數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

1、編號(hào)編號(hào) 學(xué)學(xué)士士學(xué)學(xué)位位論論文文 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 學(xué)生姓名： 凡 麗 學(xué) 號(hào)： 系 部： 數(shù) 學(xué) 系 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí)： 04 - 2 班 指導(dǎo)教師： 王 衛(wèi) 東 完成日期： 2008 年 5 月 1 日 中文摘要 數(shù)學(xué)歸納法是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種常用的證題方法，它的應(yīng)用極其廣泛本文討 論了數(shù)學(xué)歸納法的步驟，它集歸納，猜想，證明于一體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)歸納法的證 題思路本文歸納總結(jié)了數(shù)學(xué)歸納法解決代數(shù)恒等式，幾何，排列組合等方面的 一些應(yīng)用問題的方法，并對(duì)應(yīng)用中常見的誤區(qū)加以剖析，以及一些證法技巧介紹， 有利于提高對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用能力 關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法；步驟

2、 AbstractAbstract Mathematical induction is a common evidence method in secondary school mathematics, it is have very broad application. In this paper, author reaserch into the step of the Mathematical induction , it includes summariz ,evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematic

3、al induction. Also at here ,we summariz themethod of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the

4、 level of the Mathematical inductions application KeyKey wordswords：Mathematical induction; steps . 目錄 中文摘要中文摘要 .1 1 ABSTRACTABSTRACT .1 1 引言引言 .2 2 1.1. 數(shù)學(xué)歸納法的歷史由來數(shù)學(xué)歸納法的歷史由來 .1 1 11 基本步驟 .2 12 基本形式 .3 3 數(shù)學(xué)歸納法解決應(yīng)用問題數(shù)學(xué)歸納法解決應(yīng)用問題 .4 4 21 代數(shù)恒等式方面的問題 .4 22 幾何方面的應(yīng)用 .4 23 排列和組合 .5 24 對(duì)于不等式的證明，有時(shí)適當(dāng)放大或縮小，有時(shí)用

5、綜合法和分析法 .6 6 3.3. 常見誤區(qū)及剖析常見誤區(qū)及剖析 .7 7 31 忽略了歸納的基礎(chǔ) .7 32 歸納推理出錯(cuò) .7 7 4.4. 應(yīng)用技巧應(yīng)用技巧 .9 9 41 配湊“歸納假設(shè)”法 .9 42 分析法 .1010 5.5. 數(shù)學(xué)歸納法的推廣數(shù)學(xué)歸納法的推廣 .1111 6.6. 小結(jié)小結(jié) .1212 參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn) .1313 致謝致謝 .1414 引 言 在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，有一種很常見且基本的數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)歸納 法對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法，有人問：為什么說數(shù)學(xué)歸納法是嚴(yán)格的證明方法？數(shù)學(xué)歸 納法的原理是什么？數(shù)學(xué)歸納法的證明過程為什么要有這樣的規(guī)定格式？數(shù)學(xué)歸 納法的應(yīng)用前景如

6、何？下面將逐一進(jìn)行解答 1 數(shù)學(xué)歸納法的歷史由來 曾經(jīng)有一個(gè)叫皮亞諾的意大利人把我們小時(shí)侯數(shù)數(shù)的過程歸納整理出來，稱 作正整數(shù)公理這個(gè)公理有五條：“簡(jiǎn)單歸納一下，前四條是說：1 是正整數(shù)， 且它不是任何正整數(shù)的后面的一個(gè)數(shù)（稱作后繼） ，即 1 是第一個(gè)正整數(shù)，每個(gè) 正整數(shù)都有唯一的后繼，而且是正整數(shù)” ；關(guān)鍵是第五條：“一個(gè)正整數(shù)集合， 如果包含 1，并且假設(shè)包含，也一定包含它的后繼，那這個(gè)集合包含所有的正x 整數(shù) ”這一條就是數(shù)學(xué)歸納法的原理用符號(hào)表示，即： 1 如果,且滿足 （2）若則,那么 SNS11Sk 1kS SN 根據(jù)這一原理，就有了數(shù)學(xué)歸納法，設(shè)是與正整數(shù)有關(guān)的命題如果( )P

7、 n 當(dāng)時(shí)正確，即正確(1)1n (1)P 若假設(shè)正確前提下，可以證明命題也正確(2)( )P k(1)P k 那么命題對(duì)任意正整數(shù)都是正確的 數(shù)學(xué)歸納法的正確性可以用“正整數(shù)最小數(shù)原理”加以證明，正整數(shù)最小數(shù) 原理是說，任何非空正整數(shù)集合一定含有最小數(shù) 11 基本步驟 數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中一種重要而獨(dú)特的證明方法，對(duì)與自然數(shù)有關(guān)的命題n 的證明是行之有效的首先它的兩個(gè)步驟缺一不可 ，其次它的應(yīng)用非常廣泛， 可以用它解決好多方面的數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)歸納法的步驟： 2 當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題是正確的(1)1n 假設(shè)當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題是正確的，那么當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題也是正(2)nk1nk 確的 數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不

8、可一方面不要認(rèn)為，一個(gè)命題在的時(shí)候1n 正確，在時(shí)正確，在時(shí)也正確，則這個(gè)命題就正確了老實(shí)說，不要2n 3n 說當(dāng)?shù)臅r(shí)候正確不算數(shù)，就是為 1000 的時(shí)候正確，或者 1 萬的時(shí)候正確，3n n 對(duì)任何自然數(shù)是否正確，還得證明了再說 12 基本形式 常見的數(shù)學(xué)歸納法有下列幾種： 第一數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)是一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，若正確 ( )P n(1)(1)P 假設(shè)成立，可推出 成立則對(duì)一切自然數(shù)成立(2)( )P k(1)P k ( )P n 第二數(shù)學(xué)歸納法若是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)的命題，若正確 假( )P nn(1)(1)P(2) 設(shè)對(duì)成立，可推出成立則對(duì)一切自然數(shù)都成立( )P nkn (1)P

9、k ( )P n 跳躍歸納法設(shè)是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)的命題，若對(duì)=1,2,3 ( )P nn(1)( )P nn j 成立 假設(shè)成立，可推出成立則對(duì)一切自然數(shù)(2)( )P k)(jkP( )P n 都成立n 雙重歸納法設(shè)是一個(gè)關(guān)于兩個(gè)獨(dú)立自然數(shù)有關(guān)的命題，若( , )P m n, n m(1) 成立 假設(shè)成立，可推出與成立(1,1)P(2)( , )P m n(1, )P mnmnP, 1 則對(duì)一切自然數(shù)成立3( , )P m n( , )m n 數(shù)學(xué)歸納法解決應(yīng)用問題數(shù)學(xué)歸納法解決應(yīng)用問題 通過對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的了解，我們不難發(fā)現(xiàn)，它的應(yīng)用是十分廣泛的，用這 個(gè)數(shù)學(xué)方法可解決以下幾個(gè)方面的數(shù)學(xué)問題4

10、 21 代數(shù)恒等式方面的問題 有不少的代數(shù)恒等式，它的嚴(yán)格證明需要用到數(shù)學(xué)歸納法 例1 數(shù)列的第項(xiàng)，可以用公式 表示，這里是它的首n 1 (1) n aand 1 a 項(xiàng)，是公差d 證明：當(dāng)時(shí)，式成立1n 11 aa 假設(shè)當(dāng)時(shí)，式成立，那么當(dāng)時(shí)，有：nk 1nk 111 (1)(1) 1 kk aadakddakd 當(dāng)時(shí)，式也成立1nk 由此可知，對(duì)于所有的自然數(shù)，式均成立n 22 幾何方面的應(yīng)用 例2 凸邊形的內(nèi)角和等于 n( )(2) 180f nn 證明：當(dāng)時(shí)，就是三角形內(nèi)角和為180 ，而3n (3)(2) 180(32) 180180fn 即時(shí)，命題成立3n 假設(shè)當(dāng)時(shí)，凸邊形內(nèi)角和等

11、于成立nkk( )(2) 180f kk 因?yàn)橥惯呅慰梢蕴硪粭l對(duì)角線而成一個(gè)凸邊形與一個(gè)三角形，所以(1)k k 凸邊形內(nèi)角和為凸k邊形內(nèi)角與三角形內(nèi)角的和(1)k 即(1)(2) 180180f kk (1)2 180k 也就是說，當(dāng)時(shí)，命題也成立1nk 23排列和組合 數(shù)學(xué)歸納法最簡(jiǎn)單的應(yīng)用之一，是用來研究排列和組合的公式 例3 證明: ! !()! m n n C m nm 1 證明：首先，,這是顯然的如果再能證明當(dāng)?shù)臅r(shí)候， 1 n Cn1mn ， 那么式子也就可用數(shù)學(xué)歸納法來證明 1 11 mmm nnn CCC 21 我們假定有個(gè)不同的元素每次取出個(gè)元素的組合里，可以n 12 , n

12、 a aam 分為兩類，一類含有，一類不含有，含有的組合數(shù)，就等于從 1 a 1 a 1 a 里取個(gè)元素的組合數(shù)，它等于；不含有的組合數(shù)， 2, , n aa1m 1 1 m n C 1 a 就等于從里取個(gè)的組合數(shù)，它等于；所以， 2, , n aam 1 m n C 1 11 mmm nnn CCC 下面我們證明式子 1 因?yàn)楫?dāng)?shù)臅r(shí)候，這個(gè)定理是正確的1n 假設(shè)當(dāng)?shù)臅r(shí)候，這個(gè)定理是正確的，那么，1nk 1 11 (1)!(1)! !(1)!(1)!()! mmm kkk kk CCC m kmmkm (這里) ! !()! k m km 1mk 所以時(shí)，這個(gè)定理也是正確的nk 故，公式是成立

13、的 ! !()! m n n C m nm 24 對(duì)于不等式的證明，有時(shí)適當(dāng)放大或縮小，有時(shí)用綜合法和分 析法 例4 求證 1aaaa n個(gè)根號(hào) (0)a 證明：當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊1n a1a 因?yàn)?所以成立0a 1aa 即當(dāng)時(shí)，命題成立1n 假設(shè)當(dāng)時(shí)這個(gè)命題成立，即nk 1aaaa k個(gè)根號(hào) 當(dāng)時(shí)，1nk aaaaaa k+1個(gè)根號(hào)k個(gè)根號(hào) 2 (1)(21)(1)1aaaaaa 這就是說，當(dāng)時(shí)，命題成立1nk 由上述可知，對(duì)于命題成立nN 總之，數(shù)學(xué)歸納法是一種非常好，非常簡(jiǎn)便，應(yīng)用廣泛的證明命題的方法 數(shù)學(xué)歸納法是直接證明命題的一種重要方法，一般地說，與正整數(shù)有關(guān)的恒 等式，不等式，數(shù)的

14、整除性，數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和等問題，都可用數(shù)學(xué)歸納法n 解決下面對(duì)數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用中常見誤區(qū)加以剖析，以及一些證法技巧介紹，從 而提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用能力 3 常見誤區(qū)及剖析 31 忽略了歸納的基礎(chǔ) 例5 設(shè),用數(shù)學(xué)歸納法證明Nn 2 24621nnn 錯(cuò)證：假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即nk 2 24621kkk 那么當(dāng)時(shí)，有1nk 2 246221121kkkkk 2 (1)11kk 這就是說，當(dāng)時(shí)，等式成立1nk 剖析：缺少第一步，實(shí)際上當(dāng)時(shí)，等式不成立題目本身是個(gè)錯(cuò)題！不要以1n 為第一步“當(dāng)時(shí)等式成立”無關(guān)緊要，可有可無，缺少第一步，相當(dāng)1n 于失去了推理的基礎(chǔ)5 32 歸納推理出錯(cuò) （一）

15、時(shí)命題成立，沒有用到歸納假設(shè)1nk 例6 用數(shù)學(xué)歸納法證明, 2 1nnn()nN 錯(cuò)證：當(dāng)時(shí)，,不等式成立(1)1n 11112 假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即(2)nk 2 1kkk 那么當(dāng)時(shí)1nk 2311 2 2 kkkk 2 44kk 2(1) 1kk 這就是說，當(dāng)時(shí)不等式也成立1nk 綜合，知，原不等式對(duì)成立(1)(2)nN 剖析：在數(shù)學(xué)歸納法的第二步中，在推證時(shí)命題也成立時(shí)，必須把歸納1nk 假設(shè)即時(shí)的命題作為條件用上，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法nk 正解：當(dāng)時(shí)， 不等式成立(1)1n 2 111 1 假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即(2)nk ，亦即 2 1kkk 22 (1)kkk 當(dāng)時(shí),有1nk

16、 22 (1)(1)()(22)kkkkk 34221 2 2 kkkk 2 44kk 2(1) 1kk 即當(dāng)時(shí)，不等式也成立1nk 綜合，知，原不等式對(duì)成立(1)(2)Nn （二） 證明時(shí)命題成立，雖然用到歸納假設(shè)，但推理過程有誤1nk 例7 設(shè)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：nN 2 2nn 錯(cuò)證：當(dāng)時(shí)，不等式成立 (1)1n 12 21 假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即(2)nk 2 2kk 那么當(dāng)時(shí)，有1nk 2 12 22 222211 kkkk kkk 這就是說，當(dāng)時(shí)不等式也成立1nk 所以，當(dāng)時(shí)，成立nN 2 2nn 剖析：第二步證明有錯(cuò)一般地，對(duì)自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，才成立k3k 2 21kk 此題本身是

17、個(gè)錯(cuò)題!事實(shí)上，當(dāng)，3，4時(shí)不等式“”不成立，2n 2 2nn 當(dāng)時(shí)，命題才是正確的5n 2 2nn 4 應(yīng)用技巧 數(shù)學(xué)歸納法的第二步的證法 41 配湊“歸納假設(shè)”法 例8 設(shè)用數(shù)學(xué)歸納法證明： 23 1111 1 2222n 證明：當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立(1)1n 假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即那么，當(dāng)(2)nk 23 1111 1 2222k 時(shí)，有1nk 23123 1111111 1111 () 2222222 2222 kkk 這就是說，當(dāng)時(shí)不等式成立 11 1 22 11nk 綜合、知原不等式成立(1)(2) 評(píng)注：在將歸納假設(shè)“”作為條件證明“ 23 1111 1 2222k ”時(shí)，應(yīng)設(shè)法

18、從中配 231 11111 1 22222 kk 231 11111 22222 kk 湊出，但若按“，要其小 23 1111 2222k 2311 111111 1 222222 kkk 于1，則顯然不可能！”至此，有的同學(xué)會(huì)認(rèn)為此題不能用數(shù)學(xué)歸納法，其實(shí) 不然，只是配湊不恰當(dāng)而已. 42 分析法 例 9 求證 3 111 (1 1)(1)(1)(1)31 4732 n n 證明：當(dāng)時(shí)，左邊，不等式成立(1)1n 3 4211 假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即(2)nk 3 11111 (1 1)(1)(1)(1)(1)31(1) 47323131 k kkk 要證時(shí)不等式成立，只需證1nk 33 3

19、 1134 31(1)341 313131 k kk kkk 3 3234 () 3131 kk kk 32 (32)(34)(31)kkk 368274kk 即證，此不等式顯然成立940k 這就是說，當(dāng)時(shí)不等式成立1nk 綜合、知原不等式成立(1)(2) 評(píng)注：有上可知，用分析法完成時(shí)的命題的證明，簡(jiǎn)單易行，是一個(gè)妙1nk 法另外，對(duì)于本題在時(shí)的證明過程上，我們又有如下證法，即要1nk 證時(shí)不等式成立，只需證1nk 33 1 31(1)34 31 kk k 3333 1 31(1)( 34) 31 kk k 32 2 (32)(34)(31) (31) kkk k 2 94 0 (31) k

20、 k 成立. 33 1 31(1)34 31 kk k 所以，當(dāng)時(shí)不等式成立1nk 5 數(shù)學(xué)歸納法的推廣 人們通常認(rèn)為，數(shù)學(xué)歸納法用于證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，采用的是等 距的“間斷歸納” ，是否存在等距的（或不等距的） “連續(xù)歸納”？下面以一 個(gè)不等式的證明對(duì)此作出正面回答6 例10證明不等式， 2 9 2 7 x x(6,)x 證明： 1,8 , 77 , 6, 6nn 時(shí)，6,7x 637 7 9 7 9 ,6422 226 x x 這就證明了,時(shí),6n 6,7x 不等式成立 2 9 2 7 x x 假設(shè)時(shí),不等式成立,即當(dāng)時(shí),nk,1xk k 不等式成立 2 9 2 7 x x 則當(dāng)時(shí),

21、時(shí)，1nk1,2 ,6xkkkN k 據(jù)假設(shè),有,又,于是 12 9 2(1) 7 x x 6x 2 1 12 7 9 222 x xx 24 7 9 22 xxx 2 99 4 77 xxx 2 9 7 x 這就證明了當(dāng)時(shí)1,2xkk 不等式成立 2 9 2 7 x x 根據(jù)歸納原理,對(duì)的任意正整數(shù),6nN nn 當(dāng)時(shí),不等式成立,1xn n 2 9 2 7 x x 即對(duì)時(shí), 61,8 , 77 , 6nnx 不等式恒成立. 2 9 2 7 x x 這里的連續(xù)區(qū)間，還可進(jìn)一步推廣為更一般的數(shù)集情形： 第一步是驗(yàn)證當(dāng)時(shí)命題成立 0 xD 第二步假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立,推出時(shí)命題成立，根據(jù)歸納原理, k xD 1k xD 得到命題對(duì)或?qū)Τ闪?n DDDx 10 10 DDx 6 小結(jié) 數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)中一種常用的證題方法，應(yīng)用極其廣泛。既是高考的 一個(gè)熱點(diǎn)，又是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，與其他證明方法相比，由于數(shù)學(xué)歸納法格式固 定，常使學(xué)生看似簡(jiǎn)單易懂，實(shí)則又難以理解數(shù)學(xué)歸納法又是一種“歸納 演繹法” ，科學(xué)地發(fā)現(xiàn)總是要經(jīng)過“發(fā)現(xiàn)論證”的階段，因此在數(shù)學(xué)歸納法 中要注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)要證明的論證數(shù)學(xué)歸納法是在