三角形的等積變形

1、年級四年級學(xué)科奧數(shù)版本通用版課程標(biāo)題三角形的等積變形（一）編稿老師李允一校林卉二校張琦鋒審核張舒這節(jié)課， 我們一起來學(xué)習(xí)三角形的等積變形， 它是幾何問題中在求直線型面積時， 很重 要的一個部分，下面我們就來研究一下三角形的面積與它的底和高三者之間的關(guān)系。三角形面積的計算公式：S底 高 2 三角形面積、底和高之間的關(guān)系： 從公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積。如果三角形的底不變，高越大（?。?，三角形面積也就越大（?。?如果三角形的高不變，底越大（?。?，三角形面積也就越大（?。?當(dāng)三角形的面積變化時，它的底和高之中至少有一個要發(fā)生變化。 當(dāng)三角形的底和高同時發(fā)生變化時

2、， 三角形的面積不一定變化。 化與否取決于它的底和高的乘積，而不僅僅取決于底或高的變化。一個三角形在面積不改變的情況下，可以有無數(shù)多個不同的形狀。 重要結(jié)論：等底等高的兩個三角形面積相等。若兩個三角形的高相等， 其中一個三角形的底是另一個三角形的幾倍， 形的面積也是另一個三角形面積的幾倍。若兩個三角形的底相等， 其中一個三角形的高是另一個三角形的幾倍， 形的面積也是另一個三角形面積的幾倍。一個三角形的面積變那么這個三角那么這個三角例 1 如圖，在 ABC 中，D是 BC邊上一點， BD12厘米， DC 4厘米。（ 1）求 ABC 的面積是 ABD 面積的多少倍；（ 2）求 ABD 的面積是 A

3、DC 面積的多少倍。分析與解： 因為 ABD、 ABC和 ADC 分別以 BD、BC和DC 為底時，它們的高都/是過 A 點向 BC 邊上所作的垂線，也就是說三個三角形的高相等。因為，124 16，1612444 ，所以 ABC 的底是 ABD 的底的 倍，所以， ABC 的面積是 ABD 面積的 倍；333同理，因為 1243，所以 ABD 的面積是 ADC 面積的 3 倍。鞏固理解結(jié)論：兩個三角形等高時，面積的倍數(shù)底邊長的倍數(shù)。例 2 如圖， E 在 AD 上， 積是 EBC 面積的幾倍。AD垂直于 BC， AD 12厘米， DE 3厘米。求 ABC的面分析與解： 因為 AD 垂直于 BC

4、，所以當(dāng) BC 為 ABC 和 EBC 的底時， AD 是ABC 的高， ED 是 EBC 的高。于是： ABC 的面積 BC122 BC6； EBC 的面積 BC32 BC1.5。 所以ABC的面積是 EBC 的面積的 4倍。 鞏固理解結(jié)論：兩個三角形等底時， 面積的倍數(shù)高的倍數(shù)。例 3 如圖，在梯形 ABCD 中，AC 與 BD 是對角線， 其交點為 O，求證：AOB 與 COD面積相等。分析與解： ABC與DBC 等底等高， SABC S DBC 。又S AOB S ABCS BOC ，S DOC S DBCS BOC ， SAOB S COD 。/分析與解： D 是 BC 的中點， A

5、DC 的面積是 E是 AC的中點， ADE 的面積是 ABC 面積的一半，即 ADC 面積的一半，即242 12 。122 6。F是 AD 的中點， DEF 的面積是 ADE 面積的一半，即 DEF 的面積 62 3。如圖， ABC 的面積是 24，D、E和 F 分別是 BC、AC和 AD 的中點。求 DEF例 5 如圖所示，在平行四邊形 ABCD 中， E 為 AB 的中點， AF 2CF ， AFE（圖中 陰影部分）的面積為 8 平方厘米。則平行四邊形 ABCD 的面積是多少平方厘米？分析與解： 連結(jié) FB。因為 AF2CF，所以 AFB 的面積是 CFB 的面積的 2 倍。 又因為 E

6、為 AB的中點，所以 AFB 的面積是 AEF 的面積的 2 倍。 所以ABC的面積是 AEF 的面積的 3倍。又因為平行四邊形 ABCD 的面積是 ABC 的面積的 2 倍， 所以平行四邊形 ABCD 的面積是 AFE 的面積的 326 倍。 因此，平行四邊形 ABCD 的面積為 8648（平方厘米） 。答題時間：30 分鐘）1. 用兩種不同的方法，把任意一個三角形分成四個面積相等的三角形。2. 如圖，在長方形 ABCD 中，AD 為 8厘米， AB 為 3厘米。請問：陰影部分的面積是多 少平方厘米？/3. 如圖，在 ABC中，D、E、F 分別是 BC、AD、BE的三等分點，已知 S ABC

7、 27平方厘米，求 S DEF 。BC 長為 12 厘米，腰 CD 的長為4. 如圖所示，梯形8厘米，過 B 點作 CD 的垂線 BE，BE的長為 9 厘米。那么梯形 ABCD 的面積是多少？5. 如圖所示，正方形 ABCD 的邊長為 10，三角形 BEF 的面積為 30。那么 BF 的長度為 多少？/1. 解：解法一：如圖（1），將 BC 邊四等分，連接 A與各等分點， 則ABD、ADE、AEF、 AFC 的面積相等。解法二：如圖（ 2），D 是 BC 的二等分點， E、F 分別是 AC、AB 的中點，從而得到四 個等積三角形 ADF、BDF、DCE 、ADE。解法三：如圖（ 3），D 是

8、BC 的四等分點， E、F 是 AD 的三等分點，從而得到 ABD 、 AEC 、ECF、 FCD 的面積相等。2. 解：可以通過等積變形把三個陰影三角形變成長方形的一半，所以陰影部分的面積為 83212（平方厘米）。13. 解：因為 D 為 BC邊的三等分點， 所以 SADCS ABC 9平方厘米。 同理 S ABE 311S ABD 6 平方厘米， SBDF SBDE 4 平方厘米，所以 SDEF 279 6 483 ABD BDF 3 BDE DEF 平方厘米。4. 解：連接 BD，作出梯形的一條高 DF 。三角形 BCD 以 CD 為底、BE 為高，面積為 892 36（平方厘米） ；也可以看做以 BC 為底、DF 為高，由 BC12厘米可知 DF 為 36212 6（厘米）。在梯形 ABCD 中，上底為 5 厘米，下底為 12 厘米，高為 6 厘米，面積為（ 5 12） 62 51（平方厘米） 。5. 解：三角形 ABE 中以 AB 為底，相應(yīng)的高與正方