10二項式定理計數(shù)概率與統(tǒng)計2016-2018年歷年數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題WORD版分類匯編含詳細答案

1、2016 年2018 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試試題分類匯編10、計數(shù)問題、概率與統(tǒng)計部分2018a 3、將 1,2,3,4,5,6 隨機排成一行，記為 a, b, c , d , e, f ，則 abc +def 是偶數(shù)的概率為答案：910解析：先考慮 abc +def 為奇數(shù)時， abc ， def 一奇一偶，若 abc 為奇數(shù)，則 a , b, c 為1,3,5 的排列，進而 d , e, f 為 2,4,6 的排列，這樣共有 6 6 =36 種；若 abc 為偶數(shù)，由對稱性得，也有 6 6 =36 種，從而 abc +def 為奇數(shù)的概率為72 1 1 9 = ，故所求為1 - =6! 1

2、0 10 102018b 3、將 1,2,3,4,5,6 隨機排成一行，記為 a, b, c, d , e, f ，則 abc +def 是奇數(shù)的概率為答案：110解析：由 abc +def 為奇數(shù)時， abc ， def 一奇一偶，若 abc 為奇數(shù)，則 a , b, c 為 1,3,5的排列，進而 d , e, f 為 2,4,6 的排列，這樣共有 6 6 =36 種；若 abc 為偶數(shù)，由對稱性得，也有 6 6 =36 種，從而 abc +def 為奇數(shù)的概率為72 1= 。6! 102017a 6、在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，點集 k =(x,y ) | x, y =-1,0,1，在

3、k 中隨機取出三 個點，則這三個點中存在兩點距離為 5 的概率為答案：47解析： 由題意得 k 有 9 個點，故從中取出三個點共有 c 3 =84 種。9將 k 中的點按右圖標(biāo)記為 a , a , l , a , o ，其中有 8 對點之間的距1 2 8離為 5 ，由對稱性，考慮取 a , a 兩點的情況，則余下的一個點有1 47 種取法，這樣有 7 8 =56 個三點組（不考慮順序）。對每個 a （ i =1,2, l ,8 ）， k 中恰i有 a , a i +3 i +5兩點與之的距離為 5 （這里下標(biāo)按模 8 可以理解），因而恰有 a, a , ai i +3 i +5這 8 個三點組

4、被計了兩次，從而滿足條件的三點組個數(shù)為 56 -8 =48 ，進而所求的概率為48 4= 。84 72017b 6、在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，點集 k =(x,y ) | x, y =-1,0,1，在k 中隨機取出三 個點，則這三個點兩兩之間距離不超過 2 的概率為5答案：14解析： 注意 k 中共有 9 個點，故在 k 中隨機取出三個點的方式數(shù)為 c39=84 種，當(dāng)取出的三點兩兩之間距離不超過 2 時，有如下三種情況：（1） 三點在一橫線或一縱線上，有 6 種情況，（2） 三點是邊長為 1,1, 2 的等腰直角三角形的頂點，有 4 4 =16 種情況，（3） 三點是邊長為 2, 2,

5、2 的等腰直角三角形的頂點，其中，直角頂點位于 (0,0) 的有 4 個，直角頂點位于 ( 1,0) ， (0, 1) 的各有一個，共有 8 種情況.綜上可知，選出三點兩兩之間距離不超過 2 的情況數(shù)為 6 +16 +8 =30 ，進而所求概率為 30 5= .84 142016a 4、袋子 a 中裝有 2 張 10 元紙幣和 3 張 1 元紙幣，袋子 b 中裝有 4 張 5 元紙幣和 3 張 1 元紙幣，現(xiàn)隨機從兩個袋子中各取出兩張紙幣，則 a 中剩下的紙幣面值之和大于 b 中 剩下的紙幣面值之和的概率為答案：935解析：一種取法符合要求，等價于從 a 中取走的兩張紙幣的總面值 a 小于從

6、b 中取走 的兩張紙幣的總面值 b ，從而 a a =2 ，即從 b 中取走的兩張紙幣不能都是 1 元紙幣，相應(yīng)有 c 2 -c 2 =18 種取法因此，所求的概率為 7 33 18 54 9 = = c 2 c 2 10 21 35 5 72016b 5、將紅、黃、藍 3 個球隨機放入 5 個不同的盒子 a, b, c , d , e 中，恰有兩個球放ijijijij在同一盒子的概率為12答案：25解析：樣本空間中有53=125個元素而滿足恰有兩個球放在同一盒子的元素個數(shù)為c 2 p 2 =60. 3 5過所求的概率為60 12p = = .125 252015a 5、在正方體中隨機取 3

7、條棱，他們兩兩異面的概率為答案：255解析： 設(shè)正方體為 abcd-efgh，它共有 12 條棱，從中任意取出 3 條棱的方法共有c312=220 種下面考慮使 3 條棱兩兩異面的取法數(shù)由于正方體的棱共確定 3 個互不平行的方向（即 ab、ad、ae 的方向），具有相同方向的 4 條棱兩兩共面，因此取出的 3 條棱必 屬于 3 個不同的方向可先取定 ab 方向的棱，這有 4 種取法不妨設(shè)取的棱就是 ab， 則 ad 方向只能取棱 eh 或棱 fg，共 2 種可能當(dāng) ad 方向取棱是 eh 或 fg 時，ae 方向取棱分別只能是 cg 或 dh由上可知，3 條棱兩兩異面的取法數(shù)為 42=8，故所8 2求概率為 = 220 552015b 8、正 2015 邊形 a a a1 2 2015則 oa +oa 1 的概率為 i j內(nèi)接于單位圓 o ，任取它的兩個不同頂點 a , a ，i j答案：6711007解析： 因為 | oa |=|oa |=1 ，所以i j| oa +oa |2 =|oa |2 +| oa |2 +2oa oa =2(1+cos ) i j i j i j i j1故 oa +oa 1 的充分必要條件是 cos - ，即向量 oa , oa 的夾角不