兩角和與差的正弦、余弦和正切

1、第 5 講兩角和與差的正弦、余弦和正切 考綱1會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式2能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式3能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.知識梳理1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin( ) sin_ cos_cos _ sin_ .cos( ? ) cos_ cos_sin _ sin_ .tantantan( ) 1? tan tan .2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2 2sin_ cos_ .cos 2 cos2 sin 2 2cos2 112sin 2 .2tantan

2、 2 1tan2 .3有關(guān)公式的逆用、變形等(1)tantan tan( )(1 ? tan_ tan_ ) (2)cos2 1cos 2，sin 2 1 cos 2.22(3)1 sin 2 (sin cos ) 2 ， 1 sin 2 (sin cos ) 2 ，sincos 2sin 4 .4函數(shù) f ( ) asin bcos ( a，b 為常數(shù) ) ，可以化為f ( ) a2 b2 sin( ) ，其中btana.辨析感悟1對兩角和與差的三角函數(shù)公式的理解(1) 兩角和與差的正弦、余弦公式中的角 ， 是任意的 ( )(2) 存在實數(shù) ， ，使等式cos( ) cos cos.()1(

3、3)( 教材練習(xí)改編 )cos 80 cos 20 sin 80 sin 20 cos(80 20) cos 60 2.()1tan(4)( 教材習(xí)題改編 ) 1tantan4 . ( )(5)設(shè)tan ，tan 是方程x2x 的兩根，則tan( 3.( )32 0)2對二倍角公式的理解22(6)cos2cos2 112sin2 .( )31(7)若 sin2 3 ，則 cos 3.()(8)ysin 2xcos 2 x 的最大值為 1.()(9)設(shè) sin2 sin ，2 ， ，則 tan 2 3.() 感悟提升 一個防范運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意和差、倍角的相對性，要注意升

4、冪、降冪的靈活運用 .【例1】(1)4cos 50考點一 tan 40 (三角函數(shù)式的化簡、求值問題) D2 21cos2 sin 2_.(2)22tan 4 cos4規(guī)律方法 (1) 技巧：尋求角與角之間的關(guān)系，化非特殊角為特殊角；正確靈活地運用公式，通過三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數(shù)值；一些常規(guī)技巧：“ 1”的代換、和積互化等(2) 常用方法：異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，切化弦，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化【訓(xùn)練 1】 (1)化簡： 2sin 50 sin 10(1 3tan 10 ) 2sin 280 _. cossincos1sin22(2) 化

5、簡：22cos(0 ) _；考點二三角函數(shù)的給角求值與給值求角問題12【例 2】 (1)已知 0 2 ，且 cos 2 9， sin2 3，求 cos( ) 的值；(2) 已知，(0， ) ，且 tan(11的值) 2，tan7，求 2規(guī)律方法 (1) 給值求值問題一般是正用公式將所求“復(fù)角”展開，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入展開式即可(2) 通過求所求角的某種三角函數(shù)值來求角，關(guān)鍵點在選取函數(shù)，常遵照以下原則：已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是0，2，選正、余弦皆可；若角的范圍是 (0 ， ) ，選余

6、弦較好；若角的范圍為 2，2，選正弦較好113【訓(xùn)練 2】 已知 cos 7，cos( ) 14，且 0 2 ，(1) 求 tan 2 的值；(2) 求 .考點三三角變換的簡單應(yīng)用【例3】 已知f (x)11tanx sin2x2sinx 4sinx 4.(1) 若 tan 2，求 f ( ) 的值； (2) 若 x 12， 2 ，求 f ( x) 的取值范圍規(guī)律方法 (1) 將 f ( x) 化簡是解題的關(guān)鍵，本題中巧妙運用“1”的代換技巧，將sin 2， cos 2化為關(guān)于正切 tan 的關(guān)系式，為第 (1) 問鋪平道路(2) 把形如 yasin x bcos x 化為 y a2 b2si

7、n( x ) ，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對稱性【訓(xùn)練 3】 已知函數(shù) f ( x) 4cos xsinx 6 1.(1) 求 f ( x) 的最小正周期； (2) 求 f ( x) 在區(qū)間 6 ， 4 上的最大值和最小值1重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等在解決求值、化簡、證明問題時，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求( 或所證明) 問題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃?已知和角函數(shù)值，求單角或和角的三角函數(shù)值的技巧：把

8、已知條件的和角進(jìn)行加減或二倍角后再加減，觀察是不是常數(shù)角，只要是常數(shù)角，就可以從此入手，給這個等式兩邊求某一函數(shù)值，可使所求的復(fù)雜問題簡單化3熟悉三角公式的整體結(jié)構(gòu)， 靈活變換本節(jié)要重視公式的推導(dǎo)，既要熟悉三角公式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，更要掌握公式中角和函數(shù)名稱的特征，要體會公式間的聯(lián)系， 掌握常見的公式變形， 倍角公式應(yīng)用是重點，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其變形。三角函數(shù)求值中的變角問題【典例】(2012 江蘇卷 ) 設(shè) 為銳角，若 cos4的值為 _65，則 sin212 反思感悟 解題的關(guān)鍵是找出條件中的角與結(jié)論中的角的聯(lián)系，通過適當(dāng)?shù)夭鸾?、湊角來利用?給條件常見的變角技巧有：2 2

9、2 ；( ) 等； 4 2 ；15 45 30等4 【自主體驗】11已知 cos 3，cos( ) 3，且 ， 0， 2，則 cos( ) 的值為 _基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1計算 cos 42 cos 18 cos 48 sin 18 的結(jié)果等于 () 12已知 sin 23，則 cos( 2) 的值為 () 72A 9D 333已知 cos4x 5，則 sin 2x() C7D16 25 25344已知 ， 2，且 cos 5，則 tan4 等于 () A7C1D 7 75已知 tan1sin 2 2cos2等于 () 4 2，且 2 ，則sin 4B35C25D310 10 5 10二、填

10、空題tan 12 36計算：4cos212 2sin 12 _.設(shè)f ( x)1cos 2 x sin2x 的最大值為 ，則常數(shù)a_.7xa sin4232sin 2 x4428已知 cos sin3，且 0， 2 ，則 cos 2 3 _.三、解答題9已知函數(shù)f ( x) cos x 3sin2 x .(1) 求函數(shù)f ( x) 的最小正周期；3(2) 若 0， 2，且 f 65，求 f (2 ) 的值10已知函數(shù) f ( x) 3sin 2 xsinxcos x.(1) 求 f 25 的值6 1(2) 設(shè) (0 ， ) ，f 2 4 2 ，求 sin 的值3能力提升題組一、選擇題211已知 tan( ) 5， tan 4 4，那么 tan 4等于()2已知 ， 0，2，