基本不等式學(xué)生

1、22 22 2222 22x課題基本不等式中的母題及其解答技巧類型二、配湊定值類(恒等變形類)此類問題一般不能直接使用基本不等式，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對不滿足使用基本不等式 條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項(xiàng)，湊項(xiàng)，湊系數(shù)等不論條件怎么變形，都需要不等式在各種題型中均有出現(xiàn)，滲透在各類考試試卷中；基本不等式是不等式中高頻考點(diǎn)之一，其應(yīng)用、 變形等是考試熱點(diǎn)本節(jié)將針對于基本不等式及其常見母題進(jìn)行解答技巧的講解與歸納ab1 基本不等式 ab 基本不等式的使用條件：21 一正：a0，b0，即：所求最值的各項(xiàng)必須都是正值；2 二定：ab 或 ab 為定值，即：含變量的各項(xiàng)的和

2、或積必須是常數(shù)；3 三相等：當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取等號；即：等號能否取得在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤根據(jù)條件：湊和為定值時(shí)求積最大、湊積為定值求和最小解答技巧二：拆項(xiàng)t 4t1【母題二】已知 t0，則函數(shù) y 的最小值為_t解答技巧三：湊項(xiàng)1【母題三】若 x2，則函數(shù) yx 的最小值為_x2解答技巧四：湊系數(shù)2由公式 a b 2ab 和 ab ab可以引申出的常用結(jié)論 28【母題四】若 0x ，則函數(shù) yx(83x)的最大值為_3b a b a 2 ab a b (1) 2(a，b 同號)； (2) 2(a，b 異號)；(3) ab a b

3、 a b 1 1 2 2a b3利用基本不等式求最大、最小值問題(a0，b0) 【變式】x 21函數(shù) y (x1)的最小值是( )a2 32 b2 32 c2 3 d2x1(1)如果 x0，y0，且 xyp(定值)那么當(dāng) xy 時(shí)，xy 有最小值 2 p(簡記：“積定和最小”)s(2)如果 x0，y0，且 xys(定值)那么當(dāng) xy 時(shí)，xy 有最大值 (簡記：“和定積最大”)4類型一、直接應(yīng)用類此類問題較為基礎(chǔ)，利用基本不等式求最值時(shí)應(yīng)注意：非零的各數(shù)(或式)均為正；和或積為定值； 等號能否成立，即“一正、二定、三相等”，這三個(gè)條件缺一不可解答技巧一：直接應(yīng)用【母題一】若 x0，y0，且 x

4、y18，則 xy 的最大值是_12 當(dāng) x1 時(shí)，不等式 x a 恒成立，則實(shí)數(shù) a 的最大值為_x1a b3(2014 濰坊一模)已知 ab0，ab1，則 的最小值為_ab2x4已知函數(shù) f(x) x 6(1) 若 f(x)k 的解集為x|x3，或 x2，求 k 的值；(2) 對任意 x0，f(x)t 恒成立，求 t 的取值范圍類型三、條件最值類【變式】11已知 f(x)x 2(x0)，則 f(x)有 ( )x利用基本不等式求最值的方法及注意點(diǎn)a最大值為 0 b最小值為 0 c最大值為4 d最小值為4 2已知 0x1，則 x(33x)取得最大值時(shí) x 的值為 ( )(1)知和求積的最值：求解

5、此類問題的關(guān)鍵：明確“和為定值，積有最大值”但應(yīng)注意以下兩點(diǎn)： 具備條件正數(shù)；驗(yàn)證等號成立1 1 3 a b c3 2 42d3(2)知積求和的最值：明確“積為定值，和有最小值”，直接應(yīng)用基本不等式求解，但要注意利用基 本不等式求最值的條件3已知定義在(0，)上的函數(shù) f(x)3 ，若 f(ab)9，則 f(ab)的最大值為_ 4已知 a，br，且 ab50，則|a2b|的最小值是_(3)構(gòu)造不等式求最值：在求解含有兩個(gè)變量的代數(shù)式的最值問題時(shí)，通常采用“變量替換”或“常 數(shù) 1”的替換，構(gòu)造不等式求解ab 222 x y2 22 222 2技巧五：換衣(“1”)(或整體代換)1 1【母題五】

6、已知 a0，b0，ab1，則 的最小值為_a b【變式】1 11本例的條件不變，則 1 1 的最小值為_1 12本例的條件和結(jié)論互換即：已知 a0，b0， 4，則 ab 的最小值為_a b類型四、基本不等式的應(yīng)用1某公司租地建倉庫，每月土地占用費(fèi) y 與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi) y1 2與倉庫到車站的距離成正比，如果在距車站 10 公里處建倉庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用 y 和 y 分別為 2 萬元和 8 萬元，1 2那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站_公里處2(創(chuàng)新題)規(guī)定記號“”表示一種運(yùn)算，即 ab abab(a，b 為正實(shí)數(shù))若 1k3，則 kkx的值為_，此時(shí)函數(shù) f

7、(x) 的最小值為_x3設(shè)oa(1，2)，ob(a，1)，oc(b，0)(a0，b0，o 為坐標(biāo)原點(diǎn))，若 a，b，c 三點(diǎn)2 13若本例條件變?yōu)椋阂阎?a0，b0，a2b3，則 的最小值為_a b2 1 9 共線，則 的最小值是( )a4 b a b 2c8 d91 1 14本例的條件變?yōu)椋阂阎?a0，b0，c0，且 abc1，則 的最小值為_a b cxy 2 1 24設(shè)正實(shí)數(shù) x，y，z 滿足 x 3xy4y z0，則當(dāng) 取得最大值時(shí)， 的最大值為( )z x y z5若本例變?yōu)椋阂阎黜?xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列a 滿足 a a 2a ，若存在兩項(xiàng) a ，a ，使得 a a n 7 6 5 m

8、n m n1 42 2a ，則 的最小值為_1 m n6(2012 浙江)若正數(shù) x，y 滿足 x3y5xy，則 3x4y 的最小值是( )9a0 b1 c45 已知 x0，y0，xy3xy，且不等式(xy) 是_d3a(xy)10 恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍24a528b5c5 d61 a7已知不等式(xy) 9 對任意正實(shí)數(shù) x，y 恒成立，則正實(shí)數(shù) a 的最小值是( )a2 b4 c6 d8技巧六：構(gòu)造一元二次不等式在運(yùn)用該方式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a b 2ab 逆用就是 aba b ab ； ab (a，b0)逆用就是 ab2 2ab2 2(a，b0)等還要注意“添、拆項(xiàng)”技巧和公式等號成立的條件等 思考方式還能以保留“和(ab)”還是“積(ab)”來確定公式的運(yùn)用方向【母題六】若正實(shí)數(shù) x，y 滿足 2xy6xy，則 xy 的最小值是