專題19：動(dòng)態(tài)幾何之定值問(wèn)題探討

1、2bcd【2013 年中考攻略】專題 19：動(dòng)態(tài)幾何之定值問(wèn)題探討動(dòng)態(tài)題是近年來(lái)中考的的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，動(dòng)態(tài)包括點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)和面動(dòng)三大類，解這類題目要 “以靜制動(dòng)”，即把動(dòng)態(tài)問(wèn)題，變?yōu)殪o態(tài)問(wèn)題來(lái)解，而靜態(tài)問(wèn)題又是動(dòng)態(tài)問(wèn)題的特殊情況。常見(jiàn)的題型包括最值問(wèn)題、面積問(wèn)題、和差問(wèn)題、定值問(wèn)題和存在性問(wèn)題等。前面我們已經(jīng)對(duì)最值問(wèn)題、面積問(wèn)題、和差問(wèn)題進(jìn) 行了探討，本專題對(duì)定值問(wèn)題進(jìn)行探討。結(jié)合 2011 年和 2012 年全國(guó)各地中考的實(shí)例，我們從三方面進(jìn)行動(dòng)態(tài)幾何之定值問(wèn)題的探討：（1）線 段（和差）為定值問(wèn)題；（2）面積（和差）為定值問(wèn)題；（3）其它定值問(wèn)題。一、線段（和差）為定值問(wèn)題：典型例題：例 1

2、：（2012 黑龍江綏化 8 分）如圖，點(diǎn) e 是矩形 abcd的對(duì)角線 bd 上的一點(diǎn)，且 be=bc ，ab=3 ，bc=4 ，點(diǎn) p 為直線 ec 上的一點(diǎn)，且 pq bc 于點(diǎn) q ，pr bd 于點(diǎn) r （1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) p 為線段 ec 中點(diǎn)時(shí)，易證：pr+pq=125（不需證明）（2） 如圖 2，當(dāng)點(diǎn) p 為線段 ec 上的任意一點(diǎn)（不 與點(diǎn) e 、點(diǎn) c 重合）時(shí)，其它條件不變，則（1）中的 結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由（3） 如圖 3，當(dāng)點(diǎn) p 為線段 ec 延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，其它條件不變，則 pr 與 pq 之間又具有怎樣的 數(shù)量關(guān)系？

3、請(qǐng)直接寫出你的猜想12【答案】解：（2）圖 2 中結(jié)論 pr pq= 仍成立。證明如下：5連接 bp ，過(guò) c 點(diǎn)作 ck bd 于點(diǎn) k 。四邊形 abcd為矩形，bcd=90。又cd=ab=3 ，bc=4 ， bd cd2bc23425 。s =1 1 12 bccd= bdck ，34=5ck ，ck= 。2 2 52 2 221122212s =bce1 1 1beck，s = prbe，s = pqbc，且 s =s s ， bep bcp bce bep bcp1 1 1 beck= prbe pqbc。2 2 21 1 1又be=bc， ck= pr pq。ck=prpq。2 2

4、 212 12又ck= ，prpq= 。5 512（3）圖 3 中的結(jié)論是 prpq= 5【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理。【分析】（2）連接 bp，過(guò) c 點(diǎn)作 ckbd 于點(diǎn) k根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理求出 bd 的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積相等可求出 ck 的長(zhǎng)，最后通過(guò)等量代換即可 證明。（3）圖 3 中的結(jié)論是 prpq=125 。連接 bp，s s =s ，sbec 是固定值，be=bc 為兩 bpe bcp bec個(gè)底，pr，pq 分別為高，從而 prpq=125。例 2：（2012 江西省 10 分）如圖，已知二次函數(shù) l ：y=x 4x+3 與 x 軸交于 ab 兩點(diǎn)（點(diǎn)

5、a 在點(diǎn) b 左 邊），與 y 軸交于點(diǎn) c（1） 寫出二次函數(shù) l 的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2） 研究二次函數(shù) l ：y=kx 4kx+3k（k0）1 寫出二次函數(shù) l 與二次函數(shù) l 有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；2 是否存在實(shí)數(shù) k，使abp 為等邊三角形？如果存在，請(qǐng)求出 k 的值；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；3 若直線 y=8k 與拋物線 l 交于 e、f 兩點(diǎn)，問(wèn)線段 ef 的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？如果不會(huì)，請(qǐng)求出 ef 的長(zhǎng) 度；如果會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】解：（1）拋物線 y =x2-4x +3 =(x-2)2-1，12 122 2122 12二次函數(shù) l 的開口向上，對(duì)稱軸是直線 x

6、=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，1）。（2）二次函數(shù) l 與 l 有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)：對(duì)稱軸為 x=2；都經(jīng)過(guò) a（1，0），b（3，0）兩點(diǎn)。存在實(shí)數(shù) k，使abp 為等邊三角形 y =kx 2 -4kx +3k =k (x-2)2-k，頂點(diǎn) p （2，k）a（1，0），b（3，0），ab=2要使abp 為等邊三角形，必滿足|k|= 3 ，k= 3 。線段 ef 的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化。直線 y=8k 與拋物線 l 交于 e、f 兩點(diǎn)，kx 4kx+3k=8k，k0，x 4x+3=8。解得：x =1，x =5。ef=x x =6。線段 ef 的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化。【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質(zhì)，

7、等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形?！痉治觥浚?）拋物線 y=ax2+bx+c 中：a 的值決定了拋物線的開口方向，a0 時(shí)，拋物線的開口向上；a0 時(shí)，拋物線的開口向下。拋物線的對(duì)稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)，可化為頂點(diǎn)式或用公式求解。（2）新函數(shù)是由原函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)同時(shí)乘以 k 所得，因此從二次函數(shù)的圖象與解析式的系數(shù)的 關(guān)系入手進(jìn)行分析。當(dāng)abp 為等邊三角形時(shí)，p 點(diǎn)必為函數(shù)的頂點(diǎn)，首先表示出 p 點(diǎn)縱坐標(biāo)，它的絕對(duì)值正好是等邊三角形邊長(zhǎng)的32倍，由此確定 k 的值。聯(lián)立直線和拋物線 l 的解析式，先求出點(diǎn) e、f 的坐標(biāo)，從而可表示出 ef 的長(zhǎng)，若該長(zhǎng)度 為定值，則線段 ef 的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化。

8、例 3：（2012 山東德州 12 分）如圖所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為 4 的正方形紙片 abcd，點(diǎn) p 為正方形 ad 邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn) a、點(diǎn) d 重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn) b 落在 p 處，點(diǎn) c 落在 g 處，pg 交 dc 于 h， 折痕為 ef，連接 bp、bh（1） 求證：apb=bph；（2） 當(dāng)點(diǎn) p 在邊 ad 上移動(dòng)時(shí)，pdh 的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3） 設(shè) ap 為 x，四邊形 efgp 的面積為 s，求出 s 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，試問(wèn) s 是否存在最小值？若存在， 求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由2 2 2222( ) ( )22【答案】解：（

9、1）如圖 1，pe=be，ebp=epb又eph=ebc=90，ephepb=ebcebp，即pbc=bph。 又adbc，apb=pbc。apb=bph。（2）phd 的周長(zhǎng)不變?yōu)槎ㄖ?8。證明如下：如圖 2，過(guò) b 作 bqph，垂足為 q。由（1）知apb=bph，又a=bqp=90，bp=bp，abpqbp（aas）。ap=qp，ab=bq。又ab=bc，bc=bq。又c=bqh=90，bh=bh，bchbqh（hl）。ch=qh。phd 的周長(zhǎng)為：pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8。（3）如圖 3，過(guò) f 作 fmab，垂足為 m，則 fm=bc=ab。 又ef

10、 為折痕，efbp。efm+mef=abp+bef=90。efm=abp。又a=emf=90，ab=me，efmbpa（asa）。 em=ap=x在 ape 中，（4be） +x =be ，即 be =2+x8。 cf =be -em =2+x8-x 。又四邊形 pefg 與四邊形 befc 全等，1 1 x s = be +cf bc= 4+ -x 2 2 41 14= x -2x+8= x -2 +6 。 2 22 2 2 0 12 4 ，當(dāng) x=2 時(shí)，s 有最小值 6?！究键c(diǎn)】 翻折變換（折疊問(wèn)題），正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二 次函數(shù)的最值?！痉治觥?/p>

11、（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出pbc=bph，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出apb=pbc 即可得 出答案。（2） 先由 aas 證明abpqbp，從而由 hl 得出bchbqh，即可得 ch=qh。因此， pdh 的周長(zhǎng)=pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8 為定值。（3） 利用已知得 efmbpa，從而利用在 ape 中，（4be） +x =be ，利用二次函數(shù) 的最值求出即可。例 4：（2012 福建泉州 12 分）已知：a、b、c 不在同一直線上.（1）若點(diǎn) a、b、c 均在半徑為 r 的o 上，i）如圖一，當(dāng)a=45時(shí)，r=1，求boc 的度數(shù)和 bc 的長(zhǎng)度；ii）如圖

12、二，當(dāng)a 為銳角時(shí)，求證 sina=bc2r；（2）.若定長(zhǎng)線段 bc 的兩個(gè)端點(diǎn)分別在man 的兩邊 am、an（b、c 均與點(diǎn) a 不重合）滑動(dòng)，如圖三，當(dāng)man=60，bc=2 時(shí)，分別作 bpam，cpan，交點(diǎn)為點(diǎn) p ，試探索：在整個(gè)滑動(dòng)過(guò)程中，p 、a 兩點(diǎn)的距離是否保持不變？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】解：（1）i）a=45，boc=90（同弧所對(duì)的圓周角等于其所對(duì)的圓心角的一半）。 又r=1，由勾股定理可知 bc= 1 1= 2 。ii）證明：連接 bo 并延長(zhǎng)，交圓于點(diǎn) e，連接 ec?？芍?ecbc（直徑所對(duì)的圓周角為 90），且e=a（同弧所對(duì)的圓周角相等）。故 sina=si

13、na=bc bc= 。be 2r（2）保持不變。理由如下：如圖，連接 ap，取 ap 的中點(diǎn) k，連接 bk、ck，在 apc 中，ck=12ap=ak=pk。同理得：bk=ak=pk。ck=bk=ak=pk。點(diǎn) a、b、p、c 都在k 上。由（1）ii）sina=bc bc可知 sin60= 。2r apap=bc 4 3= （為定值）。 sin60 3【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心，圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，直 角三角形中線性質(zhì)?！痉治觥浚?）i）根據(jù)圓周角定理得出boc=2a=90，再利用勾股定理得出 bc 的長(zhǎng)；ii）作直徑 ce，則e=a，ce=2r，

14、利用 sina=sine=bc bc= ，得出即可。 be 2rbc bc 4 3（2）首先證明點(diǎn) a、b、p、c 都在k 上，再利用 sina= ，得出 ap= = （定2r sin60 3值）即可。例 5：（2012 山東濰坊 11 分）如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于 a(2，o)、b(2，0)、c(0，l)三點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) o 的直線 y=kx 與拋物線交 于 m、n 兩點(diǎn)分別過(guò)點(diǎn) c、d(0，2)作平行于 x 軸的直線 l1(1) 求拋物線對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的解析式；相切；(2) 求證以 on 為直徑的圓與直線 l1(3)求線段 mn 的長(zhǎng)(用 k 表示)，并證明 m、n 兩點(diǎn)到直線 l的

15、距離之和等于線段 mn 的長(zhǎng) 2、l222222442222 2222 222242 22 222 22【答案】解：（1）設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的解析式為 y=ax bxc，4a -2b+c=0則 4a+2b+c=0 1a=4解得 b=0 。c= -1c= -11拋物線對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的解析式 所以 y= x -1 。4（2）設(shè) m(x ，y )，n(x ，y )，因?yàn)辄c(diǎn) m、n 在拋物線上，1 1 2 21 1 y = x -1，y = x -1 ，x =4(y +1)。 1 1 2 2 2 2又 on =x22+y22=4 (y +1)+y 222=(y +2 )， on = y +2 。 2

16、2又y l，on=2y 。2 2作垂線，垂足設(shè) on 的中點(diǎn) e，分別過(guò)點(diǎn) n、e 向直線 l1oc +np 2 +y= ，為 p 、f， 則 ef =2 2on=2ef，即 on 的中點(diǎn)到直線 l的距離等于 on 長(zhǎng)度的一半，1以 on 為直徑的圓與 l 相切。1（3）過(guò)點(diǎn) m 作 mhnp 交 np 于點(diǎn) h，則 mn2 =mh 2 +nh 2 =(x -x2 1)+(y-y ) 2 1，又y =kx ，y =kx ，（y y )2=k (x x ) 。mn =(1+k )(x 一 x ) 。 1 1 2 2 2 1 2 1 2 l又點(diǎn) m、n 既在 y=kx 的圖象上又在拋物線上，1 k

17、x= x -1 ，即 x 4kx4=0，x x =4k，x x =4。2 1 2 1mn =(1+k )(x 一 x ) =(1+k ) (x x ) 4x x =16(1+k ) 。mn=4(1+k )。2 l 2 l 2 l延長(zhǎng) np 交 l 2于點(diǎn) q，過(guò)點(diǎn) m 作 ms l2交 l2于點(diǎn) s，24 41111 1則 msnq=y 2y 2= x -1+ x1 2 122-1+4=(x2+x 2 )+2= (x+x )2-2x x +2= (16k2+8 )+2=4k 2 +4=4 (1+k2) 4 1 2 4 1 2 1 2 4ms+nq=mn，即 m、n 兩點(diǎn)到 l 距離之和等于線段

18、 mn 的長(zhǎng)。2【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)的求法，直線與圓相切 的條件，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，勾股定理?！痉治觥浚?）根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，用待定系數(shù)法即可求出拋物線對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的 解析式。（2）要證以 on 為直徑的圓與直線 l 相切，只要證 on 的中點(diǎn)到直線 l 的距離等于 on 長(zhǎng)的一半1 1即可。（3）運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出mn 和 m、n 兩點(diǎn)到直線 l2的距離之和，相比較即可。例 6：（2012 湖北咸寧 10 分）如圖 1，矩形 mnpq 中，點(diǎn) e，f，g，h 分別在 np，pq，qm，mn

19、上，若 1 =2 =3 =4 ，則稱四邊形 efgh 為矩形 mnpq 的反射四邊形圖 2，圖 3，圖 4 中，四邊形 abcd 為矩形，且 ab=4，bc=8理解與作圖：（1）在圖 2，圖 3 中，點(diǎn) e，f 分別在 bc，cd 邊上，試?yán)谜叫尉W(wǎng)格在圖上作出矩形 abcd 的 反射四邊形 efgh計(jì)算與猜想：（2） 求圖 2，圖 3 中反射四邊形 efgh 的周長(zhǎng)，并猜想矩形 abcd 的反射四邊形的周長(zhǎng)是否為定值？ 啟發(fā)與證明：（3） 如圖 4，為了證明上述猜想，小華同學(xué)嘗試延長(zhǎng) gf 交 bc 的延長(zhǎng)線于 m，試?yán)眯∪A同學(xué)給我 們的啟發(fā)證明（2）中的猜想2 222【答案】解：（1）

20、作圖如下：（2）在圖 2 中， ef =fg =gh =he = 2 +4 = 20 =2 5 ， 四邊形 efgh 的周長(zhǎng)為 8 5 。在圖 3 中， ef =gh = 22+1 = 5 ， fg =he = 3+62= 45 =3 5 ，四邊形 efgh 的周長(zhǎng)為 2 5 +2 3 5 =8 5 。猜想：矩形 abcd 的反射四邊形的周長(zhǎng)為定值。（3）延長(zhǎng) gh 交 cb 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) n， 1 =2 ， 1 =5 ， 2 =5 。又fc=fc， fce fcm（asa）。ef=mf，ec=mc。同理：nh=eh，nb=eb。mn=2bc=16。 m =90-5=90-1，n =90-3，

21、1=3 ， m =n 。 gm=gn。過(guò)點(diǎn) g 作 gkbc 于 k，則 km =12mn =8 。 gm = gk2+km2= 42+82=4 5 。四邊形 efgh 的周長(zhǎng)為 2gm =8 5 。矩形 abcd 的反射四邊形的周長(zhǎng)為定值。【考點(diǎn)】 新定義，網(wǎng)格問(wèn)題，作圖（應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖），勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性 質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作出相等的角即可得到反射四邊形。（2） 圖 2 中，利用勾股定理求出 ef=fg=gh=he 的長(zhǎng)度，然后即可得到周長(zhǎng)，圖 3 中利用勾股 定理求出 ef=gh，fg=he 的長(zhǎng)度，然后求出周長(zhǎng)，從而得到四

22、邊形 efgh 的周長(zhǎng)是定值。（3） 延長(zhǎng) gh 交 cb 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) n，再利用“asa”證明 fce 和 fcm 全等，根據(jù)全等 三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 ef=mf，ec=mc，同理求出 nh=eh，nb=eb，從而得到 mn=2bc，再證明 gm=gn，過(guò)點(diǎn) g 作 gkbc 于 k，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出 km =12mn =8 ，再利用勾股定理求出 gm的長(zhǎng)度，然后即可求出四邊形 efgh 的周長(zhǎng)。例 7：（2012 廣西崇左 10 分）如圖所示，在正方形 abcd 中，點(diǎn) e、f 分別在 bc、cd 上移動(dòng)，但點(diǎn) a 到 ef 的距離 ah 始終保持與 ab 的長(zhǎng)度相等，

23、問(wèn)在點(diǎn) e、f 移動(dòng)過(guò)程中；（1） eaf 的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.（2） ecf 的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.練習(xí)題：1. （2011 湖南岳陽(yáng) 8 分）如圖，將菱形紙片 ab（e）cd（f）沿對(duì)角線 bd（ef）剪開，得 abd 和ecf，固定abd，并把a(bǔ)bd 與ecf 疊放在一起（1）操作：如圖，將ecf 的頂點(diǎn) f 固定在abd 的 bd 邊上的中點(diǎn)處，ecf 繞點(diǎn) f 在 bd 邊上方左右旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí) fc 交 ba 于點(diǎn) h（h 點(diǎn)不與 b 點(diǎn)重合），fe 交 da 于點(diǎn) g（g 點(diǎn)不與 d 點(diǎn)重合）求證：bhgd=bf2（2）操作：如圖，ecf 的頂點(diǎn) f 在ab

24、d 的 bd 邊上滑動(dòng)（f 點(diǎn)不與 b、d 點(diǎn)重合），且 cf 始終經(jīng) 過(guò)點(diǎn) a，過(guò)點(diǎn) a 作 agce，交 fe 于點(diǎn) g，連接 dg探究：fd+dg=請(qǐng)予證明2. （2011 四川眉山 11 分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) a（0，1），b（4，4），將點(diǎn) b 繞點(diǎn) a 順時(shí) 針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90得到點(diǎn) c；頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) b（1） 求拋物線的解析式和點(diǎn) c 的坐標(biāo)；（2） 拋物線上一動(dòng)點(diǎn) p，設(shè)點(diǎn) p 到 x 軸的距離為 d ，點(diǎn) p 到點(diǎn) a 的距離為 d ，試說(shuō)明 d =d 1；1 2 2 1（3）在（2）的條件下，請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)點(diǎn)p 位于何處時(shí) pac 的周長(zhǎng)有最小值，并求

25、pac 的周長(zhǎng)的最小 值3. （2011 湖南郴州 10 分）如圖， abc 中，a=30，bc=10cm，點(diǎn) q 在線段 bc 上從 b 向 c 運(yùn)動(dòng)， 點(diǎn) p 在線段 ba 上從 b 向 a 運(yùn)動(dòng)q、p 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)點(diǎn)q 到達(dá)點(diǎn) c 時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)作 pmpq 交 ca 于點(diǎn) m，過(guò)點(diǎn) p 分別作 bc、ca 的垂線，垂足分別為 e、f （1）求證：pqepmf；（2）當(dāng)點(diǎn) p、q 運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)猜想線段 pm 與 ma 的大小有怎樣的關(guān)系？并證明你的猜想；（3）設(shè) bp=x，pem 的面積為 y ，求 y 關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng) x為何值時(shí)， y 有最大值，并將這個(gè)

26、值求出來(lái)4. （2011 遼寧營(yíng)口 14 分）已知正方形 abcd，點(diǎn) p 是對(duì)角線 ac 所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) e 在 dc 邊所在 直線上，且隨著點(diǎn) p 的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，pepd 總成立(1) 如圖(1)，當(dāng)點(diǎn) p 在對(duì)角線 ac 上時(shí)，請(qǐng)你通過(guò)測(cè)量、觀察，猜想 pe 與 pb 有怎樣的關(guān)系？(直接寫 出結(jié)論不必證明)；(2) 如圖(2)，當(dāng)點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)到 ca 的延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中猜想的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明； 如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3) 如圖(3)，當(dāng)點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)到 ca 的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你利用圖(3)畫出滿足條件的圖形，并判斷此時(shí) pe 與 pb 有怎樣的關(guān)系？(

27、直接寫出結(jié)論不必證明)(1) (2)5. （2011 貴州遵義 12 分）如圖，梯形 abcd 中，adbc，bc20cm，ad10cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) p、q 分別從 b、d 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn) p 以每秒 2cm 的速度沿 bc 向終點(diǎn) c 移動(dòng)，點(diǎn) q 以每秒 1cm 的速度沿 da向終點(diǎn) a 移動(dòng)，線段 pq 與 bd 相交于點(diǎn) e，過(guò) e 作 efbc 交 cd 于點(diǎn) f，射線 qf 交 bc 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) h， 設(shè)動(dòng)點(diǎn) p 、q 移動(dòng)的時(shí)間為 t（單位：秒，0t10）（1） 當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形 pcdq 為平行四邊形？（2） 在 p、q 移動(dòng)的過(guò)程中，線段 ph 的長(zhǎng)是否發(fā)生改變

28、？如果不變，求出線段 ph 的長(zhǎng)；如果改變，請(qǐng) 說(shuō)明理由6. （2011 黑龍江龍東五市 8 分）如圖，點(diǎn) e 是矩形 abcd 的對(duì)角線 bd 上的一點(diǎn)，且 be=bc，ab=3， bc=4，點(diǎn) p 為直線 ec 上的一點(diǎn)，且 pqbc 于點(diǎn) q，prbd 于點(diǎn) r。（1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) p 為線段 ec 中點(diǎn)時(shí)，易證：pr+pq=125（不需證明）。（2） 如圖 2，當(dāng)點(diǎn) p 為線段 ec 上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn) e、點(diǎn) c 重合）時(shí)，其它條件不變，則（1）中 的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。（3） 如圖 3，當(dāng)點(diǎn) p 為線段 ec 延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，其它條

29、件不變，則 pr 與 pq 之間又具有怎樣 的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想。二、面積（和差）為定值問(wèn)題：典型例題：例 1：（2012 湖北十堰 3 分）如圖，o 是正abc 內(nèi)一點(diǎn)，oa=3，ob=4，oc=5，將線段 bo 以點(diǎn) b 為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到線段 bo，下列結(jié)論： boa 可以 boc 繞點(diǎn) b 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到；點(diǎn) o 與 o的距離為 4；aob=150； s四邊形aobo=6+3 3 ； saoc+saob=6+9 34其中正確的結(jié)論是【 】abcd【答案】a。【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理。00000 0x

30、【分析】正abc，ab=cb，abc=60 。線段 bo 以點(diǎn) b 為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到線段 bo，bo=bo，oao=60 。 oba=60 abo=oba。aboc。 boa 可以由boc 繞點(diǎn) b 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到。故結(jié)論正確。連接 oo，bo=bo，oao=60 ，obo是等邊三角形。oo=ob=4。故結(jié)論正確。 在aoo中，三邊長(zhǎng)為 oa=oc=5，oo=ob=4，oa=3，是一組勾股數(shù)，aoo是直角三角形。aob=aoooob =90 60 =150。故結(jié)論正確。s四邊形aobo=sdaoo+sdobo1 1= 34+ 42 3 =6+4 3 。故結(jié)論錯(cuò)誤。 2 2如

31、圖所示，將aob 繞點(diǎn) a 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60，使得 ab 與 ac 重合， 點(diǎn) o 旋轉(zhuǎn)至 o點(diǎn)易知aoo是邊長(zhǎng)為 3 的等邊三角形 coo是邊長(zhǎng)為 3、4、5 的 直角三角形。則 sdaoc+sdaob=saoco=sdcoo+sdaoo1 1 3 3 9 3 = 34+ 3 =6+ 。2 2 2 4故結(jié)論正確。綜上所述，正確的結(jié)論為：。故選 a。例 2：（2012 廣西玉林、防城港 12 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 x o y 中，矩形 aocd 的頂點(diǎn) a 的坐標(biāo)是（0,4），現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn) p、q，點(diǎn) p 從點(diǎn) o 出發(fā)沿線段 oc（不包括端點(diǎn) o，c）以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，勻速向

32、點(diǎn) c 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) q 從點(diǎn) c 出發(fā)沿線段 cd（不包括端點(diǎn) c，d）以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向點(diǎn)d 運(yùn)動(dòng).點(diǎn) p ，q 同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒，當(dāng) t=2 秒時(shí) pq=2 5.（1） 求點(diǎn) d 的坐標(biāo)，并直接寫出 t 的取值范圍；（2） 連接 aq 并延長(zhǎng)交 軸于點(diǎn) e,把 ae 沿 ad 翻折交 cd 延長(zhǎng)線于點(diǎn) f,連接 ef， a ef 的面積 s 是 否隨 t 的變化而變化？若變化，求出 s 與 t 的函數(shù)關(guān)系式；若不變化，求出 s 的值.（3） 在（2）的條件下，t 為何值時(shí)，四邊形 apqf 是梯形？2 2( )2梯形 aocf fce aoe2【答案】

33、解：（1）由題意可知，當(dāng) t=2（秒）時(shí)，op=4，cq=2，在 pcq 中，由勾股定理得：pc= pq -cq =2 5 -22=4，oc=op+p c=4+4=8。又矩形 aocd，a（0，4），d（8，4）。 t 的取值范圍為：0t4。（2）結(jié)論：aef 的面積 s 不變化。aocd 是矩形，adoe，aqdeqc。ce cq ce t 8t = ，即 = ，解得 ce= 。ad dq 8 4 -t 4 -t由翻折變換的性質(zhì)可知：df=dq=4t，則 cf=cd+df=8t。1 1 1s=s s s = （oa+cf）oc+ cfce oaoe2 2 2=1 1 8t 1 8t4（8t）

34、8+ （8t） 4（8 ）。 2 2 4 -t 2 4 -t化簡(jiǎn)得：s=32 為定值。所以aef 的面積 s 不變化，s=32。（3）若四邊形 apqf 是梯形，因?yàn)?ap 與 cf 不平行，所以只有 pqaf。 由 pqaf 可得：cpqdaf。cp：ad=cq：df，即 82t：8= t：4t，化簡(jiǎn)得 t 12t16=0，。解得：t =6+2 5 ，t = 6 -2 51 2由（1）可知，0t4，t =6+215不符合題意，舍去。當(dāng) t=6 -2 5秒時(shí)，四邊形 apqf 是梯形。【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)和翻折問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，翻折對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，梯形的 性質(zhì)，解一元二次

35、方程。( )( )21 2 21 2【分析】（1）由勾股定理可求 pc 而得點(diǎn) c 的坐標(biāo)，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得點(diǎn) d 的坐標(biāo)。點(diǎn) p 到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間為 82=4 秒，點(diǎn) q 到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間為 41=4 秒，由題意可知，t 的取值范圍為：0t4。（2） 根據(jù)相似三角形和翻折對(duì)稱的性質(zhì)，求出 s 關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式，由于關(guān)系式為常數(shù)，所以 aef 的面積 s 不變化，s=32。（3） 根據(jù)梯形的性質(zhì)，應(yīng)用相似三角形即可求解。例 3：（2012 江蘇蘇州 9 分）如圖，正方形 abcd 的邊 ad 與矩形 efgh 的邊 fg 重合，將正方形 abcd以 1cm/s 的速度沿 fg 方向移動(dòng)

36、，移動(dòng)開始前點(diǎn) a 與點(diǎn) f 重合.在移動(dòng)過(guò)程中，邊 ad 始終與邊 fg 重合，連接 cg，過(guò)點(diǎn) a 作 cg 的平行線交線段 gh 于點(diǎn) p，連接 pd.已知正方形 abcd 的邊長(zhǎng)為 1cm，矩形 efgh的邊 fg、gh 的長(zhǎng)分別為 4cm、3cm.設(shè)正方形移動(dòng)時(shí)間為 x（s），線段 gp 的長(zhǎng)為 y（cm），其中 0x2.5.1 試求出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并求出 y =3 時(shí)相應(yīng) x 的值；2 記dgp 的面積為 s ，cdg 的面積為 s 試說(shuō)明 s s 是常數(shù)；1 2 1 2當(dāng)線段 pd 所在直線與正方形 abcd 的對(duì)角線 ac 垂直時(shí)，求線段 pd 的長(zhǎng).【答案】解

37、：（1）cgap，cgd=pag，則 tan cgd=tan pag 。gf=4，cd=da=1，af=x，gd=3x，ag=4x。cd pg= 。gd ag1 y 4 -x 4 -x = ，即 y= 。y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式為 y= 。3 -x 4 -x 3 -x 3 -x4 -x當(dāng) y =3 時(shí)， 3= ，解得:x=2.5。3 -x（2）1 1 4 -x 1 1 1 1 3 s = gp gd= 3 -x =- x+2，s = gd cd= 3 -x 1=- x+2 3 -x 2 2 2 2 2， 1 1 3 1 s -s = - x+2 - - x+ = 2 2 2為常數(shù)。（3）延長(zhǎng)

38、 pd 交 ac 于點(diǎn) q.正方形 abcd 中，ac 為對(duì)角線，cad=45。2 2 2pqac，adq=45。gdp=adq=45。dgp 是等腰直角三角形，則 gd=gp。 3 -x=4 -x3 -x5 5，化簡(jiǎn)得： x -5x+5=0 ，解得： x= 。20x2.5，x=5 - 52。在 dgp 中， pd=gdcos450= 2 (3-x)= 2 5 - 5 2+ 10 3- = ?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，銳 角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】（1）根據(jù)題意表示出 ag、gd 的長(zhǎng)度，再由 tan cgd=t

39、an pag 可解出 x 的值。（2）利用（1）得出的 y 與 x 的關(guān)系式表示出 s 、s ，然后作差即可。1 2（3）延長(zhǎng) pd 交 ac 于點(diǎn) q，然后判斷dgp 是等腰直角三角形，從而結(jié)合 x 的范圍得出 x 的值， 在 dgp 中，解直角三角形可得出 pd 的長(zhǎng)度。例 4：（2012 四川自貢 12 分）如圖所示，在菱形 abcd 中，ab=4，bad=120，aef 為正三角形， 點(diǎn) e、f 分別在菱形的邊 bccd 上滑動(dòng)，且 e、f 不與 bcd 重合（1） 證明不論 e、f 在 bccd 上如何滑動(dòng)，總有 be=cf；（2） 當(dāng)點(diǎn) e、f 在 bccd 上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊

40、形 aecf 和cef 的面積是否發(fā)生變化？如果不變， 求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最?。┲怠敬鸢浮拷猓海?）證明：如圖，連接 ac四邊形 abcd 為菱形，bad=120，bae+eac=60，fac+eac=60， bae=fac。bad=120，abf=60。abc 和acd 為等邊三角形。acf=60，ac=ab。abe=afc。abe acfaecfaecacfaecabeabc2 2cefaecfaef=ss( )2()2在abe 和acf 中，bae=fac，ab=ac，abe=afc， abeacf（asa）。be=cf。（2）四邊形 aecf 的面積不變，cef 的面

41、積發(fā)生變化。理由如下： 由（1）得abeacf，則 s =s 。 s =s =s +s =s ，是定值。四邊形 作 ahbc 于 h 點(diǎn)，則 bh=2，s四邊形 aecf=sdabc1 1= bc ah = bc ab -bh =4 3 。 2 2由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形 aef 的邊 ae 與 bc 垂直時(shí)，邊 ae 最短故aef 的面積會(huì)隨著 ae 的變化而變化，且當(dāng) ae 最短時(shí)，正三角形 aef 的面積會(huì)最小， 又 s =s s ，則此時(shí)cef 的面積就會(huì)最大 四邊形 scef四邊形aecfaef1=4 3 - 2 3 22 3 - 3 =3 。cef 的面積的最大值是 3 。

42、【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂直線段的性質(zhì)?！痉治觥浚?）先求證 ab=ac，進(jìn)而求證abc、acd 為等邊三角形，得acf =60，ac=ab，從而 求證abeacf，即可求得 be=cf。（2）由abeacf 可得 s =s ，故根據(jù) s f=s +s =s +s e=sabe acf 四邊形 aec aec acf aec abc即可得四邊形 aecf 的面積是定值。當(dāng)正三角形 aef 的邊 ae 與 bc 垂直時(shí)，邊 ae 最短aef 的面積會(huì)隨著 ae 的變化而變化，且當(dāng) ae 最短時(shí)，正三角形 aef 的面積會(huì)最小，根據(jù) s =s

43、s ，cef 四邊形 aecf aef則cef 的面積就會(huì)最大。例 5：（2012 湖南益陽(yáng) 12 分）已知：如圖 1，在面積為 3 的正方形 abcd 中，e、f 分別是 bc 和 cd 邊上 的兩點(diǎn)，aebf 于點(diǎn) g，且 be=1（1） 求證：abebcf；（2） 求出abe 和bcf 重疊部分（ beg）的面積；（3） 現(xiàn)將abe 繞點(diǎn) a 逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到e（如圖 2），使點(diǎn) e 落在 cd 邊上的點(diǎn) e處，問(wèn)abe 在旋轉(zhuǎn)前后與bcf 重疊部分的面積是否發(fā)生了變化？請(qǐng)說(shuō)明理由2 2 2【答案】（1）證明：四邊形 abcd 是正方形，abe=bcf=90，ab=bc。abf+cbf=

44、90。 aebf，abf+bae=90。bae=cbf。在abe 和bcf 中，abe=bcf，ab=bc，bae=cbf，abebcf（asa）。（2）解：正方形面積為 3，ab= 3 。在bge 與abe 中，gbe=bae，egb=eba=90， bgeabe。s bedbge =( )s aedabe2。又be=1，ae =ab +be =3+1=4。2dabe2 sdbge=be 1 3 3 s = =ae 4 2 8。練習(xí)題：1. （2011 山東東營(yíng) 12 分）如圖所示，四邊形 oabc 是矩形點(diǎn) a、c 的坐標(biāo)分別為(-3，0)，(0，1)，點(diǎn)d 是線段 bc 上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)

45、 b、c 不重含)，過(guò)點(diǎn) d 作直線y =12x +b交折線 oab 于點(diǎn) e。(1) 記ode 的面積為 s求 s 與 b 的函數(shù)關(guān)系式：(2) 當(dāng)點(diǎn) e 在線段 oa 上時(shí)，且 tandeo=12。若矩形 oabc 關(guān)于直線 de 的對(duì)稱圖形為四邊形o a b c1 1 1 1試探究四邊形o a b c1 1 1 1與矩形 oabc 的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不交，求出該重2疊部分妁面積；若改變請(qǐng)說(shuō)明理由。2. （2011 浙江舟山、嘉興 12 分）已知直線 y =kx +3 （ k 0）分別交 x 軸、 y 軸于 a、b 兩點(diǎn)，線段 oa 上有一動(dòng)點(diǎn) p 由原點(diǎn) o 向點(diǎn) a 運(yùn)動(dòng)

46、，速度為每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn) p 作 x 軸的垂線交直線 ab 于點(diǎn) c， 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒（1）當(dāng) k =-1時(shí)，線段 oa 上另有一動(dòng)點(diǎn) q 由點(diǎn) a 向點(diǎn) o 運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn) p 以相同速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng) 點(diǎn) p 到達(dá)點(diǎn) a 時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（如圖 1）1 直接寫出 t 1 秒時(shí) c、q 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；2 若以 q、c、a 為頂點(diǎn)的三角形與aob 相似，求 t 的值（2）當(dāng) k =-34時(shí)，設(shè)以 c 為頂點(diǎn)的拋物線 y =( x +m ) 2 +n 與直線 ab 的另一交點(diǎn)為 d（如圖 2），1 求 cd 的長(zhǎng)；2 設(shè)cod 的 oc 邊上的高為 h ，當(dāng) t 為何值時(shí)， h 的值

47、最大？三、其它定值問(wèn)題：典型例題：例 1：（2012 浙江義烏 12 分）如圖 1，已知直線 y=kx 與拋物線 y= -4 22x + x 交于點(diǎn) a（3，6） 27 3（1） 求直線 y=kx 的解析式和線段 oa 的長(zhǎng)度；（2） 點(diǎn) p 為拋物線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) p 作直線 pm，交 x 軸于點(diǎn) m（點(diǎn) m、o 不重合），交直線oa 于點(diǎn) q，再過(guò)點(diǎn) q 作直線 pm 的垂線，交 y 軸于點(diǎn) n試探究：線段 qm 與線段 qn 的長(zhǎng)度之比是否 為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，說(shuō)明理由；2 2（3）如圖 2，若點(diǎn) b 為拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn) e 在線段 oa 上（與點(diǎn) o、a 不重合），點(diǎn) d（m，0）是 x 軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足bae=bed=aod繼續(xù)探究：m 在什么范圍時(shí)，符合條件的 e 點(diǎn) 的個(gè)數(shù)分別是 1 個(gè)、2 個(gè)