傳染病問題中的sir模型

1、傳染病問題中的sir模型 摘要：2003年春來歷不明的sars病毒突襲人間，給人們的生命財產(chǎn)帶來極大的危害。長期以來，建立傳染病的數(shù)學模型來描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是我國及全世界有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題。不同類型的傳染病的傳播過程有其各自不同的特點，我們不是從醫(yī)學的角度一一分析各種傳染病的傳播，而是從一般的傳播機理分析建立各種模型，如簡單模型，si模型，sis模型，sir模型等。在這里我采用sir（susceptibles，infectives，recovered）模型來研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很強的免疫力的傳染病，它主要

2、沿用由kermack與mckendrick在1927年采用動力學方法建立的模型。應(yīng)用傳染病動力學模型來描述疾病發(fā)展變化的過程和傳播規(guī)律，預測疾病發(fā)生的狀態(tài)，評估各種控制措施的效果，為預防控制疾病提供最優(yōu)決策依據(jù), 維護人類健康與社會經(jīng)濟發(fā)展。關(guān)鍵字：傳染??；動力學；sir模型。一模型假設(shè)1. 在疾病傳播期內(nèi)所考察的地區(qū)范圍不考慮人口的出生、死亡、流動等種群動力因素。總?cè)丝跀?shù)n(t)不變，人口始終保持一個常數(shù)n。人群分為以下三類：易感染者(susceptibles)，其數(shù)量比例記為s(t)，表示t時刻未染病但有可能被該類疾病傳染的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；感染病者(infectives)，其數(shù)量比例記

3、為i(t)，表示t時刻已被感染成為病人而且具有傳染力的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；恢復者(recovered)，其數(shù)量比例記為r(t)，表示t時刻已從染病者中移出的人數(shù)（這部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有傳染性，也不會再次被感染，他們已退出該傳染系統(tǒng)。）占總?cè)藬?shù)的比例。2. 病人的日接觸率（每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)）為常數(shù)，日治愈率（每天被治愈的病人占總病人數(shù)的比例）為常數(shù)，顯然平均傳染期為1，傳染期接觸數(shù)為=。該模型的缺陷是結(jié)果常與實際有一定程度差距，這是因為模型中假設(shè)有效接觸率傳染力是不變的。二模型構(gòu)成在以上三個基本假設(shè)條件下，易感染者從患病到移出的過程框圖表示如下：sisiri在假

4、設(shè)1中顯然有：s(t) + i(t) + r(t) = 1 （1）對于病愈免疫的移出者的數(shù)量應(yīng)為 （2）不妨設(shè)初始時刻的易感染者，染病者，恢復者的比例分別為（0），（0），=0.sir基礎(chǔ)模型用微分方程組表示如下： （3） s(t) ， i(t)的求解極度困難，在此我們先做數(shù)值計算來預估計s(t) ， i(t)的一般變化規(guī)律。三數(shù)值計算在方程（3）中設(shè)=1，=0.3，i（0）= 0.02，s（0）=0.98，用matlab軟件編程：function y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0=0.20,0.9

5、8;t,x=ode45(ill,ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)pauseplot(x(:,2),x(:,1)輸出的簡明計算結(jié)果列入表1。i(t) , s(t)的圖形以下兩個圖形，is圖形稱為相軌線,初值i(0)=0.02,s(0)=0.98相當于圖2中的p0點,隨著t的增,(s,i)沿軌線自右向左運動.由表1、圖1、圖2可以看出,i(t)由初值增長至約t=7時達到最大值,然后減少,t,i0,s(t)則單調(diào)減少,t,s0.0398. 并分析i(t),s(t)的一般變化規(guī)律.t 0 1 2 3 4 5 6 7 8i(t)0.02000.03900.07320.12850

6、.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027 t 9 10 15 20 25 30 35 40 45i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398 表1 i(t),s(t)的數(shù)值計算結(jié)果四相軌線分析 我們在數(shù)值計算和圖形觀察的基礎(chǔ)上，利用相軌線討論解i（t）,s（t）的性質(zhì)。 i s平面稱為相

7、平面，相軌線在相平面上的定義域（s，i）d為 d = （s，i）| s0，i0 ， s + i 1 （4） 在方程（3）中消去并注意到的定義，可得 ， （5） 所以： （6）利用積分特性容易求出方程(5)的解為： （7）在定義域d內(nèi),(6)式表示的曲線即為相軌線,如圖3所示.其中箭頭表示了隨著時間t的增加s(t)和i(t)的變化趨向.下面根據(jù)(3),(17)式和圖9分析s(t),i(t)和r(t)的變化情況(t時它們的極限值分別記作, 和)。1.不論初始條件s0,i0如何,病人消失將消失,即： （8）其證明如下： 首先,由(3) 而 故 存在; 由(2) 而 故 存在;再由(1)知存在。其次,

8、若則由(1),對于充分大的t 有 , 這將導致，與存在相矛盾.從圖形上看,不論相軌線從p1或從p2點出發(fā),它終將與s軸相交(t充分大).2.最終未被感染的健康者的比例是,在(7)式中令i=0得到, 是方程 （9）在(0,1/)內(nèi)的根.在圖形上是相軌線與s軸在(0,1/)內(nèi)交點的橫坐標. 3.若1/,則開始有，i(t)先增加, 令=0，可得當s=1/時,i(t)達到最大值： （10） 然后s1/(即1/s0)時傳染病就會蔓延.而減小傳染期接觸數(shù),即提高閾值1/使得1/(即 1/),傳染病就不會蔓延(健康者比例的初始值是一定的,通?？烧J為接近1)。 并且,即使1/,從(19),(20)式可以看出,

9、 減小時, 增加(通過作圖分析), 降低,也控制了蔓延的程度.我們注意到在=中,人們的衛(wèi)生水平越高,日接觸率越小;醫(yī)療水平越高,日治愈率越大,于是越小,所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延. 從另一方面看, 是傳染期內(nèi)一個病人傳染的健康者的平均數(shù),稱為交換數(shù),其含義是一病人被個健康者交換.所以當 即時必有 .既然交換數(shù)不超過1,病人比例i(t)絕不會增加,傳染病不會蔓延。五群體免疫和預防 根據(jù)對sir模型的分析,當 時傳染病不會蔓延.所以為制止蔓延,除了提高衛(wèi)生和醫(yī)療水平,使閾值1/變大以外,另一個途徑是降低 ,這可以通過比如預防接種使群體免疫的辦法做到. 忽略病人比例的初始值有,

10、于是傳染病不會蔓延的條件 可以表為 (11)這就是說，只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例（即免疫比例）滿足（11）式，就可以制止傳染病的蔓延。這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實際上這是很難做到的。據(jù)估計當時印度等國天花傳染病的接觸數(shù) =5，由（11）式至少要有80%的人接受免疫才行。據(jù)世界衛(wèi)生組織報告，即使花費大量資金提高，也因很難做到免疫者的均勻分布，使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些傳染病的更高，根除就更加困難。六模型驗證 上世紀初在印度孟買發(fā)生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了。死亡相當于移出傳染系統(tǒng)，有關(guān)部門記錄了每天移出者的人數(shù)，即有了的實際數(shù)據(jù)，k

11、ermack等人用這組數(shù)據(jù)對sir模型作了驗證。首先，由方程（2），（3）可以得到 ，兩邊積分得 所以： (12)再 (13)當 時，取（13）式右端taylor展開式的前3項得： 在初始值=0 下解高階常微分方程得: (14)其中， 從而容易由（14）式得出： （15） 然后取定參數(shù) s0, 等，畫出（15）式的圖形，如圖4中的曲線，實際數(shù)據(jù)在圖中用圓點表示，可以看出，理論曲線與實際數(shù)據(jù)吻合得相當不錯。 七被傳染比例的估計 在一次傳染病的傳播過程中，被傳染人數(shù)的比例是健康者人數(shù)比例的初始值與之差，記作x,即 (16)當i0很小，s0接近于1時，由（9）式可得 (17)取對數(shù)函數(shù)taylor展開的前兩項有 (18) 記 , 可視為該地區(qū)人口比例超過閾值的部分。當 時（18）式給出 （19） 這個結(jié)果表明，被傳染人數(shù)比例約為的2倍。對一種傳染病，當該地區(qū)的衛(wèi)生和醫(yī)療水平不變，即不變時，這個比例就不會改變。而當閾值提高時，減小，