黎曼積分和勒貝格積分定義的比較大學論文

1、1引言 32積分理論的發(fā)展 33黎曼積分和勒貝格積分定義的比較 43.1 黎曼積分 43.2勒貝格積分 54黎曼積分與勒貝格積分的關(guān)系 65黎曼積分和勒貝格積分性質(zhì)的比較 75.1被積函數(shù)絕對可積性的比較 75.2被積函數(shù)的有界性的比較 75.3中值定理 85.4被積函數(shù)連續(xù)性的比較 95.5收斂條件 96黎曼積分（廣義）與勒貝格積分區(qū)別及聯(lián)系 117勒貝格積分的某些推廣 128結(jié)束語 13參考文獻 14致謝 1515黎曼積分和勒貝格積分的比較摘 要：本文章我們將從學習過的黎曼積分和勒貝格積分的知識出發(fā)，探討和歸納出黎曼積分和勒貝格積分兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系，通過兩者的定義、被積函數(shù)的連續(xù)性，有

2、界性、收斂條件、中值定理、絕對可積性以及廣義黎曼積分和 勒貝格積分的比較上，從而說明了勒貝格積分在處理一些黎曼積分難以解決的問 題上時比較的具有優(yōu)勢，同時還指出了勒貝格積分是黎曼積分的重要推廣，但是卻不是黎曼反常積分的推廣。關(guān)鍵詞：黎曼積分，勒貝格積分，連續(xù)性，有界性。Riema nn in tegral and the Lebesgue in tegralAbstract : In mythesis, based on the knowledge of the Riemannintegral and the Lebesgue integral,we want to explore and s

3、ummarize the differeneeand conn eeti on betwee n the Riema nn in tegral and the Lebesgue in tegral. Through the definition of both items, the continuity and boundedness of the in tegra nd, the eon verge nee eon diti on, the in termediate value theorem, absolute Integrability and the eomparison of th

4、e broad sense of Riemann in tegral and the Lebesgue in tegral, It shows Lebesgue in tegral has some advantages in the treatment of somediffieult problems on Riemannintegral, and also pointes out that the Lebesgue integral is an important generalization of Riemannintegral,and it is not the promotion

5、of Riemannano malous in tegral.Keywords:Riema nn in tegral,Lebesgue in tegral,eon ti nu ity,boun ded ness.1引言黎曼積分和勒貝格積分分別是數(shù)學分析和實變函數(shù)的主要核心內(nèi)容。雖然萊布尼茨和牛頓兩人發(fā)現(xiàn)了微積分， 而且還給出了定積分的相關(guān)論述，但是現(xiàn)在我 們所學習的教科書中有關(guān)定積分的現(xiàn)代化定義是黎曼積分給出來的。勒貝格積分是黎曼積分非常重要的推廣，勒貝格積分與黎曼積分的最主要不同在于前者是對 函數(shù)的函數(shù)值的區(qū)域進行定義區(qū)分，而后者是對函數(shù)定義域進行定義劃分。這兩 種積分既有聯(lián)系又有區(qū)別，通過

6、對這兩種積分的對比研究，可以讓我們加深對積 分理論及應(yīng)用的更多理解。研究清楚這些問題對我們學習數(shù)學非常重要， 所以以下我們將對這些問題進 行一一深入探討與研究。2積分理論的發(fā)展在很早的時候柯西對連續(xù)函數(shù)做出了積分的定義。黎曼在柯西的基礎(chǔ)上對“基本上”連續(xù)的函數(shù)積分進一步給出了相關(guān)定義。很早之前人們運用黎曼積分 來進行計算曲邊形的面積、物體的重心以及物理學上的功和能等方面都是很方便 的。但是隨著深入的認識，人們便開始經(jīng)常地去處理解決一些復(fù)雜的函數(shù)。例如由一列性質(zhì)優(yōu)良的函數(shù)組成的級數(shù)所定義出來的函數(shù)，和兩個變元的函數(shù)對一個變元積分后所得到的一元函數(shù)等。在談?wù)撍鼈兊目煞e性、可微性、連續(xù)性時，經(jīng) 常遇

7、到極限與積分能否交換順序的相似問題，通常只有在很強的假定下(一致收 斂)才能對這種問題作出確定性的回答。 所以，人們在理論和使用上都急切的想 要建立一種新的積分，它既能夠維持黎曼積分在計算和幾何直觀上具有有效性， 又能夠確保極限與積分交換順序等條件上有很大的改良與突破。這就需要對黎曼積分概念進行改良。把積分學推向進步的是勒貝格，他在1902年成功引進一種新的積分一一勒貝格積分，同時還引入了一門新的數(shù)學分支學科一一實變函數(shù) 論。勒貝格理論主要包括勒貝格積分概念、點集的測度和可測函數(shù)，1872年，康托提出集合論，引進了點集的概念，間斷點可以看做一個整體進行考察， 這樣 子就為間斷點與可積性關(guān)系的探

8、究提供了辦法，勒貝格在原來的基礎(chǔ)上推廣了長 度，建立點集測度的概念，與此同時，定義了內(nèi)測度 m“(E)和外測度m (E)，如 果m(E)=m (E)時，我們稱E為可測集，并稱內(nèi)測度和外測度的公共值 I為點集E的測度。勒貝格的測度概念把黎曼可積函數(shù)類變得非常的了然。勒貝格又把可測集上的函數(shù)定義為可測函數(shù)，那么E是一有界可測集，f(x)是定義在E上的實函數(shù)，如果對任一實數(shù)a，點集E=x: f (x) . a還是勒貝格可測集，則f (x) 是E上的可測函數(shù)。容易知道，可測函數(shù)不是連續(xù)函數(shù)的簡單推廣，它是在測度 論基礎(chǔ)上構(gòu)造出來的，但它能把連續(xù)函數(shù)、可導函數(shù)、單調(diào)函數(shù)作為特例加以概 括。能夠證明，區(qū)間

9、上的任意連續(xù)函數(shù)都是可測函數(shù)，狄利克雷函數(shù)則是不連續(xù) 的可測函數(shù)。利用可測函數(shù)，在研究黎曼積分的定義方式后， 考慮到由于間斷點 所造成的振幅過大的困難，勒貝格大膽地改變了對黎曼積分作函數(shù)定義域分割的 方法，而采用對函數(shù)值域分割的方法，從而尋求到“縮小”振幅，消除間斷點困 難的簡單、巧妙而富有哲理性的逆向思維方式。并在點集論、測度論、可測函數(shù) 等已有基本概念上創(chuàng)建一種新的積分類型一一勒貝格積分。徹底解決了黎曼積分 自身局限性所造成的各種困難問題，定義了他自己的積分概念。這兩種積分既有區(qū)別又有聯(lián)系，通過對這兩種積分的對比研究，能讓我們加深對積分理論及應(yīng)用 的理解。3黎曼積分和勒貝格積分定義的比較3

10、.1黎曼積分黎曼積分是為了處理計算平面上封閉曲線圍成圖形的面積問題而產(chǎn)生的，它是從劃分閉區(qū)間a,b 1上著手,利用極限想法來進行定義的。定義1設(shè)函數(shù)f(x)在a,b 1上有以下定義。隨意給 bb】一個劃分T :a = x 人、 0時，那么積分和J的極限是I，即 k=1l(m lim f ( k:k =1，且數(shù)I與劃分T無關(guān)，也與；的取值無關(guān)，則稱 函數(shù)f (x)在a, b 1黎曼可積，I是在a, b 1上的黎曼積分，表示為I =(R). f(x)dx。假設(shè)當l(T) 0時，積分和二n極限不存在，稱函數(shù)f (x)在a,b】 a上是不可積。黎曼積分的定義知道：若函數(shù)f(x)在a,b上黎曼可積，那么

11、f(x) 在h,b 上必定有界。換句話說，若函數(shù)f (x)在a,b 1上無界，則f (x)在!a,b上必定不是黎曼可積3.2勒貝格積分利用與黎曼積分類似的思想，從劃分函數(shù)值域著手利用極限思想來定義勒貝 格積分。定義2設(shè)函數(shù)f(X)是a,b 上的有界可測函數(shù)，m :： f (x) . M。任意給m, M 1個劃分 T: m = y ： y_ ： yn = M。然后考慮集合 Ek = x： yk_ f (x) ： yk，nn當k=1,2_,n，給勒貝格定義小和s及大和S，s =為ykmEk，S =為ykmEk，k=4k=J則會有 inf S 二sups 和 0 zS-s ： t(b a)，其中 t

12、 =max yk - yk：k =1,2，n。所 以定義函數(shù)f (x)在la, b 1上的勒貝格積分為inf S二sups = (L) & f (x)dx。由定義可以知道在有界區(qū)間上的有界可測函數(shù)勒貝格積分總是存在的。比較黎曼積分的定義1和勒貝格積分的定義2,會使人們覺得，黎曼積分是對區(qū)間la,b 1 進行劃分來思索的，然而勒貝格積分是從對函數(shù)值域進行劃分來思索的。但這并 不是它們真正區(qū)分的實質(zhì)。因為我們也可以不需要劃分函數(shù)值域的方法去定義 L 黎曼積分，以下稱為3定義。定義3設(shè)f (x)是Rn上的非負可測的簡易函數(shù)，它在點集A(i =1,2,，p)上pp取值cf(x)c/A, A二Rn,Aj

13、 Aj-_(i = j)。假如E是可測集，那么定義iTip非負可測簡易函數(shù)f (x)在E上的勒貝格積分為(L)已f(x)dxcix(E Ai)。設(shè)i Af (x)是ERn上的非負可測函數(shù)，我們定義f (x)是E上的勒貝格積分，為(L)f(x)dx= sup h(x)dx:h(x)是Rn上的非負可測簡易函數(shù)。若Eh(x)蘭(x)x生 E(L) E f(X)dx ，則稱f (x)在E上是勒貝格可積的。設(shè)f (x)是E Rn上的可測函數(shù)，f lx)二max f(x),0，f (x)二maX -f (x),0，如果積分(L) * f(x)dx中最起碼有一個是有限的，則稱(L) E f (x)dx =

14、(L) jE f x)dx-(L) ! f x)dx為 f(x)在 E 上的勒貝格積分；如果上面式子右邊兩個積分都有限時，則稱f(x)在E上是勒貝格可積的。從勒貝格積分的定義3可以知道，在這沒有對函數(shù)值域作出任何的劃分，而是從非負可測簡單函數(shù)角度來定義可測函數(shù)的勒貝格積分，固然勒貝格積分的這兩個定義是相等的。雖然在 a,b 上黎曼可積的函數(shù)是勒貝格可積的，但反過來 說明就不一定是成立的。所以對區(qū)間作劃分上的區(qū)別只是表面現(xiàn)象， 并不是勒貝 格積分定義的本義性質(zhì)。4黎曼積分與勒貝格積分的關(guān)系我們已經(jīng)差不多建立好了勒貝格積分理論，在進一步說明這一理論的其他內(nèi) 容之前，我們可以先揭示它與黎曼積分的關(guān)系

15、。它們的關(guān)系能用一個公式來表示， 它不但闡明勒貝格積分是黎曼積分的一種推廣，而且為一般有界函數(shù)的黎曼可積 性提供了一個簡單的判別準則。本文將從一維的情形進行探討，在這里要用到黎 曼積分理論的下述結(jié)果：設(shè)f(x)是定義在I = a,b上的有界函數(shù)， n是對l.a,b所做的分劃序列：(n):a =x0(nX)vvxkn(n)=b(n =1,2,)，Mnf = maxXj(n)Xi):1 蘭 i 蘭 kn，減P = 0，若令(對每個i以及n ) M )=supf (x)必)蘭x蘭xf， mj(n)=inf f (x)必丿)蘭x蘭Xj(n，貝U關(guān)于f (x)的Darboux上，下積分下述等式成-bkn

16、立： f(x)dx = lim-aknbknn匚7引理1設(shè)f (x)是定義在I二a,b 1上的有界函數(shù),S M)-x(n L )， f f (x dx = lim mF Xx - x(n L )。記-(x)是 f (x)在!a,b 上的” ab振幅(函數(shù))，我們有xdx二f(x)dx f (x)dx。左端是(x)在I上的勒貝1L bL a格積分。證明 因為f (x)在a,b 1上是有界的，所以-(x)是!a,b上的有界函數(shù)，所以 L a,b 。對于之前所述說的分劃序列 n，作下列函數(shù)列有M i 0 ,X E (x i)4, xf)、0,x是曲的分點，i =1,2,心，n =1,2,，E =x

17、a, b】:x是 A In =1,2,的分點，顯然m E A0且有l(wèi)im - n (x)二-(x), xa,b】E。我們記A, B各是f (x)在 a,b】上的上確界、下確界，存在一切x，有 .,n (x)豈A - B，所以根據(jù)控制收斂定理(控制函數(shù)是常數(shù)函數(shù))可以得到lim (x)dx -x dx。從另一方面看，因為kn妙 x dx =瓦(M )mf xF)x(n)knk n=X M f認F Lx)匸送mf認卩)一 xU 4 )i 4i 4-bb得至U |門x dx = lim |門 j x dx = f x dx - f x dx。定理1函數(shù)黎曼可積的充分必要條件是函數(shù)不連續(xù)點的一切要成一

18、零測 集。5黎曼積分和勒貝格積分性質(zhì)的比較5.1被積函數(shù)絕對可積性的比較我們都知道如果f在a,b 1上是可積的，那么f在a,b 1上也是可積的，這就 說明了對于勒貝格積分來說，f在a,b】上可積與| f在la,b】上可積是相互等的， 但是對于黎曼積分來說，這個性質(zhì)反而不成立。x是有理數(shù).例1 f(x)=J，X；，顯然，f(x)在0,1上不是黎曼可積；但是日，X是無理數(shù)f (x)三1， f (x)在0,1 1上黎曼可積。5.2被積函數(shù)的有界性的比較由定理1我們知道函數(shù)黎曼可積的充分必要條件是函數(shù)不連續(xù)點的全體要成一零測集，函數(shù)連續(xù)點的全體所構(gòu)成的集合也一定是稠密集，簡略說明，黎曼積分理論是針對連

19、續(xù)函數(shù)或“基本上”連續(xù)的函數(shù)而建立，同時說明可積函數(shù)必 定是有界的。定理2如果函數(shù)f黎曼可積，那么f必定有界。設(shè)f(x) _0在可測集E Rq上是可測的，這時我們可定義f(x)dx=limf(x)dx，稱f (x)在E上的勒貝格積分。其中En “EnEn =EnKn, Kn =X=(X1,X2, Xq): x 乞 n。令 f (x) =max f (x),C, f _(xmax -f (x),0，則 f (x) = f (x) - f (x)，容易得 出，如果f(x)在E上是可測的，那么(x)與f(x)在上也是可測，反之亦然。而且對于測度有限的可測集上的可積函數(shù)f(X)來說，總是有e f (x

20、)dx 二已 f(x)dx-已 f _(x)dx。定義4設(shè)f(x)在可測集E Rq上是可測的，假如在上述定義下的e f (x)dx和e f -(x)dx不同時為 時，那么我們稱f(x)在E上積分是確定的， 并且定義e f (x)dx = e f O)dx - e f lx)dx是f(x)在E上的勒貝格積分，要是此 積分有限，我們稱f(x)在E上勒貝格可積。定理3設(shè)f (x)為可測集E Rq (mE ：)上的有界函數(shù)，那么f (x)在E上勒 貝格可積的充分必要條件是f(x)在E上是可測的。由此我們知道勒貝格積分與黎曼積分相比較下有著明顯的優(yōu)點，它將可積函數(shù)類擴大成一般可測函數(shù)，而不僅僅是限于有界

21、函數(shù)。5.3中值定理 在黎曼積分中，有以下中值定理： 定理4 (第一中值定理)設(shè)f在a,b 1上連續(xù)，則存在 - a,bi，使得ba f (x)dx = f ( )(b-a)。定理5 (第二中值定理)設(shè)f在a,b 1上可積，(i) 如果函數(shù)g在a,b 上遞減，且g(x)_O，則存在 a,b，使得ba f (x)g(x)dx =g(a) a f (x)dx。(ii )如果函數(shù)g在a,b 上遞增，且g(x)_O，則存在!a,b，使得bbf(x)g(x)dx = g(b)匚f (x)dx。推論2設(shè)函數(shù)f在a,b 1上可積，如果g為單調(diào)函數(shù)，則存在 la,bl，使得bba f (x)g(x)dx =g

22、(a) a f (x)dx g(b) f (x)dx。在勒貝格積分中，我們知道了從非負可測函數(shù)積分的幾何意義到一般可測函 數(shù)積分的幾何意義。定理6 (非負可測函數(shù)積分的幾何意義)設(shè) f(x)是可測集E Rn上的非負函數(shù)，那么當f(x)在E上可測時，有e f (x)dmG(E, f)推論 3 設(shè) f(x)是 Eu Rn 上可積函數(shù)，則 E f (x)dx = mG(E, f mG(E, f J 5.4被積函數(shù)連續(xù)性的比較如果f (x)是定義在a,b 上的有界函數(shù)，那么f(x)在la,b 1上是黎曼可積的充 分條件是f(x)在a,b上的不連續(xù)點集是零測度集。定理7定義在有限區(qū)間a,b 1上的函數(shù)若

23、是黎曼可積，那么勒貝格可積，并bb且積分值是相等的，即(R) f(x)dx=(L) f (x)dx。LaLa這表明了 f(x)在a,b 1上黎曼可積與勒貝格積分是相等的，反過來證明勒貝格可 積的函數(shù)未必黎曼可積。例2f(x)=x，；在0,1 上的函數(shù)，不是黎曼可積的，卻是勒貝格、1, x 壬 0, 1Q可積的。那是因為除了點X=1外，閉區(qū)間0,1 1上的其余點都是屬于間斷點，那么 它在一正測度集上是間斷的，所以它不是黎曼可積的，但是因為f (x)是有界可測，所以說這個函數(shù)是勒貝格可積的。5.5收斂條件在黎曼積分的意義下，函數(shù)列只有滿足一致收斂的條件，才能夠保證極限與 積分的交換順序，但是這一條

24、件過分強了。如 fn(x) =xn(O豈X，n =1,2,， 當n； :時，fn (x)收斂但是非一致收斂于f (x) = :，然而此時仍然有nm：(R)fn(X)dX =01= (R)tlJmcfn(x)dx這就說明，黎曼積分收斂定理中的一致收斂只是積分運算與極限運算交換的 充分條件，而不是必要條件。在勒貝格意義下，不是一致收斂也能保證積分與極限運算的交換的定理8 (勒貝格控制收斂定理)設(shè)(1) fn(x)是可測集E上的可測函數(shù)列;(2) fn(x) EF(x)a ex E，n =1,2,，并且 F(x)在 E 上 L 可積;(3) 什&)= f(X)(依測度收斂)則 F(x)在 E 上 L

25、 可積，并且 lim fn(x)dx f (x)dx。EE通過定理6, 7, 8能對黎曼積分收斂定理作出了一些適當?shù)母倪M，改進后的定理是：定理9設(shè)fn(x)(n =1,2,)、f(x)和F(x)在la,b上R可積且(1)治)處處收斂于f(x)；(2) fn (x) F (x)bb那么有 lim (R) a fn (x)dx = ( R) a f (x)dx O下面我們重新來考察前面所提到的函數(shù)列fn(x)二xn(0空X乞1), n = 1,2,，和極限函數(shù)f(X)二0；0亍1；,顯然fn(x)和f(x)滿足定理9的條件，因此，雖然 fn(x)不一致收斂于f (x)，但是由定理9可知必定有1 1

26、 1lim (R) 0 fn (x)dx = (R) lim fn(x)dx = (R) f (x)dx。由此得知，定理9的確比原來的黎曼積分收斂定理要優(yōu)越，但是還要注意， 定理9要求fn (x)在b,b 1上必定要一致有界的(因F(x)可積必有界)，這顯然使得積分號下取極限這一重要運算手段受到了非常大的限制與影響，不僅僅如此, 定理9中關(guān)于極限函數(shù)f (x)可積性的假設(shè)也是不能丟掉的。例3將0,1 1中全體有理數(shù)列出：r,r2作函數(shù)列fn(X)1, X =1，2,，n( n= 1,2,；O0,其他顯然對每個自然數(shù)n, fn(x)是0,11上黎曼可積的函數(shù)，并且積分值都是零,所以 lim fn

27、 x i= f x =J, x為0,1中的有理數(shù);衛(wèi)，x為0,1中的無理數(shù)容易知道極限函數(shù)F(x)是狄利克雷函數(shù)，它不是黎曼可積的，那就沒有辦 法去討論積分號下取極限的問題。另一方面，從定理8得出，在勒貝格積分理論中，沒有要求函數(shù)列一定要一 致有界，只要有一個控制函數(shù)就行；也沒有要求fn(x)必須處處收斂于F(x)，只要fn(x)能夠依測度收斂F(x)就行，也不用假設(shè)極限函數(shù)的可積性，這是因為定 理8本身就可以保證極限函數(shù)一定是可積的。例如，對定理9中的fn(x)和f (x),必定有 n馬(L)阮fn (x)dx = (L) f (x)dx。通過以上幾點可以知道，黎曼積分相對于勒貝格積分有著明

28、顯的局限性。6黎曼積分(廣義)與勒貝格積分區(qū)別及聯(lián)系勒貝格可積函數(shù)的范圍要比黎曼積分廣，這主要體現(xiàn)在勒貝格積分包含了黎 曼積分，勒貝格積分與極限的交換容易達成主要表現(xiàn)在：積分與極限的交換問題在勒貝格積分范圍內(nèi)比黎曼積分范圍內(nèi)更為完美的解決，主要體現(xiàn)在控制收斂的定理上。對于正常的黎曼積分和勒貝格積分有如下的關(guān)系：定義在有限區(qū)間上的 函數(shù)，如果黎曼積分可積，那么勒貝格積分可積，并且積分值是相等的，但是相 對于廣義積分來說，卻不一定是這樣。定理10設(shè)f(x)是a,b】上幾乎處處連續(xù)的函數(shù)，并且對任意的 ；0，f(x) 在a ；,b 1上是有界的，且f (x)在a,b 1上是不變號的，則b(R) f(

29、x)dx = Au(L)j,bf (x)dx = A。注：上述定理說明了不變號的函數(shù)廣義黎曼積分和勒貝格積分的關(guān)系，那么對a,b 1上變號的函數(shù)f(x)結(jié)論是不成立的。由此我們知道廣義黎曼積分是推不b出勒貝格積分的，反之若(OQbjf (x)dx存在，那么(R) f (x)dx也存在。 上面我們考慮的是有界區(qū)域上的無界函數(shù)，下面我們將考慮無限區(qū)域情形。 定理11若f(x)在，：上連續(xù)并且是黎曼可積的，則有(R)匚f(x)dx = (L )J：f (x)dx。證明：因為f(x)在：，：上連續(xù)并且黎曼可積，由定義可知，對任意的閉區(qū)間 b,b 1，f (x)在 a,b 上是黎曼可積的，且有 limL

30、 abf(x)dx=：L _f(x)dx b;二一-并有限，所以，對每個 n A1，令 fn(x) =| f (x) X n,n x )，x n, nu (_co，邑)，:,r，根據(jù)單調(diào)收斂則 fn (x) : n卻是可測函數(shù)列，且|m，fn(X)=| f(x，xe定理可知lim (L|f (x)dx =(L yt (xdx。所以，f (x)在(q ,2)上勒貝格可 積，并且f(xXL,n：(xk f(x)，(-曲址)，再由勒貝格控制收斂定理知二：nnn-(L )仁 f (X)dx =(L)L(x) X S Jx dx = nlimJL)L f(X)dx =lim(R f (x)dx =( R

31、 )Jf (x)dxbobo則(Rf (x)dx =(L )J f (x)dx- -定理12設(shè)f(x)是E = a,七1上的非負函數(shù)，并且是廣義黎曼可積，那么f(x)在 a,p 上勒貝格可積，且(L )廣f (x)dx = (R)jf (x)dx。證明 因為f(x)在E上是廣義黎曼可積，且是非負連續(xù)函數(shù)，則對任意自然 數(shù)n ， f(x)在En二a, nl上黎曼可積，貝U由閉區(qū)間上兩個積分的關(guān)系可得nnnnL f(x)dx 二 R ii f (x)dx，所以 lim L ii f (x)dx = lim Rj| f (x)dx，因此 “a“an ： anaL a f(x)dx 二 R a f(x

32、)dx。7勒貝格積分的某些推廣我們知道，勒貝格的積分運算不能夠完全的解決由函數(shù)的有限導數(shù)去求其原 函數(shù)的問題，下面我們一起看看勒貝格積分的一些推廣，它們能夠完全的去解決 這個問題。首先Hen stock把R積分的.定義稍微的修改，將變成(x)，就能得 到Hen stock積分，對于:.(x)的精細分法定義如下：定義5在a,b 1上給出正值函數(shù)：(x) . 0,要求在a,b 1上的分法T是：(x)精 細的，是指T的有序分點a = X。：右：人二b與結(jié)點I,；,1，對每一個 i(i =1,2,n)，都有廠 xi4,xj匚j ,匚。定義6設(shè)f (x)定義于a,b ,若存在常數(shù)I，貝U具有下列關(guān)系：對-；0， 有：x 0，對任何：x精細分法，其分點為a =x。:： Xi :：Xn =b,結(jié)點為V冷，都有遲fGUxi洛)I 鞏町。i那么稱f (x)在la,b 1上是Hen stock意義下可積的，并且稱f (x)在la, b 1上的bH積分，記作H f(x)dx = l。a這個積分定義和 R積分定義不相同