必修三教學(xué)設(shè)計：古典概型

1、 3.2古典概型 3.2.1古典概型一、教材分析本節(jié)課是高中數(shù)學(xué) 3 (必修)第三章概率的第二節(jié)古典概型的第一課時，是在隨機事件的概率之后，幾何概型之前，尚未學(xué)習(xí)排列組合的情況下教學(xué)的古典概型是一種特殊的數(shù)學(xué)模型,也是一種最基本的概率模型，在概率論中占有相當(dāng)重要的地位 學(xué)好古典概型可以為其他概率的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時有利于理解概率的概念，有利于計算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問題根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實際水平，通過模擬試驗讓學(xué)生理解古典概型的特征：試驗結(jié)果的有限性和每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性觀察類比各個試驗，歸納總結(jié)出古典概型的概率計算公式，體現(xiàn)了化歸的重要思想，掌握列舉法，學(xué)會運

2、用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想解決概率的計算問題概率教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解隨機現(xiàn)象與概率的意義，加強與實際生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評價身邊的一些隨機現(xiàn)象 適當(dāng)?shù)卦黾訉W(xué)生合作學(xué)習(xí)交流的機會，盡量地讓學(xué)生自己舉出生活和學(xué)習(xí)中與古典概型有關(guān)的實例使得學(xué)生在體會概率意義的同時，感受與他人合作的重要性以及初步形成實事求是的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的求學(xué)精神二、教學(xué)目標(biāo)1知識與技能：(1) 正確理解古典概型的兩大特點：1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等；(2)掌握古典概型的概率計算公式:A包含的基本事件個數(shù)總的基本事件個數(shù)2、過程與方法：(1) 通過對現(xiàn)實生活中具體的概

3、率問題的探究，感知應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的方法，體會數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力；(2) 通過模擬試驗，感知應(yīng)用數(shù)字解決問題的方法，自覺養(yǎng)成動手、動腦的良好習(xí)慣。3、情感態(tài)度與價值觀：通過數(shù)學(xué)與探究活動，體會理論來源于實踐并應(yīng)用于實踐的辯證唯物主義觀點三、重點難點教學(xué)重點：理解古典概型的概念及利用古典概型求解隨機事件的概率教學(xué)難點：如何判斷一個試驗是否是古典概型，分清在一個古典概型中某隨機事件包含 的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)四、課時安排1課時五、教學(xué)設(shè)計(一) 導(dǎo)入新課思路1(1) 擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，結(jié)果只有2個，即正面朝上”或 反面朝上”它們都是隨機事件(2) 一個盒

4、子中有10個完全相同的球，分別標(biāo)以號碼1,2,3，懺中任取一球，只有10種不同 的結(jié)果，即標(biāo)號為1,2,3,，10.思考討論根據(jù)上述情況，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特點？為此我們學(xué)習(xí)古典概型，教師板書課題.思路2將撲克牌(52張)反扣在桌上，先從中任意抽取一張，那么抽到的牌為紅心的概率有多 大？是否一定要進行大量的重復(fù)試驗，用 出現(xiàn)紅心”這一事件的頻率估計概率？這樣工作量較大且不夠準(zhǔn)確有更好的解決方法嗎？把抽到紅心”記為事件B,那么事件B相當(dāng)于 抽到紅心1”，抽到紅心2” ,抽到紅心K”這13種情況，而同樣抽到其他牌的共有39種情況；由于是任意抽取的，可以認為這52種情況的可能性是相等的所以，當(dāng)出

5、現(xiàn)紅心時抽到紅心1”，抽131到紅心2”，抽到紅心K”這13種情形之一時，事件B就發(fā)生，于是P(B)=.為此我們學(xué)52 4習(xí)古典概型(二) 推進新課、新知探究、提出問題試驗一：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，分別記錄 正面朝上”和 反面朝上”的次數(shù)，要求每個數(shù)學(xué)小組至少完成 20次(最好是整十?dāng)?shù))，最后由學(xué)科代表匯總；試驗二：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，分別記錄“1點” “2點” “點” “點”“點”和“6點”的次數(shù)，要求每個數(shù)學(xué)小組至少完成60次(最好是整十?dāng)?shù))，最后由學(xué)科代表匯總(1) 用模擬試驗的方法來求某一隨機事件的概率好不好？為什么？(2 )根據(jù)以前的學(xué)習(xí)，上述兩個模擬試驗的每個結(jié)果之間都有什么

6、特點？(3) 什么是基本事件？基本事件具有什么特點？(4) 什么是古典概型？它具有什么特點？(5) 對于古典概型，應(yīng)怎樣計算事件的概率？活動：學(xué)生展示模擬試驗的操作方法和試驗結(jié)果，并與同學(xué)交流活動感受，討論可能出現(xiàn)的情況，師生共同匯總方法、結(jié)果和感受討論結(jié)果：(1)用模擬試驗的方法來求某一隨機事件的概率不好，因為需要進行大量的試驗，同時我們只是把隨機事件出現(xiàn)的頻率近似地認為隨機事件的概率，存在一定的誤差(2) 上述試驗一的兩個結(jié)果是正面朝上”和反面朝上”它們都是隨機事件，出現(xiàn)的概率是相 等的，都是0.5.上述試驗二的6個結(jié)果是“1點”“點”“點”“點”“點”和“6點”它們也都是1隨機事件，出現(xiàn)

7、的概率是相等的，都是丄.6(3 )根據(jù)以前的學(xué)習(xí)，上述試驗一的兩個結(jié)果正面朝上”和反面朝上”它們都是隨機事件；上述試驗二的6個結(jié)果“1點”“點”“點” “點” “點”和“6點”它們都是隨機事件，像這類隨 機事件我們稱為基本事件(elementary event);它是試驗的每一個可能結(jié)果 基本事件具有如下的兩個特點： 任何兩個基本事件是互斥的； 任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和(4)在一個試驗中如果 試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；(有限性) 每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等(等可能性)我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率模型(classical models of

8、probability )，簡稱古典概型向一個圓面內(nèi)隨機地投射一個點，如果該點落在圓內(nèi)任意一點都是等可能的，你認為這是古典概型嗎？為什么？因為試驗的所有可能結(jié)果是圓面內(nèi)所有的點，試驗的所有可能結(jié)果數(shù)是無限的，雖然每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的 可能性相同”但這個試驗不滿足古典概型的第一個條件如下圖，某同學(xué)隨機地向一靶心進行射擊 ，這一試驗的結(jié)果只有有限個：命中10環(huán)、命中9環(huán)命中5環(huán)和不中環(huán)你認為這是古典概型嗎？為什么？不是古典概型，因為試驗的所有可能結(jié)果只有7個而命中10環(huán)、命中9環(huán)命中5環(huán)和不中環(huán)的出現(xiàn)不是等可能的，即不滿足古典概型的第二個條件（5 ）古典概型，隨機事件的概率計算對于實驗一中，出現(xiàn)正面

9、朝上的概率與反面朝上的概率相等，即P （正面朝上”）=P （反面朝上”）由概率的加法公式，得P （正面朝上”）+P （反面朝上”）=P （必然事件）=1.因此1P （正面朝上”）=P （反面朝上”）=一 2即P （出現(xiàn)正面朝上1出現(xiàn)正面朝上所包含的基本事件的個數(shù)=2=基本事件的總數(shù)試驗二中，出現(xiàn)各個點的概率相等，即P （ “1點”）=P （ “2點”）=P （ “3點”）=P （ “4點”）=P （ “5點”）=P （ “6點”）.反復(fù)利用概率的加法公式，我們有P （ “1點” +P （ “2點”）+P （ “3點”）+P （ “4點”）+P （“5點”）+P （ “6點”）=P （必然事件）

10、=1.1所以 P （ “1點”）=P （ “2點”）=P （ “3點”）=P （ “4點”）=P （ “5點”）=P （ “6點”）=一.6進一步地，利用加法公式還可以計算這個試驗中任何一個事件的概率，例如，11131P （出現(xiàn)偶數(shù)點 ” =P （ “2點” +P （ “4點” +P （ “6點” =一 +=.6 6 6 6 2即P （出現(xiàn)偶數(shù)點3出現(xiàn)偶數(shù)點所包含的基本事件的個 數(shù)丁基本事件的總數(shù)因此根據(jù)上述兩則模擬試驗，可以概括總結(jié)出，古典概型計算任何事件的概率計算公式為:A所包含的基本事件的個 數(shù) 基本事件的總數(shù)在使用古典概型的概率公式時，應(yīng)該注意： 要判斷該概率模型是不是古典概型； 要找

11、出隨機事件 A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)F面我們看它們的應(yīng)用(三) 應(yīng)用示例思路1例1從字母a,b,c,d中任意取出兩個不同字母的試驗中，有哪些基本事件？活動：師生交流或討論，我們可以按照字典排序的順序，把所有可能的結(jié)果都列出來解：基本事件共有6個:A=a,b,B=a,c,C=a,d,D=b,c,E=b,d,F=c,d.點評：一般用列舉法列出所有基本事件的結(jié)果，畫樹狀圖是列舉法的基本方法分布完成的結(jié)果(兩步以上)可以用樹狀圖進行列舉變式訓(xùn)練用不同的顏色給下圖中的3個矩形隨機地涂色，每個矩形只涂一種顏色，求：(1) 3個矩形顏色都相同的概率；(2) 3個矩形顏色都不同的概率.分析

12、：本題中基本事件比較多，為了更清楚地枚舉出所有的基本事件，可以畫圖枚舉如下:期形3矩形1尊形2矩形3(樹形圖)建星I 世形2 珈形3 世形1解：基本事件共有27個.(1)記事件A= “3個矩形涂同一種顏色”由上圖可以知道事件A包含的基本事件有1 X3=3個,故 P(A)= 27(2)記事件B= “3個矩形顏色都不同6 2P(B)=279由上圖可以知道事件B包含的基本事件有 2 X3=6個,故答: 3個矩形顏色都相同的概率為 1 ; 3個矩形顏色都不同的概率為 -.99例2單選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A,B,C,D四個選項中選擇一個正確答案 如果考生掌握了考查的內(nèi)容，他可以選擇唯一正

13、確的答案假設(shè)考生不會做，他隨機地選擇一個答案，問他答對的概率是多少？活動：學(xué)生閱讀題目，搜集信息，交流討論，教師引導(dǎo)，解決這個問題的關(guān)鍵，即討論這個問 題什么情況下可以看成古典概型如果學(xué)生掌握或者掌握了部分考查內(nèi)容，這都不滿足古典概型的第2個條件一一等可能性，因此，只有在假定學(xué)生不會做，隨機地選擇了一個答案的情況下 才可以化為古典概型解：這是一個古典概型，因為試驗的可能結(jié)果只有4個：選擇A、選擇B、選擇C、選擇D，即基本事件共有4個，考生隨機地選擇一個答案是選擇A,B,C,D的可能性是相等的從而由古典概型的概率計算公式得：你”答對所包含的基本事件的個 數(shù) 1 P（答對）=基本事件的總數(shù)0點評：

14、古典概型解題步驟：（1 ）閱讀題目，搜集信息；（2 ）判斷是否是等可能事件，并用字母表示事件；（3）求出基本事件總數(shù) n和事件A所包含的結(jié)果數(shù) m；（4）用公式P（A）= m求出概率并下結(jié)論n變式訓(xùn)練1兩枚均勻硬幣，求出現(xiàn)兩個正面的概率解：樣本空間：甲正乙正，甲正乙反 用反乙正 用反乙反 這里四個基本事件是等可能發(fā)生的，故屬古典概型1n=4，m=1，P= 42次投擲兩顆骰子，求出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)的概率解法一：設(shè)表示 出現(xiàn)點數(shù)之和為奇數(shù)”用（i，j）記 第一顆骰子出現(xiàn)i點，第二顆骰子出現(xiàn)j點”，i，j=1,2，顯然出現(xiàn)的36個基本事件組成等概樣本空間，其中A1包含的基本事件個數(shù)為 k=3X3+

15、3X3=18,故P（A）= 2解法二:若把一次試驗的所有可能結(jié)果取為：（奇，奇），（奇，偶），（偶,奇），（偶，偶）,1則它們也組成等概率樣本空間基本事件總數(shù)n=4,A包含的基本事件個數(shù) k=2,故P（A）=.2解法三：若把一次試驗的所有可能結(jié)果取為：點數(shù)和為奇數(shù),點數(shù)和為偶數(shù),也組成等1概率樣本空間，基本事件總數(shù)n=2,A所含基本事件數(shù)為1,故P（A）=2注：找出的基本事件組構(gòu)成的樣本空間，必須是等概率的解法2中倘若解為：（兩個奇）,1（一奇一偶），（兩個偶）當(dāng)作基本事件組成樣本空間，則得出P（A）=，錯的原因就是它不是311等概率的例如P （兩個奇）=一，而P （奇一偶）=一 本例又告訴我

16、們，同一問題可取不同的42樣本空間解答 例3同時擲兩個骰子，計算：（1） 一共有多少種不同的結(jié)果 ？其中向上的點數(shù)之和是 5的結(jié)果有多少種？向上的點數(shù)之和是 5的概率是多少？解：(1)擲一個骰子的結(jié)果有6種我們把兩個骰子標(biāo)上記號1,2以便區(qū)分，由于1號骰子的每一個結(jié)果都可與2號骰子的任意一個結(jié)果配對，組成同時擲兩個骰子的一個結(jié)果，因此同時擲兩個骰子的結(jié)果共有36種.在上面的所有結(jié)果中，向上的點數(shù)之和為5的結(jié)果有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),其中第一個數(shù)表示1號骰子的結(jié)果，第二個數(shù)表示2號骰子的結(jié)果.(3) 由于所有36種結(jié)果是等可能的，其中向上點數(shù)之和為5的結(jié)果(記為事件A)

17、有4種，因此,41由古典概型的概率計算公式可得P(A)=.369例4假設(shè)儲蓄卡的密碼由4個數(shù)字組成，每個數(shù)字可以是0,1,2，,9十個數(shù)字中的任意一個假設(shè)一個人完全忘記了自己的儲蓄卡密碼，問他到自動取款機上隨機試一次密碼就能取到錢的概率是多少？解：一個密碼相當(dāng)于一個基本事件，總共有10 000個基本事件,它們分別是 0000,0001,0002, ,9998,9999機地試密碼，相當(dāng)于試到任何一個密碼的可能性都是相等的，所以這是一個古典概型事件 試一次密碼就能取到錢”由1個基本事件構(gòu)成，即由正確的密碼構(gòu)成所以P(試一次密碼就能取到錢” )_ 1)10000發(fā)生概率為的事件是小概率事件，通常我們

18、認為這樣的事件在一次試驗中是幾乎不可10000能發(fā)生的，也就是通過隨機試驗的方法取到儲蓄卡中的錢的概率是很小的但我們知道，如果試驗很多次，比如100 000次,那么這個小概率事件是可能發(fā)生的所以，為了安全，自動取款機一般允許取款人最多試3次密碼，如果第4次鍵入的號碼仍是錯誤的，那么取款機將 沒收”儲蓄卡另外，為了使通過隨機試驗的方法取到儲蓄卡中的錢的概率更小，現(xiàn)在儲蓄卡可以使用6位數(shù)字作密碼人們?yōu)榱朔奖阌洃洠ǔＳ米约旱纳兆鳛閮π羁ǖ拿艽a當(dāng)錢包里既有身份證又有儲蓄卡時,密碼泄密的概率很大因此用身份證上的號碼作密碼是不安全的例5某種飲料每箱裝6聽，如果其中有2聽不合格，問質(zhì)檢人員從中隨機抽出2

19、聽，檢測出不合格產(chǎn)品的概率有多大？解：我們把每聽飲料標(biāo)上號碼，合格的4聽分別記作:1,2,3,4,不合格的2聽分別記作a,b, 只要檢測的2聽中有1聽不合格,就表示查出了不合格產(chǎn)品依次不放回地從箱中取出2聽飲料，得到的兩個標(biāo)記分別記為x和y則(x,y)表示一次抽取的結(jié)果，即基本事件由于是隨機抽取，所以抽取到任何基本事件的概率相等用A表示 抽出的2聽飲料中有不合格產(chǎn)品”，A表示 僅第一次抽出的是不合格產(chǎn)品”，A表示 僅第二次抽出的是不合格產(chǎn)品” ,A12表示 兩次抽出的都是不合格產(chǎn)品”則Ai,A2和A 12是互不相容的事件,且A=AiU A2U A12,從而 P(A)=P(A i)+P(A2)+

20、P(Ai2).因為A1中的基本事件的個數(shù)為8,A2中的基本事件的個數(shù)為8,A12中的基本事件的個數(shù)88 2為2,全部基本事件的總數(shù)為30,所以P(A)= 一 一- 一 =0630 30 30思路2例1 一個口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球,2只黑球,從中一次摸出兩個球，(1) 共有多少個基本事件？(2) 摸出的兩個都是白球的概率是多少？活動：可用枚舉法找出所有的等可能基本事件解：分別記白球為1,2,3號，黑球4,5號，從中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1,2號 球用(1,2)表示)：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,

21、5),(4,5).因此，共有10個基本事件(2)上述10個基本事件發(fā)生的可能性是相同的，且只有3個基本事件是摸到兩個白球(記3為事件 A)，即(1,2),(1,3),(2,3),故 P(A)=.103共有10個基本事件，摸到兩個白球的概率為10變式訓(xùn)練將一顆骰子先后拋擲兩次，觀察向上的點數(shù)，問：(1) 共有多少種不同的結(jié)果？(2) 兩數(shù)的和是3的倍數(shù)的結(jié)果有多少種？(3) 兩數(shù)和是3的倍數(shù)的概率是多少？解析：(1)將骰子拋擲1次,它出現(xiàn)的點數(shù)有1,2,3,4,5,6這6種結(jié)果先后拋擲兩次骰子，第一次骰子向上的點數(shù)有6種結(jié)果，第2次又有6種可能的結(jié)果，于是一共有60=36種不同的結(jié)果；(2)第1

22、次拋擲，向上的點數(shù)為1,2,3,4,5,6這6個數(shù)中的某一個，第2次拋擲時都可以有兩種結(jié) 果,使向上的點數(shù)和為3的倍數(shù)(例如：第一次向上的點數(shù)為4,則當(dāng)?shù)?次向上的點數(shù)為 2或5時,兩次的點數(shù)的和都為 3的倍數(shù))，于是共有6X2=12種不同的結(jié)果；記 向上點數(shù)和為3的倍數(shù)”為事件A,則事件A的結(jié)果有12種，因為拋兩次得到的36種結(jié)12 1果是等可能出現(xiàn)的，所以所求的概率為 P(A)= = 136 3答：先后拋擲2次，共有36種不同的結(jié)果；點數(shù)的和是 3的倍數(shù)的結(jié)果有12種；點數(shù)的和1是3的倍數(shù)的概率為-.3說明：也可以利用圖表來數(shù)基本事件的個數(shù)：第一冼拋擲厲向I;的點數(shù)第二戰(zhàn)助拇肩向上的點數(shù)例

23、2從含有兩件正品 色月2和一件次品bi的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回 連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率活動：學(xué)生思考或交流，教師引導(dǎo)，每次取出一個，取后不放回，其一切可能的結(jié)果組成的基 本事件是等可能發(fā)生的，因此可用古典概型解決解：每次取出一個，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有6個,即（ai，a2）和（ai，b2），（a2，ai），（ a2，bi），（bi，ai），（bi，a2）其中小括號內(nèi)左邊的字母表示 第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品用 A表示 取出的兩種中，恰好有一件次品”這一事件，則 A= （ ai，bi），（a2，

24、bi），（bi，ai），（切越），42事件A由4個基本事件組成，因而，P （A）=.6 3思考在上例中，把 每次取出后不放回”這一條件換成 每次取出后放回”其余條件不變，求取出 的兩件中恰好有一件次品的概率有放回地連續(xù)取出兩件，其一切可能的結(jié)果有:（ai，ai），（ai，a2），（ai，bi），（a2，ai），（a?）， （a2，bi），（S，a2），（ bi，bi），由9個基本事件組成，由于每一件產(chǎn)品被取到的機會均等 ，因此可 以認為這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的用B表示 恰有一件次品”這一事件，則B= （ai，bi），（a2，bi） ，（bi，ai） ， （bi，a2）H ，4事件B包含4個

25、基本事件，因而，P （ B）=.9點評：（1）在連續(xù)兩次取出過程中，（ai，bi）與（bi，ai）不是同一個基本事件，因為先后 順序不同（2）無論是 不放回抽取”還是 有放回抽取”每一件產(chǎn)品被取出的機會都是均等的變式訓(xùn)練現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件，其中8件為正品，2件為次品：（1） 如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率；（2）如果從中一次取 3件，求3件都是正品的概率分析：（1）為放回抽樣；（2）為不放回抽樣解：（1）有放回地抽取3次，按抽取順序（x，y，z）記錄結(jié)果，則x，y，z都有10種可能，所以 試驗結(jié)果有10X10X10=103種；設(shè)事件 A為連續(xù)3次都取正品”則包含的基本事件共有8 8X8=83種，因此，P(A)=83103=0.512.（2）解法1:可以看作不放回抽樣3次，順序不同，基本事件不同，按抽取順序記錄（x，y，z），則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗的所有結(jié)果為10X9X8=720種.設(shè)事件336B為“3牛都是正品”則事件B包含的基本事件總數(shù)為8 X 0=336,所以P（