高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案§11.1對(duì)弧長的曲線積分

1、六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)專用資料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel：1532737611711.1 對(duì)弧長的曲線積分授課次序67教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題11.1 對(duì)弧長的曲線積分教學(xué)方法當(dāng)堂講授，輔以多媒體教學(xué)教學(xué)重點(diǎn)對(duì)弧長的曲線積分教學(xué)難點(diǎn)計(jì)算法參考教材同濟(jì)大學(xué)編高等數(shù)學(xué)（第6版）自編教材高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程作業(yè)布置高等數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)雙語教學(xué)微分 ：differential calculus；全微分：total differential；偏微分：partial differential ；積分：integral；重積分：multiple integral；二重積分

2、：double integral；三重積分：threefold integral 課堂教學(xué)目標(biāo)1 理解對(duì)弧長的曲線積分的概念。2 掌握計(jì)算對(duì)弧長的曲線積分的方法3 理解對(duì)弧坐標(biāo)的曲線積分的概念教學(xué)過程1對(duì)弧長的曲線積分的概念（25min）；2計(jì)算對(duì)弧長的曲線積分的方法（30min）3對(duì)弧坐標(biāo)的曲線積分的概念（35min）教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容第十一章 曲線積分與曲面積分11.1 對(duì)弧長的曲線積分 一、 對(duì)弧長的曲線積分的概念與性質(zhì) 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量: 設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xoy面內(nèi)的一段曲線弧l上, 已知曲線形構(gòu)件在點(diǎn)(x, y)處的線密度為m(x, y). 求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量. 把曲線

3、分成n小段, ds1, ds2, , dsn(dsi也表示弧長);任取(xi , hi)dsi, 得第i小段質(zhì)量的近似值m(xi , hi)dsi; 整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為; 令l=maxds1, ds2, , dsn0, 則整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量為 . 這種和的極限在研究其它問題時(shí)也會(huì)遇到. 定義 設(shè)l為xoy面內(nèi)的一條光滑曲線弧, 函數(shù)f(x, y)在l上有界. 在l上任意插入一點(diǎn)列m1, m2, , mn-1把l分在n個(gè)小段. 設(shè)第i個(gè)小段的長度為dsi, 又(xi, hi)為第i個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn), 作乘積f(xi, hi)dsi, (i=1, 2, , n ), 并作和, 如果當(dāng)各

4、小弧段的長度的最大值l0, 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在曲線弧l上對(duì)弧長的曲線積分或第一類曲線積分, 記作, 即. 其中f(x, y)叫做被積函數(shù), l 叫做積分弧段. 曲線積分的存在性: 當(dāng)f(x, y)在光滑曲線弧l上連續(xù)時(shí), 對(duì)弧長的曲線積分是存在的. 以后我們總假定f(x, y)在l上是連續(xù)的. 根據(jù)對(duì)弧長的曲線積分的定義,曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分的值, 其中m(x, y)為線密度. 對(duì)弧長的曲線積分的推廣: . 如果l(或g)是分段光滑的, 則規(guī)定函數(shù)在l(或g)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和. 例如設(shè)l可分成兩段光滑曲線弧l1及l(fā)2,

5、則規(guī)定 . 閉曲線積分: 如果l是閉曲線, 那么函數(shù)f(x, y)在閉曲線l上對(duì)弧長的曲線積分記作. 對(duì)弧長的曲線積分的性質(zhì): 性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù), 則; 性質(zhì)2 若積分弧段l可分成兩段光滑曲線弧l1和l2, 則 ; 性質(zhì)3設(shè)在l上f(x, y)g(x, y), 則. 特別地, 有 二、對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算法 根據(jù)對(duì)弧長的曲線積分的定義, 如果曲線形構(gòu)件l的線密度為f(x, y), 則曲線形構(gòu)件l的質(zhì)量為 . 另一方面, 若曲線l的參數(shù)方程為x=j(t), y=y (t) (atb),則質(zhì)量元素為 , 曲線的質(zhì)量為 . 即 . （轉(zhuǎn)化成定積分計(jì)算） 定理 設(shè)f(x, y)在曲線弧l上

6、有定義且連續(xù), l的參數(shù)方程為 x=j(t), y=y(t) (atb), 其中j(t)、y(t)在a, b上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且j2(t)+y2(t)0, 則曲線積分存在, 且 (ab). 證明（略） 應(yīng)注意的問題: 定積分的下限a一定要小于上限b. 討論: (1)若曲線l的方程為y=y(x)(axb), 則=?提示: l的參數(shù)方程為x=x, y=y(x)(axb), . (2)若曲線l的方程為x=j(y)(cyd), 則=?提示: l的參數(shù)方程為x=j(y), y=y(cyd), . (3)若曲g的方程為x=j(t), y=y(t), z=w(t)(atb), 則=? 提示: . 例1

7、計(jì)算, 其中l(wèi)是拋物線y=x2上點(diǎn)o(0, 0)與點(diǎn)b(1, 1)之間的一段弧. 解 曲線的方程為y=x2 (0x1), 因此 . 例2 計(jì)算半徑為r、中心角為2a的圓弧l對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量i(設(shè)線密度為m=1). 解 取坐標(biāo)系如圖所示, 則. 曲線l的參數(shù)方程為 x=rcosq, y=rsinq (-aqa). 于是 =r3(a-sina cosa). 例3 計(jì)算曲線積分, 其中g(shù)為螺旋線x=acost、y=asint、z=kt上相應(yīng)于t從0到達(dá)2p的一段弧. 解 在曲線g上有x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t)2+(k t)2=a2+k 2t 2, 并且 , 于是 . 小結(jié): 用曲線積分解決問