系統(tǒng)可列出，則整個系統(tǒng)可列出m個獨(dú)立的個獨(dú)立的 平衡方程，且平衡方程，且 m = n1+2n2+3n3 ，可求解，可求解m個未知量。個未知量。 工程力學(xué) 22 先以系統(tǒng)整體為研究對象，列出平衡方程，這樣的方先以系統(tǒng)整體為研究對象，列出平衡方程，這樣的方 程中不包含內(nèi)力，未知量較少，解出部分未知量后，再選程中不包含內(nèi)力，未知量較少，解出部分未知量后，再選 擇合適的單個物體為研究對象，列出平衡方程，直到求出擇合適的單個物體為研究對象，列出平衡方程，直到求出 所有的未知量為止。所有的未知量為止。 以系統(tǒng)的每一個物體為研究對象，列出全部的平衡方程，以系統(tǒng)的每一個物體為研

13、究對象，列出全部的平衡方程， 然后求解。然后求解。 求解剛體系統(tǒng)的平衡問題，主要依據(jù)前求解剛體系統(tǒng)的平衡問題，主要依據(jù)前 面給出的平衡理論。面給出的平衡理論。 工程力學(xué) 23 研究剛體系統(tǒng)的平衡問題需要注意以下幾點(diǎn)：研究剛體系統(tǒng)的平衡問題需要注意以下幾點(diǎn)： 分清內(nèi)力和外力。分清內(nèi)力和外力。 靈活選取研究對象和列寫平衡方程。靈活選取研究對象和列寫平衡方程。 如系統(tǒng)由如系統(tǒng)由n個物體組成，而每個物體在平面力系作用下個物體組成，而每個物體在平面力系作用下 平衡，則有平衡，則有3n個獨(dú)立的平衡方程，可解個獨(dú)立的平衡方程，可解3n個個未知量。未知量。 工程力學(xué) 24 已知：已知：a、P、Q。求。求A、B

14、 的約束的約束反力。反力。 例一例一 工程力學(xué) 25 解：解：(1)(1)考慮整體考慮整體, ,受力如圖所示，受力如圖所示， 0 2 1 2 1 20 aPaQaFM ByA 0 2 1 2 3 20aQaPaFM AyB 00 QFFF BxAxx 列平衡方程如下：列平衡方程如下： (2)(2)考慮左半部，受力分析如圖考慮左半部，受力分析如圖 0 2 1 0 aFaPaFM AyAxC 這里不需列全部方程，只需有針對性地列出必要的方程！這里不需列全部方程，只需有針對性地列出必要的方程！ 工程力學(xué) 26 )(),( ),( QPFPQF QPFQPF ByBx AyAx 4 1 3 4 1 4

15、 1 4 3 4 1 工程力學(xué) 27 求解方法二求解方法二 （1 1）選取研究對象：左剛架，）選取研究對象：左剛架， 受力分析如圖所示。受力分析如圖所示。 列平衡方程：列平衡方程： 0 2 0 00 00 a PaFaFM PFFF FFF AyAxC CyAyy CxAxx 工程力學(xué) 28 （1 1）選取研究對象：右剛架，）選取研究對象：右剛架， 受力分析如圖所示。受力分析如圖所示。 求解方法二求解方法二 列平衡方程：列平衡方程： 6個方程可解出6 個未知量 思考：法一和法二的不同之處在哪里？哪種方法簡單？思考：法一和法二的不同之處在哪里？哪種方法簡單？ 總結(jié)兩種方法的特點(diǎn)?？偨Y(jié)兩種方法的特

16、點(diǎn)。 0 2 0 00 00 a QaFaFM FFF QFFF ByBxC CyByy CxBxx CyCyCxCx FFFF, 工程力學(xué) 29 圖示結(jié)構(gòu)圖示結(jié)構(gòu)，F(xiàn)p和和 l 均已知，分別均已知，分別求兩種情況下的求兩種情況下的 約束力。約束力。 例二例二 工程力學(xué) 30 FP 第一種情第一種情 形形 MA ( F ) = 0 : FBC d - FP 2l = 0 P 2 2 BC FF 解：該系統(tǒng)中，解：該系統(tǒng)中，BCBC為二力桿。為二力桿。 以以ABAB為研究對象，作出受力圖為研究對象，作出受力圖 Fy = 0 : FAy - FP + FBC sin45 = 0 FAy= - FP

17、 FP FAy FAx FBC Fx = 0 : FAx+FBCcos = 0 FAx=-2FP 工程力學(xué) 31 解：解：以整體為研究對象，作出以整體為研究對象，作出 受力圖受力圖 第二種情形第二種情形 M=FP l M=FP l FA FC 00lFMM A P F l M FA 工程力學(xué) 32 已知：四連桿機(jī)構(gòu)已知：四連桿機(jī)構(gòu)ABCD 受力受力P、Q 作用。作用。 求求: 機(jī)構(gòu)平衡時機(jī)構(gòu)平衡時P、Q 的關(guān)系。的關(guān)系。 例三例三 工程力學(xué) 33 解：以整體為研究對象，受力分解：以整體為研究對象，受力分 析如圖所示。析如圖所示。 列平衡方程列平衡方程 工程力學(xué) 34 A，B，C，D處均為光滑鉸

18、鏈，物塊重為處均為光滑鉸鏈，物塊重為P，通過繩，通過繩 子繞過滑輪水平地連接于桿子繞過滑輪水平地連接于桿AB的的E點(diǎn)，各構(gòu)件自重不計，點(diǎn)，各構(gòu)件自重不計， 試求試求B處的約束力。處的約束力。 P 例四例四 工程力學(xué) 35 解：取整體為研究對象。受力分析解：取整體為研究對象。受力分析 如圖。如圖。 列平衡方程列平衡方程FAy FAx FCx FCy 025 Ax FrPr , 0F C M PF Ax 5 . 2 解得解得 P 工程力學(xué) 36 再取桿再取桿AB為研究對象，受力分析如圖。為研究對象，受力分析如圖。 022 EByBx rFFrFr , 0F A M 0 EBxAx FFF, 0 x

19、 F 列平衡方程列平衡方程 ,5 . 1 PFBx PFBy2 聯(lián)立求解可得聯(lián)立求解可得 FAy FAx FBy FBx P 工程力學(xué) 37 結(jié)構(gòu)由結(jié)構(gòu)由桿桿AB與與BC在在B處鉸接而成。結(jié)構(gòu)處鉸接而成。結(jié)構(gòu)A處為固處為固 定端，定端，C處為輥軸支座。結(jié)構(gòu)在處為輥軸支座。結(jié)構(gòu)在DE段承受均布載荷作段承受均布載荷作 用，載荷集度為用，載荷集度為q；E處作用有外加力偶，其力偶矩為處作用有外加力偶，其力偶矩為 M。若。若q、l、M等均為已知，試求等均為已知，試求A、C二處的約束力。二處的約束力。 例五例五 工程力學(xué) 38 解：以整體為研究對象，受力如圖：解：以整體為研究對象，受力如圖： 分布力化成了

20、集中力分布力化成了集中力Q，且，且Q=2ql，作用在，作用在B點(diǎn)。點(diǎn)。 列平衡方程列平衡方程 00 00 0240 QFFF FF MlQlFMM CyAyy Axx CyAA 工程力學(xué) 39 以以BC桿為研究對象，從鉸鏈桿為研究對象，從鉸鏈B 處把處把BC取出來，則取出來，則BC桿必然受桿必然受 到鉸鏈的作用力，如圖：到鉸鏈的作用力，如圖： 把分布力化為集中力把分布力化為集中力P，P=ql，作作 用在用在G處。得到處。得到BC桿的受力圖：桿的受力圖： 列平衡方程列平衡方程 0) 2 (2 0 Ml l PlF M Cy B l M qlF l M qlF F MqlM Cy Ay Ax A

21、24 1 24 7 0 3 2 解得解得 2 l BG 工程力學(xué) 40 例六例六 平面結(jié)構(gòu)如圖所示，不計各桿自平面結(jié)構(gòu)如圖所示，不計各桿自 重。重。 5 kNP 12 kN mM 1 2 kN mq 2mL 0 60q 已知已知： 試求：支座試求：支座A、C處的約束反力處的約束反力 工程力學(xué) 41 FDY FDX FE P E D 解：先解：先取取ED為研究為研究對象，受力如圖。對象，受力如圖。 列平衡方程列平衡方程 020F qsin)(LPLFM ED kN 4 35 E F 工程力學(xué) 42 P FE E Q 2L2L FC CDB FBY FBX (b) （2）取）取EDCB組合體為研究

22、對象，畫受力圖組合體為研究對象，畫受力圖 列平衡方程列平衡方程 思考：怎么列方程簡單？思考：怎么列方程簡單？ 工程力學(xué) 43 2L (c) P FC FE E Q 2L CD B M FAY FAX MA （3 3）取整體為研究對象，畫出受力圖）取整體為研究對象，畫出受力圖 列平衡方程，求解出列平衡方程，求解出 FAX、FAY、MA 思考：該題還可思考：該題還可 以怎么做？以怎么做？ 工程力學(xué) 44 齒輪傳動機(jī)構(gòu)如圖所示齒輪傳動機(jī)構(gòu)如圖所示 。齒輪。齒輪的半徑為的半徑為r，自重，自重P1。 齒輪齒輪的半徑為的半徑為R=2r，其上固，其上固 定一半徑為定一半徑為r的塔輪的塔輪，輪，輪與與 共重為

23、共重為P2 = 2P1。齒輪壓力。齒輪壓力 角為角為 =20,被提升的物體被提升的物體C重重 為為P = 20P1。 求求：（：（1）保持物保持物C勻速上升時勻速上升時 ，作用于輪上力偶的矩，作用于輪上力偶的矩M ； （2）光滑軸承）光滑軸承A，B的約的約 束力。束力。 A B r r R M C P P1 P2 例七例七 工程力學(xué) 45 齒輪某一特定圓上的比值p/和 壓力角都定為標(biāo)準(zhǔn)值，這個圓 稱為，直徑用d表示. 嚙合力與齒輪分度圓切線的夾角嚙合力與齒輪分度圓切線的夾角,標(biāo)準(zhǔn)值為標(biāo)準(zhǔn)值為20 。 相鄰兩齒同側(cè)齒廓間的弧長稱 為該圓的p 工程力學(xué) 46 n F q n F q A B r r

24、 R M C P P1 P2 嚙合力與齒輪分度圓切線的夾角嚙合力與齒輪分度圓切線的夾角,標(biāo)準(zhǔn)值為標(biāo)準(zhǔn)值為20 。 工程力學(xué) 47 解：解：(1). (1). 取取，輪及重物為研輪及重物為研 究對象，受力分析如圖所示。究對象，受力分析如圖所示。 A B r r RM C III P P1 P2 C B K P FBx FBy q Fn P2 列平衡方程列平衡方程 0cos, 0 0cos, 0 0sin, 0 n 2n n q q q RFrPFM PFPFF FFF B Byy Bxx 解得解得 121 1n 32643 6410 PFPPFPF P R Pr F ByBx ,. ,. cos

25、q 工程力學(xué) 48 2. 2. 再取再取輪為研究對象，輪為研究對象， 受力分析如圖所示。受力分析如圖所示。 A B r r RM C III P P1 P2 A K M P1 FAx FAy q n F 列平衡方程列平衡方程 解得解得 0cos , 0 0cos, 0 0sin , 0 n 1n n q q q rFMFM PFFF FFF A Ayy Axx rPrFM PFPF PFF Ay Ax 1n 1n1 1n 10cos 9cos 64. 3sin q q q 工程力學(xué) 49 前面討論了平面問題中幾種力系的平衡問題。注意到：前面討論了平面問題中幾種力系的平衡問題。注意到： 平面任意

26、力系有平面任意力系有3 3個，個，平面力偶系只有平面力偶系只有1 1個。個。 平面匯交力系和平面平行力系各有平面匯交力系和平面平行力系各有2 2個，個， 因此，對于每一種力系，能求解的未知數(shù)的數(shù)目也是一定的。因此，對于每一種力系，能求解的未知數(shù)的數(shù)目也是一定的。 若系統(tǒng)中的未知約束力數(shù)目恰好等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)若系統(tǒng)中的未知約束力數(shù)目恰好等于獨(dú)立平衡方程的數(shù) 目，則這些未知數(shù)就可全部由平衡方程求出，這類問題稱目，則這些未知數(shù)就可全部由平衡方程求出，這類問題稱 為靜定問題。為靜定問題。 若未知約束力的數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，僅僅用若未知約束力的數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，僅僅用 剛體靜力學(xué)平衡方程不能全部求出那些未知數(shù)，這類問題剛體靜力學(xué)平衡方程不能全部求出那些未知數(shù)，這類問題 稱為超靜定（或靜不定）問題。稱為超靜定（或靜不定）問題。 工程力學(xué) 50 圖（圖（a） ，（，（c）均為靜定問題；而圖（）均為靜定問題；而圖（b），（），（d）均）均 為超靜定問題。為超靜定問題。 工程力學(xué) 51 A q B M A q B M A q B M q