第11煉 函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)問(wèn)題

1、2 2, +第 11 煉 函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、函數(shù)零點(diǎn)，方程，圖像交點(diǎn)的相互轉(zhuǎn)化：有關(guān)零點(diǎn)個(gè)數(shù)及性質(zhì)的問(wèn)題會(huì)用到這三者的轉(zhuǎn) 化，且這三者各具特點(diǎn)：（1） 函數(shù)的零點(diǎn)：有“零點(diǎn)存在性定理”作為理論基礎(chǔ)，可通過(guò)區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)和函數(shù) 的單調(diào)性確定是否存在零點(diǎn)（2） 方程：方程的特點(diǎn)在于能夠進(jìn)行靈活的變形，從而可將等號(hào)兩邊的表達(dá)式分別構(gòu)造為 兩個(gè)可分析的函數(shù)，為作圖做好鋪墊（3） 圖像的交點(diǎn)：通過(guò)作圖可直觀的觀察到交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并能初步判斷交點(diǎn)所在區(qū)間。三者轉(zhuǎn)化：函數(shù)f (x)的零點(diǎn)方程f (x)=0的根方程變形方程g (x)=h(x)的根函數(shù)g(x)與h(x)的交點(diǎn)2、此類(lèi)問(wèn)題的處理步驟

2、：（1） 作圖：可將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程，進(jìn)而通過(guò)構(gòu)造函數(shù)將方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖像交點(diǎn)問(wèn)題， 并作出函數(shù)圖像（2） 確定變量范圍：通過(guò)圖像與交點(diǎn)位置確定參數(shù)和零點(diǎn)的取值范圍（3） 觀察交點(diǎn)的特點(diǎn)（比如對(duì)稱(chēng)性等）并選擇合適的方法處理表達(dá)式的值，3、常見(jiàn)處理方法：（1）代換法：將相等的函數(shù)值設(shè)為t，從而用t可表示出x , x ,1 2，將關(guān)于x , x ,1 2的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 t 的一元表達(dá)式，進(jìn)而可求出范圍或最值（2）利用對(duì)稱(chēng)性解決對(duì)稱(chēng)點(diǎn)求和：如果x , x 關(guān)于 x =a 軸對(duì)稱(chēng)，則 1 2x +x =2 a 1 2；同理，若x , x 關(guān)于 (a,0) 1 2中心對(duì)稱(chēng)，則也有x +x =2 a

3、 1 2。將對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)歸為一組，在求和時(shí)可與對(duì)稱(chēng)軸（或?qū)ΨQ(chēng)中心）找到聯(lián)系 二、典型例題：例 1 ：已知函數(shù)（ ）f (x)=lgx ，若 0 a b ，且 f (a)=f(b)，則a+2b的取值范圍是a.( )b.2 2, +)c.(3,+)d.3, +)t ()f x =()x思路：先做出f (x)的圖像，通過(guò)圖像可知，如果f (a)=f(b)，則0 a 1 0)，由a , b范圍可得：lg a 0，從而lg a =-t a=e-t lg b =t b=e，所 以a +2b =1et+2 et， 而et0， 所 以2e t +1et(3, +)答案：c小煉有話說(shuō)：（1）此類(lèi)問(wèn)題如果f (x)圖

4、像易于作出，可先作圖以便于觀察函數(shù)特點(diǎn)（2）本題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一個(gè)是引入輔助變量t ，從而用 t 表示出 a, b ，達(dá)到消元效果，但是要注意 t 是有范圍的（通過(guò)數(shù)形結(jié)合 y =t 需與 y = f (x)有兩交點(diǎn)）；一個(gè)是通過(guò)圖像判斷出a , b的范圍，從而去掉絕對(duì)值。例 2 ：已知函數(shù) pcos x - , x 0,p 2 log , x p,+ 2015p，若有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)a , b, c，使得f (a)=f(b)=f(c)，則a+b+c _的取值范圍是思路：f (x)的圖像可作，所以考慮作出f (x)的圖像，不妨設(shè)a b p，且 2 2f (c)=log2015cp= f (a)(

5、0,1)， 所 以0 log2015cp1 pc 2015p， 從 而(a+b)+ cp= +c(2p,20 1)p6答案：(2p,2016p)小煉有話說(shuō)：本題抓住a , b關(guān)于x =p2對(duì)稱(chēng)是關(guān)鍵，從而可由對(duì)稱(chēng)求得a +b =p，使得所求式子只需考慮 c 的范圍即可1()例 3：定義在r上的奇函數(shù)f (x)，當(dāng)x 0時(shí)，log ( x +1), x 0,1) f x = 21-x -3 , x 1,+)，則關(guān)于x的函數(shù)f (x)=f(x)-a(0a0 時(shí)，函數(shù)圖象由兩部分構(gòu)成，分別作出各部分圖像。f (x)的零點(diǎn)，即為方程f (x)-a=0的根，即f (x)圖像與直線y =a的交點(diǎn)。觀察圖像

6、可得有 5 個(gè)交點(diǎn)：x , x12關(guān)于x =-3對(duì)稱(chēng) ，x +x =-6 1 2，x 03且滿足方程f(x3)=a -f(x3)=-a f(-x3)=-a即log (-x+1)=a 1 3，解得：x =1 -2 3a，2x , x4 5關(guān)于x =3軸對(duì)稱(chēng)， x +x =64 5 x +x +x +x +x =1 -2 1 2 3 4 5答案：ba例 4 ： 已 知13k 1 ， 函 數(shù) f (x)=2x-1 -k的 零 點(diǎn) 分 別 為x , x (xx1 2 1 2)， 函 數(shù)g (x)=2x-1-k2k +1的零點(diǎn)分別為x , x (x x3 4 3 4)，則(x -x )+(x-x4 3

7、2 1)的最小值為（ ）1a.思路：從f (x),g(x)log 3b.2x , x解析式中發(fā)現(xiàn)12可看做log 6c.2y = 2 x -1d.3與y =k的交點(diǎn)，x , x34可看做y = 2 x -1與y =k2k +1的交點(diǎn)，且x 0 x , x 0 x ，從而 x , x , x , x 均可由 k 1 2 3 4 1 2 3 4進(jìn)行表示，所以(x -x4 3)+(x-x)2 1可轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的函數(shù)，再求最小值即可xk22l o gk +22 222)x1 x x() x1 3x()3 x()3 xx( )( ) 321解：由圖像可得：x 0 x , x 0 x 1 2 341-2x

8、1=k ,22-1=k k 1 -2 x3 = 2k +1 2 x 4 -1 = 2k +1 x =log (1-k),x=log (1+k) 1 2 2 2x =l o g -1 3 2k 2k + 1=l o gk +12k +1x =,4 k l o+g 1 = k2+ 13 k+ 1 1 (x -x )+(x-x)=log 4 3 2 123k +1 k +1 3k +1 +log =log =log -3 + k +1 1-k 1 -k 41 -k1 k ,13 4 -3 +1 -k3 , +(x -x )+(x-x)log3,+4 3 2 1 2答案：b)例 5：已知函數(shù)f (x)

9、=log3(x-1)- -13 有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x , x1 2，則（ ）a.x x x +x 1 2 12d.x x x +x 1 2 12思路：可將零點(diǎn)化為方程log3(x -1)1 = +13 的根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為g(x)= log3(x -1)與1 h x = +1 3 的 交 點(diǎn) ， 作 出 圖 像 可 得1 x 2 x2 1， 從 而2() )-1,1log (x-1)(x-1)0(x-1)(x-1)1xx-(x+x)0 3 2 1 2 1 1 2 1 2x x x +x1 2 12答案：d，即|lnx|, (0 e 3 )，存在x x x 1 2 3，f ( x ) = f ( x

10、) = f ( x ) 1 2 3，則f ( x )3x2的最大值為思路：先作出f (x)的圖像，觀察可得：0 x 1 x e1 23x3，所求f ( x )3x2可先減少變量 個(gè) 數(shù) ， 利 用f (x)=f(x 32)可 得 ：f ( x ) f (x) ln x 3 = =x x x2 2 22ln x， 從 而 只 需 求 出 y = 在x(1,e3)的最小值即可：y=1 -ln xx 2，所以函數(shù)y =ln xx在(1,e)單增，在(e,e3)單減。從而ymaxln e 1= =e e答案：1e例 7 ： 已 知 定 義 在r上 的 函 數(shù)f (x)滿 足 ：x2+2,x 0,1)

11、f x =2-x2,x -1,0， 且f (x+2)=f(x)，g(x)=2 x +5x +2，則方程f (x)=g(x)在區(qū)間-5,1上的所有實(shí)根之和為（ ）a.-5b.-6c.-7d.-8思路：先做圖觀察實(shí)根的特點(diǎn)，在 )中，通過(guò)作圖可發(fā) 現(xiàn)f (x)在(-1,1)關(guān) 于(0, )2中 心 對(duì) 稱(chēng) ， 由f (x+2)=f(x)可得f(x)是周期為 2 的周期函數(shù)，則在下一個(gè)周期(-3,-1)中，f(x)關(guān)于(-2,2)中心對(duì)稱(chēng)，以此類(lèi)推。從而做出f (x)的圖像（此處要注意區(qū)間端點(diǎn)()( )2值在何處取到），再看g (x)圖像，g(x)=2 x +5 1 1=2 + ，可視為將 y =

12、的圖像向 x +2 x +2 x左平移 2 個(gè)單位后再向上平移 2 個(gè)單位，所以對(duì)稱(chēng)中心移至(-2,2)，剛好與f (x)對(duì)稱(chēng)中心重合，如圖所示：可得共有 3 個(gè)交點(diǎn)x x 0，直線 y =m 與函數(shù) f (x)的圖像相交于四個(gè)不同的點(diǎn)，從小到大，交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次記為a , b, c, d，有以下四個(gè)結(jié)論m 3,4)abcd 0,e4)a +b +c +d e 5 +1 1 -2, e 6 + -2e e 2 若關(guān)于 x 的方程 f (x)+x=m則其中正確的結(jié)論是（ ）恰有三個(gè)不同實(shí)根，則 m 的取值唯一a. b. c. d. 思路：本題涉及到 m 的取值，及 4 個(gè)交點(diǎn)的性質(zhì)，所以先作出f

13、(x)的圖像，從而從圖上確定存在 4 個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m 的范圍是 3,4)，所以正確。從圖像上可看出 a , b 在同一曲線，c, d在同一曲線上，所以在處理時(shí)將a, b放在一組， c , d 放在一組。涉及到根的乘積，一方面a , b為方程-x2-2 x +3 =m的兩根，所以由韋達(dá)定理，可得ab =m -3 ， 而 c, d 為 方 程2 -ln x =m的 兩 根 ， 且0 c e2d， 從 而2 -ln c =ln d -2，即ln cd =4 cd =e 4，所以有abcd =(m-3)e40,e4)，正確由中的過(guò)程可得：a +b =-2，2 -ln c =ln d -2 =m，所以c

14、=e2 -m, d =e2 +m，從而a +b +c +d =-2+e2 -m+e2 +m=-2+e2em+1e m，而m 3,4)，eme3, e4)設(shè)f (m)=-2+e2e m +1e m 1 1 ，則 f m 為增函數(shù)，所以 f m e 5 + -2, e 6 + -2 e e ()()f x =正確可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y = f (x)與y =-x +m的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，通過(guò)作圖可得m的值不唯一綜上所述：正確 答案：a例 9 ： 已 知 函 數(shù)loga(x+)1-,1x0 ,a 1 f(2-x)+a-1,1x 3， 若x x1 2， 且f(x1)= f(x2)，則x +x1 2的值（ ）a.

15、 恒小于 2 b. 恒大于 2 c. 恒等于 2 d. 與a相關(guān)思路：觀察到當(dāng)-1x 1時(shí)，f (x)為單調(diào)函數(shù)，且1 x 3時(shí)，f (x)的圖像相當(dāng)于作x (-1,1)時(shí)關(guān)于x =1對(duì)稱(chēng)的圖像再進(jìn)行上下平移，所以也為單調(diào)函數(shù)。由此可得f (x)=f(x)時(shí)，x, x1 2 1 2必在兩段上。設(shè)x x1 2，可得-1 x 1 x 3 1 2，考慮使用代換法設(shè)f (x1)=f(x)=t2，從而將x , x 均用 a, t 表示，再判斷 1 2x +x 與 2 的大小即可。 1 2解：設(shè)f (x1)=f(x)=t2，不妨設(shè)-1 x 1 x 3 1 2，則-1 2 -x 12loga(x +1)1=

16、t x =a 1t-1log (3-x )+a-1=t x =3 -a a 2 2t +1-a x +x =2 +a 1 2t-at +1-a若0 a 1，則y =ax為減函數(shù)，且t a t +1-a x +x 21 2若 a 1 ，則 y =a x 為增函數(shù)，且t t +1 -a atat +1-a x +x 21 2 x +x1答案：b2的值恒大于 2 34 -8 x - ,1 x 2, 2例 10：定義函數(shù) f ( x) =1 xf ( ), x 2. 2 2內(nèi)的所有零點(diǎn)的和為（ ），則函數(shù) g ( x ) =xf ( x ) -6 在區(qū)間 1,2n（ n n*）a nb 2nc3 3

17、(2 n -1) d (2 n4 2-1) ( )()() ()2 , x ,224 16 44 2思路：從 f ( x ) =1 x f 可得：函數(shù) 2 2 f (x)是以(2n-1,2n )區(qū)間為一段，其圖像為將前一段圖像在水平方向上拉伸為原來(lái)的 2 倍，同時(shí)豎直方向上縮為原來(lái)的12，從而先作出x 1,2時(shí)的圖像，再依以上規(guī)律作出2,4,4,8,2n-1,2 n 的圖像，g (x)的零點(diǎn) 無(wú) 法 直 接 求 出 ， 所 以 將g (x)=0轉(zhuǎn) 化 為f (x)=6x， 即y = f (x)與h(x)=6x的交點(diǎn)。通過(guò)作圖可得，其交點(diǎn)剛好位于每一段中的極大值點(diǎn)位置，可 歸 納 出(2n -1

18、, 2n)中 極 大 值 點(diǎn) 為x =n2n -1 + 2n 3 = 22 4n， 所 以 所 有 零 點(diǎn) 之 和 為3 2 (2n-1)3s = = 2 n -14 2 -1 2答案：dx小煉有話說(shuō)：（1）本題考查了合理將 x 軸劃分成一個(gè)個(gè)區(qū)間，其入手點(diǎn)在于 f ( ) 的出現(xiàn)，2體現(xiàn)了橫坐標(biāo)之間 2 倍的關(guān)系，從而所劃分的區(qū)間長(zhǎng)度成等比數(shù)列。（2）本題有一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，即在作圖的過(guò)程中，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)h (x)=6x恰好與f (x)相交在極大值點(diǎn)處，這一點(diǎn)需要通過(guò)計(jì)算得到：當(dāng)x =32時(shí)，f3 3 =4 =h , f 3 =2 =h 3 2 2 ，從而歸納出規(guī)律。所以處理圖像交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，如果在某些

19、細(xì)節(jié)很難通過(guò)作圖直接確定，要通 過(guò)函數(shù)值的計(jì)算來(lái)確定兩圖像的位置三、近年模擬題題目精選1 、（2016 四川高三第一次聯(lián)考）已知函數(shù) 1 1 x + , x 0, 2 2 f x = x -1 1 ，若存在x , x1 2，當(dāng)0 x x 2 時(shí)， f (x)=f(x)，則x f (x)-f(x)1 2 1 2 1 2 2的取值范圍為（ ）a. 2 -3 2 9 2 -3 2 0, b. - , c. 9 1 - , - 16 2 d.2-3 2 1 , - 2、（2016，蘇州高三調(diào)研）已知函數(shù)f (x)=sinx -kx (x0,k r)有且只有三個(gè)零點(diǎn)，0x 3()2 2 22() 設(shè)此三

20、個(gè)零點(diǎn)中的最大值為x0，則x(1+x2)sin2x0 0=_3、已知函數(shù)f (x)=x+2x,g (x)=x+lnx , h (x)=x-x -1的零點(diǎn)分別為x , x , x 1 23，則x , x , x 1 23的大小關(guān)系是_4 、 已 知 函 數(shù)f(x)1 = -log x3 的 零 點(diǎn) 為 x ， 有00 a b c使 得f(a)f(b)f(c)0，則下列結(jié)論不可能成立的是（ ）a.x b0c.x c0d.x 0，若方程f (x)=a有四個(gè)不同的解x x x x 1 2 3 4，則(x +x )+ 1 21 1+x x3 4的取值范圍是（ ）a. 1 1 1 0, b. 0, c.

21、0, d.0,1)6 、 已 知 函 數(shù)log x ,0 x 2 f x = p sin x ,2 x 10 4 ， 若 存 在 實(shí) 數(shù)x , x , x , x 1 2 3 4， 滿 足x x x x 1 2 34，且f (x)=f(x1 2)=f(x)=f(x)3 4，則(x -2 )(x-2 3 4x x1 2)的取值范圍是（ ）a.(4,16)b.(0,12)c.(9,21)d.(15,25 )12 1 1221211112 111() 0000()0020cos x00x -習(xí)題答案：1、答案：c解析：如圖可知：2 -1 1 1x , x 1 2 2 2 x f (x)-f(x)=(

22、x-1)f(x)=(x-1)f(x)=(x-1)x+ 2 1 1 1 9=x 2 - x - = x - -2 2 4 16-9161 g x g =-2 122、答案：12解析：f (x)=sinx -kx =0 sin x =kx ，即 y = sin x 與 y =kx 恰有三個(gè)公共點(diǎn)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可得：橫坐標(biāo)最大值x0為直線與曲線在p,3p2相切的切點(diǎn)。設(shè)改點(diǎn)a (x, y0 0)，y =sin x的導(dǎo)數(shù)為y=cos x，所以 y =sin xsin xy x = 0 k = 0 =cos x cos xx 00，代入到所求表達(dá)式可得：x0 =1 +x 2 sin 2 x 1+sin x0cos x0sin x sin 2 x=123、答案：x x x 1 23解析：f (x)=02x=-x, g (x)