《二項式定理》教學(xué)設(shè)計

1、二項式定理教學(xué)設(shè)計課 題二項式定理時 間2011.3【課型】： 新 授 【課時】： 1 課時本 節(jié) 課 的 性 質(zhì) 地 位 及 作 用二項式定理是初中學(xué)習(xí)的多項式乘法的繼續(xù)，它所研究的是一種特殊的多項式 二項式的 乘法的展開式，這一小節(jié)與不少內(nèi)容都有著密切聯(lián)系，特別是它在本章學(xué)習(xí)中起著承上啟下 的作用 .學(xué)習(xí)本小節(jié)的意義主要在于：（1） 由于二項式定理與概率理論中的三大概率分布之一 二項分布有內(nèi)在聯(lián)系，本小節(jié)是學(xué)習(xí)后面的概率知識以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計的準(zhǔn)備知識 .（2） 由于二項式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù)，利用二項式定理可得到關(guān)于組合數(shù)的一些恒等式，從而深化對組合數(shù)的認(rèn)識 .（ 3） 基于二項

2、式展開式與多項式乘法的聯(lián)系,本小節(jié)的學(xué)習(xí)可對初中學(xué)習(xí)的多項式的變形起到復(fù)習(xí)、深化的作用 .（4） 二項式定理是解決某些整除性、近似計算問題的一種方法 .學(xué) 情 分 析（1）學(xué)生已經(jīng)學(xué)會了（ a+b）2 （a+b）3的展開式，但不知道（ a+b）n （n3,n為整數(shù)）的展 開式。（2）該班學(xué)生在學(xué)習(xí)上具有堅毅、勤奮、刻苦的優(yōu)良品德，自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情很高。教 學(xué) 目 標(biāo)識技目 知與能標(biāo)掌握二項式定理及二項展開式的通項公式，并能熟練地進(jìn)行二項式的展開及求解某些 指定的項 .過程 與方 法目 標(biāo)通過探索二項式定理，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題發(fā)現(xiàn)問題,歸納推理問題的能力 .情感 態(tài)度 價值 觀目 標(biāo)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)

3、興趣、培養(yǎng)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)，探索新知的精神，滲透事物相互轉(zhuǎn)化和理論 聯(lián)系實際的辯證唯物主義觀點，并通過數(shù)學(xué)的對稱美，培養(yǎng)學(xué)生的審美意識 .教 學(xué) 重教學(xué) 重點二項定理的推導(dǎo)及運用點教學(xué)難點難點（1）二項式定理及通項公式的運用（2）展開式中某一項的系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別教學(xué)過程設(shè)計教教學(xué)手設(shè)計宗學(xué)段與方教師教授活動學(xué)生學(xué)習(xí)活動旨與意內(nèi)法圖容【創(chuàng)設(shè)問題情境】今天是星期天， 15 天【回答】15 天和 30 天后（1）星后是星期幾， 30 天后， 8100 天后呢？【思考】8100 天后是星期幾？期幾以 7 為周期 計算（2）【問題 1】： （ a+b） 2 =（ a+b）（ a+b） 的展8100開式

4、有多少項？=(1+7) 100啟為引入發(fā)（a+b）n提做準(zhǔn)備問【問題 2】：親自展開為后面新( a+b)3 =( a+b)( a+b)( a+b) 的展開式有多的證明少項？做準(zhǔn)備課【問題 3】：（ a+b） 4=（ a+b）（ a+b）（ a+b）（ a+b） 的展開式有多少 項？ 你能準(zhǔn)確的寫出這些項嗎？學(xué)【啟發(fā)類比】 4 個袋子中各有紅球 a 白球理解袋子和括號的相同點為證明b 各一個，每次從 4 個袋子中各取一個球，二項式有什么樣的取法？ 各種取法有多少種？定理做在 4 個括號（袋子）中鋪墊（ 1）若每個括號都不取 b習(xí)講授只有一種方法得到 a4,即 種。探 究（2）若只有一個括號取 b

5、 共有種方法取到 a4b。（3）若只有兩個括號取 b 共有種方法取到 a2b2。（4）若只有三個括號取 b 共有種方法取到 a1b3。（5）若只有四個括號取 b 共有種方法取到 a0b4。新課 學(xué) 習(xí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)： 原始展開式中確實有同類 型存在，且可合并因此：【問題 4】：的合并后的展開式中 的系數(shù)是多少？有何理由？根據(jù) 展開式歸納這是后 面證明 的關(guān)鍵那么該如何輕松清 晰的將 展 開？請同學(xué)們歸納猜想。學(xué)生很輕松的根據(jù)前面的過程寫出其展開式合 作 探 究【證明思路】：主要運用數(shù)學(xué)計數(shù)原理（1）展開式中為什么會有哪幾種類型的 項？（2）展開式中的各項的系數(shù)是怎么得來 的？學(xué)生根據(jù)袋子中取球的

6、例子回答。講授【板書】 ：一般的對于任意正整數(shù) n 下面 的關(guān)系式成立：說明：（ 1）公式的左邊叫二項式，右邊 叫二項展開式（2）二項式中的 a，b 只是一種符號，可 以是任意的數(shù)或者式子， 只要是兩項和的 n 次冪的形式都可以用二項式定理展開。歸納展開式的特點：（1 ）項數(shù)是 n+1 項（2）系數(shù) 都是組合數(shù) ,依次為 C ,C ,C , ,C（3） 指 數(shù) 的 特 點 a 的 指 數(shù) 由 n 0（降冪 ）。b的指數(shù)由 0n（升冪） 。a和 b 的指數(shù)和為 n 。（1） 板 書 的示范 作用（2） 歸 納 出系數(shù) 的特點 才能記 住二項 式定理【學(xué)以致用】 ：你現(xiàn)在能知道 8100 天后是

7、星期幾嗎？（星期四）學(xué)生會很快得出8100=（1+7） 100 展開進(jìn)行計算【例 1】求（ 1+2i ）5的展開式學(xué)生先練，二項式老師后講定理的（1+2i）5=C +C 2i+C （2i） 2+直接應(yīng)例=1+10i-40-80i+80+32i用啟=41-38i（完整板書）題【例 2】若（ 1+2x ）7分清本題的由這個發(fā)2 3 4 5 6 7=a0+a1x+a2x +a3x +a4x +a5x +a6x +a7x ，求各項的系數(shù)恒等式（1）展開式中各項系數(shù)和。和 和 二 項a，b 取值（2）a0+a2+a4+a6 的值。式的系數(shù)和的任意講解：（ 1）利用賦值法，令 x=1 ，得的區(qū)別性，我們講

8、（1+2）7可以令=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=37=2187 （1）a，b 分別令 x=-1 ，取一些練（1-2）7不同的授=a0+a1 -a2+a3-a4+a5 -a6+a7=-1（ 2）值來解（1）+（2），得決某些2a0+2a2+2a4+2a6=2187-1=2186問題，這即 a0+a2+a4+a6=1093就是我（完整板書）們所說的 “賦 值法”。【練習(xí)】：根據(jù)式子的賦值法啟特點用平方的應(yīng)用（+2x ） 3=a0+a1x+a2x2+a3x3，差公式展發(fā)求（ a0+a2）2-（a1+a3）2 的值。開，發(fā)現(xiàn)是答案： -1正負(fù)交替出現(xiàn)，自然想到賦值，令（學(xué)生書寫）x=1 和 x=-1進(jìn)行求解。（ 1）這個式定理的【例 3】： 求 1-90C +（ -1） k90C + +90C 除以子是二項式逆向應(yīng)板書設(shè)計88 的余數(shù)。解： 1-90C + +（-1） k90C +90C =（ 1-90）=（ 88+1）1010=C 8810+C 889+ C 88+C所以原式除以 88 的余數(shù)為 1（學(xué)生書寫）1 本節(jié)主要學(xué)習(xí)了 二項式定理的展開式的特點和證 明方法。2 學(xué)習(xí)了二項式定理在解題中的應(yīng)用。 其中包括賦值法求系數(shù)和的方法和逆向應(yīng)