《振動(dòng)力學(xué)》習(xí)題集(含答案解析)

1、1()2ll1()11l1()111精品文檔振動(dòng)力學(xué)習(xí)題集（含答案）1.1 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)由長(zhǎng)度為 l、質(zhì)量為 m 的均質(zhì)細(xì)桿約束在鉛錘平面內(nèi)作微幅擺動(dòng)， 如圖 e1.1 所示。求系統(tǒng)的固有頻率。lxm1m解：系統(tǒng)的動(dòng)能為：t =其中 i 為桿關(guān)于鉸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：圖 e1.11 1 m xl& + ix&22 2i =0m 1 dx x l 2=0m 1 1 x 2 dx = m ll 32則有：1 1 1t = ml 2 x&2+ m l 2 x&2= 3m +m l 2 6 62x&2系統(tǒng)的勢(shì)能為：u =mgl (1-cosx )+mg (1-cosx2)利用x&=wx n和1 1 1

2、mglx 2 + m glx 2 = 2 m +m glx =2 4 4t =u可得：2w =n3(2m+m )g 2(3m+m )l1.1&b& &2 221&精品文檔1.2 質(zhì)量為 m、半徑為 r 的均質(zhì)柱體在水平面上作無(wú)滑動(dòng)的微幅滾動(dòng)，在 ca=a 的 a 點(diǎn) 系有兩根彈性剛度系數(shù)為 k 的水平彈簧，如圖 e1.2 所示。求系統(tǒng)的固有頻率。kaakrcq圖 e1.2解：如圖，令 q 為柱體的轉(zhuǎn)角，則系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別為：t = i q2 = 21 1 3mr + mr q2= mr q2 2 2 4u =2 k (r+a)q2=k(r+a)2 2q2利用q=wqn和 t =u 可得：w

3、 =n4k (r+a)2 r +a 4 k=3mr 2 r 3m.123j2 12 23 3&()n精品文檔1.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 j的圓盤(pán)由三段抗扭剛度分別為k1，k2和k3的軸約束，如圖 e1.3 所示。求系統(tǒng)的固有頻率。kjk圖 e1.3k解：系統(tǒng)的動(dòng)能為：t =12q&2k 和 k 相當(dāng)于串聯(lián)，則有：2 3q=q +q, k 2 3以上兩式聯(lián)立可得：q =k2 2q3 3kq = 3k +k23q,q =3k2k +k23q系統(tǒng)的勢(shì)能為：1 1 1 1 k (k+k )+kk u = k q2 + k q2 + k q2 = 1 2 3 2 3 q22 2 2 2 k +k2 3利用q=w

4、qn和t =u可得：k k +k (k+k w = 2 3 1 2 3j k +k2 3).12( )( )12( )0 112( )21 2 3e =1 2 3精品文檔1.4 在圖 e1.4 所示的系統(tǒng)中，已知ki(i=1,2,3),m, a 和 b，橫桿質(zhì)量不計(jì)。求固有頻率。x1k1abk2f =ba +bmga xx0bx2k3mgmf =aa +bmg圖 e1.4答案圖 e1.4解：對(duì) m進(jìn)行受力分析可得：mg =k x3 3，即x =3mgk3如圖可得：f mgb f mga x = 1 = , x = 2 =k a +b k k a +b k 1 1 22a (x-x ) a2 k

5、 +b 2 kx =x +x=x + 2 1 = 1 2 mga +b a +b k k1 2x =x +x = 0 3則等效彈簧剛度為：a2 k +b 2 k 1 11 2 + mg = mg a +b k k k k1 2 3 0k =e(a+b)2kkka 2 k k +b 2 k k +(a+b)2kk1 3 2 3 1 2則固有頻率為：wn=k k k k (a+b)2m mk k (a+b)2+k(ka2+kb 2 )1 2 3 1 2.x02k精品文檔1.7 質(zhì)量 m 在傾角為 a 的光滑斜面上從高 h 處滑下無(wú)反彈碰撞質(zhì)量 m ，如圖 e1.7 所1 2示。確定系統(tǒng)由此產(chǎn)生的自

6、由振動(dòng)。m112kam2hxxx圖 e1.7解：對(duì) m 由能量守恒可得（其中 v 的方向?yàn)檠匦泵嫦蛳拢?1 1答案圖 e1.7m gh =112m v 21 1，即v = 2 gh1對(duì)整個(gè)系統(tǒng)由動(dòng)量守恒可得：m v =(m+m )v1 1 1 2 0，即v =0m1m +m122 gh令m2引起的靜變形為x2，則有：m g sin a =kx 22，即x =2m g sin2ka令 m + m 引起的靜變形為 x ，同理有： 1 2 12(m+m )gsin x = 1 212得：ax =x -x = 0 12 2則系統(tǒng)的自由振動(dòng)可表示為：m g sin1kax =x cos w t + 0

7、 nx&0wnsin w tn其中系統(tǒng)的固有頻率為：w =nkm +m1 2注意到v0與x方向相反，得系統(tǒng)的自由振動(dòng)為：x =x cos0w t -nv0wnsinw tn.liq=-kqaa-cqllq+3clq+3ka00精品文檔1.9 質(zhì)量為 m、長(zhǎng)為 l 的均質(zhì)桿和彈簧 k 及阻尼器 c 構(gòu)成振動(dòng)系統(tǒng)，如圖 e1.9 所示。 以桿偏角 q 為廣義坐標(biāo)，建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，給出存在自由振動(dòng)的條件。若在彈簧原長(zhǎng) 處立即釋手，問(wèn)桿的最大振幅是多少？發(fā)生在何時(shí)？最大角速度是多少？發(fā)生在何時(shí)？是否 在過(guò)靜平衡位置時(shí)？aokckqacq&圖 e1.9解：利用動(dòng)量矩定理得：& &，答案圖 e1.9

8、12i = ml3ml2 & 2 &2q=0，wn=3ka 2ml 23clml22=2xwn，3c 1 2 a mk x= 1 c 2m w l 3 nl mgl mg =kq a a， q =2 2ka 21.12 面積為 s、質(zhì)量為 m 的薄板連接于彈簧下端，在粘性流體中振動(dòng)，如圖 e1.12 所示。作用于薄板的阻尼力為f =md2 sv，2s 為薄板總面積，v 為速度。若測(cè)得薄板無(wú)阻尼自由振動(dòng)的周期為t0，在粘性流體中自由振動(dòng)的周期為td。求系數(shù) m 。.n精品文檔圖 e1.12解：平面在液體中上下振動(dòng)時(shí)：m&x&+2msx&+kx =0wn=k 2p=m t0，w =wd n1 -x

9、2=2ptd2ms ms m2s 2=2xw x= ， x2 =m mw kn2p 2p=t td 0k -m2s 2 1 -x2=kk -m2s 2 2pm m=k st t0 dt 2 -t 2 d 02.1 圖 e2.2 所示系統(tǒng)中，已知 m，c，k1，k2，f 和w 。求系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程和穩(wěn)態(tài)響 0應(yīng)。.22111222111()1 121 121k +k1 2222 2()21112精品文檔kck x2m&x&c x&2mmxkcmckxkcxk (x-x1 1)c (x&-x&)1 1圖 e2.1答案圖 e2.1(a)答案圖 e2.1(b)解：等價(jià)于分別為 x 和 x 的響應(yīng)之和。先

10、考慮 x ，此時(shí)右端固結(jié)，系統(tǒng)等價(jià)為圖（a），受1 2 1力為圖（b），故：m&x+(k+k)x+(c+c)x&=kx+cx&1 2 1 2 1 1m&x&+cx&+kx=kasin w +c a w cos wt1 1 1 1 1 1 1（1）c =c +c ， k =k +k1 2 12，w =nk +k1 2m（1）的解可參照釋義（2.56），為：k a y t = 1 1ksin (wt-q) (1-s2)+(2xs)2c a w+ 1 1 1kcos (wt-q) (1-s2)+(2xs)2（2）其中：w 2xs s = 1 ，q =tg -1w 1 -sn21 +(2xs)2 cw

11、 = 1 + 1 2=(k+k )2+(c+c)2w21 2 1 2 1 k +k1 2(1-s2)+(2xs)2 w2m (c+c)w = 1- 1 + 1 2 1k +k k +k1 2 1 2(k+k -mw2 )+(c+c)2w2 = 1 2 1 1 2 1k +k1 2故（2）為：x(t)=k a sin (wt-q)+cawcos(wt-q1 1 1 1 1 1 1 1 1 k +k -mw2 +(c+c )2w21 2 1 1 2 1)=a1k 2 +c 2w2(k+k -mw2 )+(c+c1 2 1 1 2)2w21sin(wt-q+q 1 12).2()2ix精品文檔q1=

12、tg-12xs1 -s2=tg-1cw (k+k ) (c+c )w 1 1 2 =tg -1 1 2 1w2m k +k -w2m 1 - 1 1 2 1k +k1 2考慮到x (t)的影響，則疊加后的 2c w q =tg -1 1 1k1x(t)為：x(t)=2i =1a k 2 +c 2w2 i i i ik +k -mw2 +(c+c1 2 i 1 2)2w2isin wt-tg -1(c+c )w c w 1 2 i +tg -1 i i k +k -w2m k 1 2 i i2.1 一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面作自由振動(dòng)，如圖 t 2-1 所示。已知，a=30，m = 1kg，k =

13、 49 n/cm，開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)彈簧無(wú)伸長(zhǎng)，速度為零，求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。kma0xaamg圖 t 2-1答案圖 t 2-1解：mg sina =kx ， x = 0 0mg sin ak=19.8 4912=0.1cmwnk 49 10 -2= = =70m 1rad/sx =x cos w t =-0.1cos 70t 0 ncm.2112 122精品文檔2.2 如圖 t 2-2 所示，重物 w 懸掛在剛度為 k 的彈簧上并處于靜平衡位置，另一重物1w2從高度為 h 處自由下落到w1上而無(wú)彈跳。求w2下降的最大距離和兩物體碰撞后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。kx1x12wx0h圖 t 2-2w平衡位置x答案圖 t

14、 2-2解：w h =21 w2 v 2 ， v = 2 gh 2 g 2 2動(dòng)量守恒：w w +w w 2 v = 1 2 v ， v = 2g g w +w1 22 gh平衡位置：w =kx ， x = 1 1 1w1kw +w =kx 1 2 12，x =12w +w1 2k故：x =x -x = 0 12 1w2kw =nk(w+w1 2)kg=g w +w1 2故：x =-x cos 0=-x cos0w t +nw t +nx&0wnv12wnsinsinw tnw tn.121222()( )()2n 精品文檔2.4 在圖 e2.4 所示系統(tǒng)中，已知 m，k1，k2，f0和w，初

15、始時(shí)物塊靜止且兩彈簧均為原長(zhǎng)。求物塊運(yùn)動(dòng)規(guī)律。kkxmxk x1 1k (x-x2 2 1)k (x-x2 2 1)mf sin0wtf sin0wtm&x&2圖 e2.4答案圖 e2.4解：取坐標(biāo)軸 x 和 x ，對(duì)連接點(diǎn) a 列平衡方程：1 2-k x +k (x-x )+fsin wt =0 1 1 2 2 1 0即：(k+k )x=k x +f sin 1 2 1 2 2 0wt（1）對(duì) m 列運(yùn)動(dòng)微分方程：m&x=-k (x-x2 2 2 1)即：m&x&+kx =k x 2 2 2 2 1（2）由（1），（2）消去 x 得：1k k fkm&x&+1 2 x = 0 2 sin k

16、 +k k +k1 2 1 2wt（3）故：w 2nk k= 1 2m k +k12)由（3）得：f k w x t = 0 2 sin wt - sin w t m k +k w2 -w2 w1 2 n n2.5 在圖 e2.3 所示系統(tǒng)中，已知 m，c，k， f 和 w，且 t=0 時(shí)，0x =x ， x&=v 0 0，求.02精品文檔系統(tǒng)響應(yīng)。驗(yàn)證系統(tǒng)響應(yīng)為對(duì)初值的響應(yīng)和零初值下對(duì)激勵(lì)力響應(yīng)的疊加。kmf cos0wtc圖 e2.3解：x (t)=e-xwt(ccos w t +d sin w t )+acos (wt-qd d)fa = 0 k1(1-s2)+(2xs)2，q=tg -

17、12xs1 -s2x(0)=x=c+a cos q c =x -a cos q0 0x&(t)=-xwe-xw0t(ccoswt+dsinwt)0 d d+e -xw0t(-cwsinwt +dw cos w t )-awsind d d d(wt-q)x&(0)=v=-xwc+dw+awsin0 0 dv +xwcq d = 0 0wd-awsin qwd求出 c，d 后，代入上面第一個(gè)方程即可得。2.7 由一對(duì)帶偏心質(zhì)量的等速反向旋轉(zhuǎn)齒輪構(gòu)成的振動(dòng)機(jī)械安裝在彈簧和阻尼器構(gòu)成 的支承上，如圖 e2.7 所示。當(dāng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為w 時(shí)，偏心質(zhì)量慣性力在垂直方向大小為mew2sinwt。已知偏心

18、重 w = 125.5 n，偏心距 e = 15.0 cm，支承彈簧總剛度系數(shù) k = 967.7n/cm，測(cè)得垂直方向共振振幅x =1.07 cmm，遠(yuǎn)離共振時(shí)垂直振幅趨近常值x =0.32cm0。求支承阻尼器的阻尼比及在w =300 r min運(yùn)行時(shí)機(jī)器的垂直振幅。.()22精品文檔mew2sinwt12mew212mew2圖 e2.7解：mex t = ms 2(1-s2)+(2xs)2sin(wt-q)，q=tg-12xs1 -s 2s=1 時(shí)共振，振幅為：me 1x = =1.07cm 1 m 2x（1）遠(yuǎn)離共振點(diǎn)時(shí)，振幅為：x =2mem=0.32cm（2）由（2） m =mex2

19、由（1） x=me 1 me 1 x = = 2 =0.15 m 2 x me x 2 x 2 x1 2 1 1k ww =300 r min ， w =， s = 00m w1故：mex = ms 2(1-s2)+(2xs)2=3.8 10-3m2.7 求圖 t 2-7 中系統(tǒng)的固有頻率，懸臂梁端點(diǎn)的剛度分別是k1及k3，懸臂梁的質(zhì)量.1234121233e精品文檔忽略不計(jì)。kkk1k2k3k無(wú)質(zhì)量kk4mm圖 t 2-7答案圖 t 2-7解：k 和 k1 2為串聯(lián)，等效剛度為：k kk = 1 2k +k12。（因?yàn)榭傋冃螢榍蠛停﹌12和k3為并聯(lián)（因?yàn)閗12的變形等于k3的變形），則：k

20、123和k4k kkk +kk +k kk=k +k = 1 2123+k = 1 2 1 3 2 3 k +kk +k121 2為串聯(lián)（因?yàn)榭傋冃螢榍蠛停?，故：k k k k k +k k k +k k k k = 123 4 = 1 2 4 1 3 4 2 3 4k +k k k +k k +k k +k k +k k 123 4 1 2 1 3 2 3 1 4 2 4故：wn=kem2.9 如圖 t 2-9 所示，一質(zhì)量 m 連接在一剛性桿上，桿的質(zhì)量忽略不計(jì)，求下列情況系 統(tǒng)作垂直振動(dòng)的固有頻率：（1）振動(dòng)過(guò)程中桿被約束保持水平位置；.2()() ()()()()2()2e精品文檔（2

21、） 桿可以在鉛錘平面內(nèi)微幅轉(zhuǎn)動(dòng)；（3） 比較上述兩種情況中哪種的固有頻率較高，并說(shuō)明理由。x1k1k2f =1l2l +l1 2mgl1xxl2x2ml1l2mglf = 1 mgl +l1 2圖 t 2-9答案圖 t 2-9解：（1） 保持水平位置：（2） 微幅轉(zhuǎn)動(dòng)：w =nk +k1 2mx =x +x= 1f (x-x )l 1 + 2 1 1k l +l1 1 2l mg l l l = 2 + 1 1 - 2 mg l +l k l +l l +l k l +l k1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1l mg l l k -l k= 2 + 1 1 1 2 2 mgl +l k

22、 l +l l +l k k1 2 1 1 2 1 2 1 2l k (l+l )+l2k -l l k= 2 2 1 2 1 1 1 2 2 mgl +l k k1 2 1 2=l 2 k +l 2 k1 1 2 2 mg l +l k k1 2 1 2故：(l+l )2kk k = 1 2 1 2l 2 k +l 2 k 1 1 2 2wn=kem2.10 求圖 t 2-10 所示系統(tǒng)的固有頻率，剛性桿的質(zhì)量忽略不計(jì)。.122aa 12a精品文檔kf1amglkx1xam圖 t 2-10答案圖 t 2-10解：m 的位置：mgx =x +x = +xk2amgl =f a ， f = 1

23、1mgla， x =1mglak1x a a mgl 21 = ， x = x =x l l a 2 ka 1mg mgl 2 1 l 2 x =x +x = + = + k a 2 k k a 2 k 2 1 2 1mg=a 2 k +l 2 k 1 2 mga 2 k k1 2 k =ea 2 k k1 2 a 2 k +l 2 k12，w =nkem2.11 圖 t 2-11 所示是一個(gè)倒置的擺。擺球質(zhì)量為 m，剛桿質(zhì)量可忽略，每個(gè)彈簧的剛度為k2。（1）求倒擺作微幅振動(dòng)時(shí)的固有頻率；（2）擺球質(zhì)量 m 為 0.9 kg 時(shí)，測(cè)得頻率(fn)為1.5 hz，m 為 1.8 kg 時(shí)，測(cè)得

24、頻率為0.75 hz，問(wèn)擺球質(zhì)量為多少千克時(shí)恰使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？.1 1i= mlq2q2= ka- mglq2= ka-mgl q2q2q& &ka+mgl - mglq2= ka-mgl q2q21 2 3 4精品文檔mk/2 k/2零平衡位置lql cosqa圖 t 2-1答案圖 t 2-11(1)零平衡位置答案圖 t 2-11(2)解：（1）t =1 1 u =2 k 2 2 & 2 &2 2(qa)2-mgl(1-cosq)1 2 1 1 (2 ) 2 2 2利用tmax=umax=wq，max n maxka2 -mgl ka 2 gw =n= - = ml 2 ml 2

25、lg ka 2 -1l mgl-（2）若取下面為平衡位置，求解如下：t =1 1iq2 = ml 2q2 2 2u =2 1 1 k 2 2 (qa)2+mglcos1q= ka22q2+mgl 1-2sin 2q2=1 2 1 1 (2 ) 2 2 2+mglddt(t+u)=0，2 ml 2q&q&+2q(ka2-mgl)q&=0ml 2q&+(ka2-mgl)q=0wn=ka2 -mglml 22.17 圖 t 2-17 所示的系統(tǒng)中，四個(gè)彈簧均未受力，k = k = k = k = k，試問(wèn)：.12341231234221221精品文檔（1）若將支承緩慢撤去，質(zhì)量塊將下落多少距離？ （

26、2）若將支承突然撤去，質(zhì)量塊又將下落多少距離？kkkmk圖 t 2-17解：k =k +k =2 k 23 2 3k k 2 k = 1 23 = kk +k 31 23k k 1 k = 123 4 = kk +k 2123 4（1）mg =k x1234 0，x =02mgk（2）x(t)=xcos 0w t ， xnmax=2 x =04mgk2.19 如圖 t 2-19 所示，質(zhì)量為 m 的均質(zhì)圓盤(pán)在水平面上可作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，鼓輪繞 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 i，忽略繩子的彈性、質(zhì)量及各軸承間的摩擦力，求此系統(tǒng)的固有頻率。r1irx&mrmkk圖 t 2-19解：系統(tǒng)動(dòng)能為：.22212222

27、1 r 2 2221r2120231精品文檔1 1 x& 1 1 1 x& t = m x&2+ i + m x&2+ m r 2 2 r2 2 2 2 r1 i 3 = m + + m x&2=12m x&2e系統(tǒng)動(dòng)能為：1 1 r v = k x 2 + k 12 2 r2x 21 = 2k +k2 1r 2 1 r 22x2=12k xe2根據(jù)：tmax=vmax，x&max=w xn maxw 2n=r 2k +k 12 1 2i 3m + + mr 2 222.20 如圖 t 2-20 所示，剛性曲臂繞支點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 i，求系統(tǒng)的固有頻率。m2kkblam1k圖 t 2-20解：系

28、統(tǒng)動(dòng)能為：.012(1 1 11231 (1)q&nljq=-kqaa-cqll j =，+3cl+3kaq=0q 2q 2n精品文檔t =1 i q&2+1m (q&a)2+1m()q&l2 2 2 2=12i +m a0 12+m l22)q&2系統(tǒng)動(dòng)能為：v =k (qa)2+k(ql)2+k(qb)2 2 2 2= k a22+k l22+k b32q2根據(jù)：tmax=vmax，=wqmax n maxk a 2 +k l 2 +k b 2w2 = 1 2 3i +m a2 +m l 20 1 22.24 一長(zhǎng)度為 l、質(zhì)量為 m 的均勻剛性桿鉸接于 o 點(diǎn)并以彈簧和粘性阻尼器支承，如

29、 圖 t 2-24 所示。寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)和無(wú)阻尼固有頻率的表達(dá)式。kcokqacq&al圖 t 2-24解：利用動(dòng)量矩方程，有：& &2 & &ml13答案圖 t 2-242mlwn=3ka 2ml 23clml22=2xwn，x=12 2 3ka 2 2a mk c = mw = m =3 3 ml 2 l 3.a&mqll+cqaa+kqbb=0q+caq+kbn精品文檔2.25 圖 t 2-25 所示的系統(tǒng)中，剛桿質(zhì)量不計(jì)，寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)微分方程，并求臨界阻尼系數(shù) 及阻尼固有頻率。cmacq&akbbl圖 t 2-25k qbl答案圖 t 2-25mql解：& &ml2 &

30、 2 &2q=0wn=kb 2 b k=ml 2 l mcaml22ca 2 ca 2 m=2xw ， x= =2ml 2w 2 mlb k nw =w 1 -x2 d n=b k c 2 a 4 m 11 - = 4kml 2 b 2 -c 2 a 4 l m 4m 2l 2b 2 k 2 ml 2由x=1 c = g2bla 2mk2.26 圖 t 2-26 所示的系統(tǒng)中，m = 1 kg，k = 144 n / m，c = 48 n s / m，l = l =1.&m ql l +cql l +kmlq+clq+kl&123精品文檔0.49 m，l = 0.5 l， l = 0.25 l

31、，不計(jì)剛桿質(zhì)量，求無(wú)阻尼固有頻率w2 3n及阻尼z。m mqm ql1l1l2ocl3kc ql3k ql2圖 t 2-26解：受力如答案圖 t 2-26。對(duì) o 點(diǎn)取力矩平衡，有：答案圖 t 2-25& &1 1 3 32 & 2 &1 3ql l =0 2 22q=02m q+1 1cq+ kq=0 16 4 w 2n=1 k =364 m w =6 rad / s n1c16m=2zwnc 1 z= =0.2516m 2wn4.7 兩質(zhì)量均為 m 的質(zhì)點(diǎn)系于具有張力 f 的弦上，如圖 e4.7 所示。忽略振動(dòng)過(guò)程中弦 張力的變化寫(xiě)出柔度矩陣，建立頻率方程。求系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)，并計(jì)算主

32、質(zhì)量、主剛 度、簡(jiǎn)正模態(tài)，確定主坐標(biāo)和簡(jiǎn)正坐標(biāo)。ml lmlfq1fyfq2yfqf圖 e4.7答案圖 e4.7(1).2233(22 1(2l l l111+0 m &yl -1 2 y2 221-1 2 -l y2122 12精品文檔解：sinq =&q= 1 1y y -y y 1 ， sin q =&q=2 1 ， sin q =&q=2 l l l根據(jù)m1和m2的自由體動(dòng)力平衡關(guān)系，有：m &y&=-fsin 1 1q +f sin1y y -y fq =&-f1 +f 2 1 = y -2 yl l l)y -y y fm &y&=-fsinq-f sin q =&-f2 1 -f

33、 2 = y -2 y 2 2 3 1 2)故：m 0 &y&f2 -1y =0當(dāng) m = m 時(shí)，令： 1 2y =y sin1 1wt ， y =y sin 2 2wt，l=w2mlf代入矩陣方程，有：2-l -1 y =02 -l-1-12 -l=(2-l)2-1=(l-1)(l-3)=0l1,2=1,3根據(jù)w2 =1(2-l)y-y=0得：1 2f f f 3 f l = ， w2 = l =ml ml ml mly 1 y 1 1 = =1 ， 1 = =-1 y 2 -l y 2 -l2 1 2 2-1.01.01.0 1.0第一振型第二振型答案圖 e4.7(2).mkmx =0 xkmkx =0，kmk x =w2xkx =0 i j-1t km km mkmk1精品文檔4.11 多自由度振動(dòng)系統(tǒng)質(zhì)量矩陣 m 和剛度矩陣 k 均為正定。對(duì)于模態(tài)xi和xj及自然數(shù) n 證明：解：x ti( -1) t ( -1)j i jkx =w2j jmxj，等號(hào)兩邊左乘km-1km -1kx =w2km -1mx =w2kx j j j jj，等號(hào)兩邊左乘xtix ti j j i j，當(dāng) 時(shí)重復(fù)兩次：km-1kx =w2j