1 質(zhì)點運動學(xué)-1

1、2004年評為省級精品課程年評為省級精品課程 補充內(nèi)容補充內(nèi)容 矢量及其運算矢量及其運算 P 299 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 x, y, z正向單位矢用正向單位矢用 表示表示 自然坐標(biāo)中切向和法向單位矢用自然坐標(biāo)中切向和法向單位矢用 表示表示 kji , n , 2 2、書寫表示矢量、書寫表示矢量 如如: 等 BEaF,v 矢量矢量 既有大小，又有既有大小，又有方向方向 書寫書寫 字母上加箭頭字母上加箭頭 印刷印刷 用黑體字用黑體字 單位矢量單位矢量 大小為大小為 1 1 的矢量的矢量 用一有向線段表示矢量用一有向線段表示矢量長度表示大小長度表示大小, 箭頭指向表示方向箭頭指向表示方向 1 1、

2、作圖表示矢量、作圖表示矢量 作業(yè)中，矢量符號一定要用字母上加箭頭表示作業(yè)中，矢量符號一定要用字母上加箭頭表示 F 4、矢量的分解、矢量的分解 平行四邊形法平行四邊形法: A B A B C A B 平面矢量的分解平面矢量的分解 3、矢量的合成、矢量的合成 作圖法作圖法 正交正交分解分解 矢量相減矢量相減 相當(dāng)于相當(dāng)于+（ ） B A B D B D ）（BAD jAiAjAiAA yx sincos A x y o y A x A B 空間矢量的分解空間矢量的分解 的大小A 的方向A x y A A tan 的大小 A 22 yx AAA jAiAjAiAA yx sincos kAjAiA

3、zyx ocoboaocpoA 222 zyx AAAA A x y o y A x A x z oy A c a b p p 5、矢量的運算、矢量的運算 (1) (1) 兩矢量的和與差兩矢量的和與差 kBAjBAiBABA zzyyxx )()()( (2) (2) 兩矢量點乘兩矢量點乘( (標(biāo)積標(biāo)積) ) 性質(zhì)：性質(zhì)： 已知已知: ， kAjAiAA zyx kBjBiBB zyx 結(jié)果為一標(biāo)量結(jié)果為一標(biāo)量。 是 與 的夾角 A B ABBA 0 BA ABBA )(3 BA )(2 cosABBA 定義定義: A )(1B 1kkjjii 0ikkjji zzyyxx BABABABA

4、(3) 兩矢量叉乘（矢積）兩矢量叉乘（矢積） sinABC 的大小 C 結(jié)果為一矢量結(jié)果為一矢量。令該矢量為。令該矢量為 , 即即 C CBA 的方向垂直的方向垂直 與與 構(gòu)成的平面，構(gòu)成的平面， 指向由右手螺旋法則確定指向由右手螺旋法則確定 C A B A B C 性質(zhì)：性質(zhì)： 單位矢量的叉乘單位矢量的叉乘 ABBA )3( BA )(2ABC 0kkjjii kijji ijkkj jkiik B A ) 1 ( 0C k i j 矢量叉乘可以寫成行列式矢量叉乘可以寫成行列式 zyx zyx BBB AAA kji BA kBABAjBABAiBABA xyyxzxxzyzzy )()()

5、( )()(kBjBiBkAjAiABA zyxzyx 矢量叉乘的坐標(biāo)分量式矢量叉乘的坐標(biāo)分量式 六、矢量的微商和積分（略）六、矢量的微商和積分（略） P 302 第第1 1章章 質(zhì)點運動學(xué)質(zhì)點運動學(xué) 1 質(zhì)點質(zhì)點 1.1 1.1 參考系參考系 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 質(zhì)點質(zhì)點 研究問題中研究問題中, ,物體的形狀物體的形狀 和大小可以忽略不計和大小可以忽略不計 物體上各點的運動情況物體上各點的運動情況 相同相同(平動平動) 以下情況的實物可以當(dāng)成質(zhì)點：以下情況的實物可以當(dāng)成質(zhì)點： 2 參考系參考系 和和 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 物體運動的描述具有相對性物體運動的描述具有相對性 物體運動具有絕對性物體運動具有絕對

6、性 參考系參考系 參照物參照物 參照物參照物 研究對象研究對象 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 (system of coordinates)用以標(biāo)定物體的空間位置用以標(biāo)定物體的空間位置 而設(shè)置的坐標(biāo)系統(tǒng)，是固結(jié)于參考系上的一個數(shù)學(xué)抽象。而設(shè)置的坐標(biāo)系統(tǒng)，是固結(jié)于參考系上的一個數(shù)學(xué)抽象。 說明說明 參照物參照物 y x z o 坐標(biāo)系坐標(biāo)系-定量描述定量描述 ： 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系 z x yo P(x,y,z) 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 r 自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系 o n P(n, ) P(r, , ) x y z o r 極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系 O 極軸極軸 徑向徑向 橫向橫向 r P(r, ) 極角極角 1.2 1.2

7、 質(zhì)點運動的描述質(zhì)點運動的描述 r z y x o kzjyi xr 222 zyxr r z r y r x coscoscos 1.1.位置矢量（位矢）位置矢量（位矢） P(x,y,z) 從坐標(biāo)原點從坐標(biāo)原點O出發(fā)，指向質(zhì)點所在出發(fā)，指向質(zhì)點所在 位置位置P 的一有向線段的一有向線段 r 矢量性、矢量性、 瞬時性、相對性瞬時性、相對性 ktzjtyitxr )()()( )(trr x o z y r 2. 運動方程運動方程 質(zhì)點質(zhì)點位置坐標(biāo)隨時間變化的函數(shù)關(guān)系位置坐標(biāo)隨時間變化的函數(shù)關(guān)系 )( )( )( tzz tyy txx 運動方程中消去時間運動方程中消去時間t t 得得 kzjy

8、i xr 位矢位矢 運動方程的建立非常重要運動方程的建立非常重要 例例1 1 一質(zhì)點作勻速率圓周運動，一質(zhì)點作勻速率圓周運動，圓周圓周半徑為半徑為 R ，角速度為，角速度為 。 求求質(zhì)點的質(zhì)點的運動方程運動方程和和軌跡方程軌跡方程 。 解：解：以圓心以圓心O 為原點。建立直角為原點。建立直角 坐標(biāo)系坐標(biāo)系Oxy ，O 點為起始時刻，點為起始時刻， 設(shè)設(shè)t 時刻質(zhì)點位于時刻質(zhì)點位于P（x , y）。 sin , costRytRx 質(zhì)點運動方程質(zhì)點運動方程為為 j tRi tRjtyitxtr sincos)()()( x y P t x y O r ),(yx O 從運動學(xué)方程消去從運動學(xué)方程

9、消去t即可得到質(zhì)點的即可得到質(zhì)點的 軌跡方程軌跡方程 x2+y 2=R2 如果用極坐標(biāo)表示：如果用極坐標(biāo)表示：t 3. 位移與路程位移與路程 r z y x o B r B A r A ABrrr AB 位移是矢量位移是矢量 sr t時間內(nèi)質(zhì)點經(jīng)歷過的時間內(nèi)質(zhì)點經(jīng)歷過的軌跡長度軌跡長度稱為稱為路程路程，用 表示。s 路程是標(biāo)量路程是標(biāo)量 設(shè)質(zhì)點作曲線運動設(shè)質(zhì)點作曲線運動, ,t t 時刻在時刻在 A A點，位矢為點，位矢為 ， A r ABs 弧長弧長 B r 時刻位于時刻位于B B點，位矢為點，位矢為 )(tt 位移位移： 路程路程(path) ： t 時間內(nèi)，時間內(nèi)，位矢的變化量位矢的變化

10、量稱為稱為 位移（即位移（即A到到B的有向線段），用的有向線段），用 表示。表示。r s 注意注意 問題：何時能取等號？問題：何時能取等號？ kzj yi xr 或 222 zyxr 位移的大小位移的大小 kzzjyyixx ABABAB )()()( AB rrr r z y x o B r B A r A kzjyixr BBBB kzjyixr AAAA 矢量的矢量的“模之差模之差”rr 矢量的矢量的“差之模差之?！?rr 4. 速度速度 (1) 平均速度平均速度 B A o z y x A r B r r sm t r v t r (3) 平均速度的大小平均速度的大小 (1) 是矢量是

11、矢量, , 方向與方向與 相同相同 v r (2) 與時間間隔與時間間隔 t t有關(guān)有關(guān) v t r t s v (4) 平均速率平均速率 注意注意 描述質(zhì)點運動快慢的物理量描述質(zhì)點運動快慢的物理量 (2) (2) 瞬時速度瞬時速度 o z y x A A r B B r r v 是矢量是矢量, 的方向為軌道上質(zhì)點的方向為軌道上質(zhì)點 所在處的切線方向。所在處的切線方向。 v v drdxdydz ijk dtdtdtdt v xyz ijk vvvv sm lim 0 dt rd t r t v ：矢量性、瞬時性、相對性矢量性、瞬時性、相對性 已知速度求位移，用積分已知速度求位移，用積分 ,

12、xyz dxdydz dtdtdt vvv 222 zyx vvvvv 1 sm t s v dt ds t s t lim 0 v s r B A vv 因此sr vv 則dsrdr 瞬時速率等于瞬時速度的大小瞬時速率等于瞬時速度的大小 平均速率不等于平均速度的大小平均速率不等于平均速度的大小 5. 加速度加速度 反映速度變化快慢的物理量反映速度變化快慢的物理量 t t時間內(nèi)，速度增量為：時間內(nèi)，速度增量為： 12 vvv 2 m sa t v 平均加速度的方向與平均加速度的方向與速度增量速度增量的方向一致的方向一致 x o z y 1 v 2 v 1 v 2 v v t t 時刻，質(zhì)點速度

13、為時刻，質(zhì)點速度為 1 v 2 v 時刻，質(zhì)點速度為時刻，質(zhì)點速度為 )(tt 定義定義: 2 2 2 0 sm lim dt rd dt d t a t vv dt d a v kajaia zyx k dt zd j dt yd i dt xd 2 2 2 2 2 2 ：矢量性、瞬時性、相對性矢量性、瞬時性、相對性 k dt d j dt d i dt d z y x v v v 2 2 2 2 2 2 dt zd dt d a dt yd dt d a dt xd dt d a z z y y x x v v v 222 zyx aaaa 當(dāng)當(dāng) t t 趨向零時，速度增量趨向零時，速度增

14、量 的極限方向的極限方向; ; 曲線運動中曲線運動中, ,加速度的方向總是指向曲線的凹側(cè)加速度的方向總是指向曲線的凹側(cè) v 已知加速度求速度，積分一次；求位移，積分兩次已知加速度求速度，積分一次；求位移，積分兩次 (1) 已知運動方程，求質(zhì)點任意時刻的位置、速度以及加速度已知運動方程，求質(zhì)點任意時刻的位置、速度以及加速度 6. 6. 質(zhì)點運動學(xué)的兩類問題質(zhì)點運動學(xué)的兩類問題 已知運動方程矢量式已知運動方程矢量式: jtyitxtr )()()( j dt yd i dt xd dt d a j dt dy i dt dx dt rd 2 2 2 2 v v 已知運動方程分量式已知運動方程分量式

15、: )( )( tyy txx dt dy dt dx y x v v 2 2 2 2 dt yd dt d a dt xd dt d a y y x x v v ji yx vvvjaiaa yx 結(jié)果表示成結(jié)果表示成: (2) 已知質(zhì)點的加速度函數(shù)及初始條件已知質(zhì)點的加速度函數(shù)及初始條件, 求質(zhì)點的速度及運動求質(zhì)點的速度及運動 方程方程 adtd dt d av v , 積分積分 在一維情況下可能遇到三種類型在一維情況下可能遇到三種類型: 初始條件初始條件: t=t0(=0)時刻的速度和位置，即和時刻的速度和位置，即和 o v 0 x dtd t t0 vxx-x x x0 0 dtd d

16、t d vx x v, dtad t t0 vv-v v v0 0 (1) 已知已知 a=常常, 或或a=a(t)，求，求 及及)(tx)(tv (3) 已知已知 ，求，求 )(vaa )(xv dxad d d dt dx dx d dt d a)(,vvv x v v vv x x0 dx a d v v0 v v v )( (2) 已知已知 ，求，求 )(xaa )(xv adxd d d dt dx dx d dt d avv x v v vv , (x)dxad x x0 vv v v0 m/s 28ji t dt rd v 2 m/s 8 i dt d a v 2 3)(yx (2) mjirrr 24 )0()1( iajt 8, 2, 0v iajit 8, 28, 1v (1) (3) jtitr )32(4 2 SI 已知質(zhì)點運動方程已知質(zhì)點運動方程 求求: (1