2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.2 奇偶性學(xué)案新人教A版必修第一冊

1、2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.2 奇偶性學(xué)案新人教a版必修第一冊2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.2 奇偶性學(xué)案新人教a版必修第一冊年級：姓名：32.2奇偶性內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義數(shù)學(xué)抽象直觀想象邏輯推理2.學(xué)會運用函數(shù)的圖象理解函數(shù)性質(zhì)3.會利用函數(shù)奇偶性解決一些問題.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第42頁教材提煉知識點函數(shù)奇偶性的定義(1)函數(shù)f(x)x2的圖象有什么對稱性？(2)函數(shù)f(x)的圖象有什么對稱性？ 知識梳理(1)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為i，如果xi，都有xi，且f(x)f(x)，

2、那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)(even function)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反之成立(2)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為i，如果xi，都有xi，且f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(odd function)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，反之成立自主檢測1下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()ay|x|by3xcy dyx214答案：c2若函數(shù)yf(x)，x2，a是偶函數(shù)，則a的值為()a2 b2c0 d不能確定答案：b3若點(1,3)在奇函數(shù)yf(x)的圖象上，則f(1)等于()a0 b1c3 d3答案：d4已知f(x)是偶函數(shù)，且f(2)2，則f(2)f(2)_.答案：4授課提示：對應(yīng)

3、學(xué)生用書第42頁探究一函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)x42x2；(2)f(x)x3；(3)f(x)；(4)f(x)(5)f(x).解析(1)f(x)的定義域為r，關(guān)于原點對稱，又f(x)(x)42(x)2x42x2f(x)，f(x)為偶函數(shù)(2)f(x)的定義域為(，0)(0，)，它關(guān)于原點對稱，又f(x)(x)3f(x)，f(x)為奇函數(shù)(3)f(x)的定義域為1,1，是兩個具體數(shù)，但它關(guān)于原點對稱，又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)(4)函數(shù)f(x)的定義域是(，0)(0，)，關(guān)于原點對稱當(dāng)x0時，x0，則f(x)(x)33(

4、x)21x33x21(x33x21)f(x)當(dāng)x0時，x0，則f(x)(x)33(x)21x33x21(x33x21)f(x)由知，當(dāng)x(，0)(0，)時，都有f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)(5)由題設(shè)得：函數(shù)f(x)定義域為1,0)(0,1，關(guān)于原點對稱，且x20，|x2|x2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函數(shù)函數(shù)奇偶性的判定方法(1)定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點對稱的對稱區(qū)域，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點對稱的對稱區(qū)域，再判斷f(x)是否等于f(x)，或判斷f(x)f(x)是否等于零，或判斷是否等于1等用定義判斷函數(shù)奇偶性的一般步驟：求函

5、數(shù)的定義域，并判斷定義域是否關(guān)于原點對稱用x代x，驗證是否有f(x)f(x)或f(x)f(x)，若f(x)f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；若f(x)f(x)，則f(x)為偶函數(shù)；若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，則f(x)為非奇非偶函數(shù)(2)圖象法：奇(偶)函數(shù)的等價條件是它的圖象關(guān)于原點(y軸)對稱判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)x3x5；(2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x).解析：(1)函數(shù)的定義域為r.f(x)(x)3(x)5(x3x5)f(x)，f(x)是奇函數(shù)(2)f(x)的定義域是r.f(x)|

6、x1|x1|x1|x1|f(x)，f(x)是偶函數(shù)(3)函數(shù)f(x)的定義域是(，1)(1，)，不關(guān)于原點對稱，f(x)是非奇非偶函數(shù)探究二已知函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式例2教材p86第11題拓展探究(1)已知yf(x)是定義在r上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)x22x，求f(x)在r上的解析式解析設(shè)x0，f(x)(x)22(x)x22x.又yf(x)是定義在r上的偶函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)x22x(x0)f(x)(2)若f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)x(2x)，求函數(shù)f(x)的解析式解析f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(0)0.當(dāng)x0時，x0，則f(x)

7、x(2x)f(x)，f(x)x(x2)故f(x)(3)設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為m，m(m0)試探究yf(x)可否寫為奇函數(shù)f(x)，與偶函數(shù)g(x)的和的形式，若能，求出f(x)與g(x)解析設(shè)f(x)g(x)f(x)，xm，mf(x)g(x)f(x)又f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，f(x)g(x)f(x)得，2g(x)f(x)f(x)，g(x)f(x)f(x)得，2f(x)f(x)f(x)，f(x)f(x)f(x)故f(x)可寫為f(x)g(x)的形式f(x)f(x)f(x)，g(x)f(x)f(x)利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的步驟(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在

8、哪個區(qū)間上設(shè)；(2)轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入已知的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性寫出f(x)或f(x)，從而解出f(x)探究三已知奇偶性求值或參數(shù)例3(1)若f(x)(xa)(x4)為偶函數(shù)，則實數(shù)a_.(2)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則ab_.(3)設(shè)f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，且x0時，f(x)x22xb，則f(1)_.(4)已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，則g(1)等于_解析(1)f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)，即(xa)(x4)(xa)(x4)，整理得，2a8，a4.(2)由題意知則當(dāng)a1，b1時，經(jīng)檢驗知f(x)為奇函數(shù)，故a

9、b0.(3)f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，f(0)b0，f(x)x22x(x0)，f(1)f(1)(12)3.(4)兩式相加得g(1)3.答案(1)4(2)0(3)3(4)3利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)值的方法(1)此類問題應(yīng)充分運用奇(偶)函數(shù)的定義，構(gòu)造函數(shù)，從而使問題得到快速解決(2)在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，若解析式中僅含有x的奇次項，則函數(shù)為奇函數(shù)；若解析式中僅含有x的偶次項，則函數(shù)為偶函數(shù)，常利用此結(jié)論構(gòu)造函數(shù)(3)利用奇偶性求參數(shù)值時，應(yīng)根據(jù)xr等式恒成立的特征求參數(shù)1已知f(x)x5ax3bx8，若f(3)10，則f(3)()a26b18c10 d26解析：法一：由f(x)x5ax

10、3bx8，得f(x)8x5ax3bx.令g(x)x5ax3bxf(x)8，g(x)(x)5a(x)3b(x)(x5ax3bx)g(x)，g(x)是奇函數(shù)，g(3)g(3)，即f(3)8f(3)8.又f(3)10，f(3)f(3)16101626.法二：由已知條件，得得f(3)f(3)16，又f(3)10，f(3)26.答案：d2已知函數(shù)f(x)是定義在(1,1)上的奇函數(shù)，且f，求函數(shù)f(x)的解析式解析：f(x)是定義在(1,1)上的奇函數(shù)，f(0)0，即0，b0，f(x).又fa，a1，函數(shù)f(x)的解析式為f(x).授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第43頁一、單調(diào)性與奇偶性珠聯(lián)璧合的妙用(1)將函

11、數(shù)的奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合，可知：奇函數(shù)在(b，a)和(a，b)上有相同的單調(diào)性偶函數(shù)在(b，a)和(a，b)上有相反的單調(diào)性這里，區(qū)間(b，a)和(a，b)都在函數(shù)定義域內(nèi)因此，若函數(shù)具有奇偶性，研究單調(diào)性或最值或作圖象等問題，只需在非負值范圍內(nèi)研究即可，在負值范圍內(nèi)由對稱性可得(2)研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性必須在定義域上進行，如果沒有給出定義域，則需先求出典例設(shè)定義在2,2上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上是減函數(shù)，若f(1m)f(m)，求實數(shù)m的取值范圍解析因為f(x)是奇函數(shù)且f(x)在0,2上是減函數(shù)，所以f(x)在2,2上是減函數(shù)所以不等式f(1m)f(m)等價于解得1m.二、由奇偶性的對稱特點拓展的圖象對稱性1函數(shù)圖象的軸對稱f(x)在定義域內(nèi)恒滿足的條件yf(x)的圖象的對稱軸f(ax)f(ax)直線xaf(x)f(ax)直線xf(ax)f(bx)直線x2.函數(shù)圖象的中心對稱yf(x)在定義域內(nèi)恒滿足的條件yf(x)的圖象的對稱中心f(ax)f(ax)2b