一元二次方程專題能力培優(yōu)(含答案).

1、第2章一元二次方程2.1 一元二次方程專題一利用一元二次方程的定義確定字母的取值1. 已知（m -3）x m 21是關(guān)于x的一元二次方程，則 m的取值范圍是（）A.mM 3B.m 3C.m -2 D. m -2 且 322. 已知關(guān)于x的方程（m1）xm （m-2）x-1 =0，問：（1）m取何值時(shí)，它是一元二次方程并寫出這個(gè)方程；（2）m取何值時(shí)，它是一元一次方程？專題二利用一元二次方程的項(xiàng)的概念求字母的取值3.關(guān)于x的一元二次方程（m-1） x2+5x+nf-仁0的常數(shù)項(xiàng)為0,求m的值._24.若一元二次方程（2a-4）x（3a6）x0沒有一次項(xiàng)，則 a的值為 .專題三利用一元二次方程的解

2、的概念求字母、代數(shù)式5. 已知關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的一個(gè)根是-a （aM0）,貝y a-b值為（）A. 1B.0C.1D.26. 若一元二次方程 ax2+bx+c=0中，a b+c=0,則此方程必有一個(gè)根為.7.已知實(shí)數(shù)a是一元二次方程x2 2013x+仁0的解，求代數(shù)式 a2 -2012aa2 12013的值.知識(shí)要點(diǎn)：1. 只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 （二次），等號(hào)兩邊都是整式的方程，叫做一元二次方程.2. 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0 （aM 0）,其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù);bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).3. 使一元

3、二次方程的兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程 的根.溫馨提示：1. 一元二次方程概念中一定要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0的條件.2. 一元二次方程的根是兩個(gè)而不再是一個(gè)方法技巧：1. ax k+bx+c=0是一元一次方程的情況有兩種，需要分類討論2. 利用一元二次方程的解求字母或者代數(shù)式的值時(shí)常常用到整體思想，需要同學(xué)們認(rèn)真領(lǐng)答案：m -3 六01. D 解析：，解得m -2且m 3m + 20m +1=22.解：（1）當(dāng)彳時(shí)，它是一元二次方程.解得：m=1m十1式0當(dāng)m=1時(shí)，原方程可化為 2x2-x-仁0 ;（2）當(dāng) m2_0,或者當(dāng)m+1+（m-2）M0且吊+1=1時(shí)，

4、它是一元一次方程 m +1 =0解得：m=-1, m=0.故當(dāng)m=-1或0時(shí)，為一元一次方程.3.解：由題意，得:m2 -1 =0,m _1 = 0.解得:3a + 6 = 0,4. a=-2解析：由題意得解得a= 2.2a-4H0.5. A 解析：關(guān)于 x 的方程 x +bx+a=0 的一個(gè)根是-a (a*0)，二 a ab+a=0. / a( a b+1)=0. - a * 0,. 1-b+a=0. - - a-b=-1 .6. x= 1解析：比較兩個(gè)式子品 +/VP4-,= 0I I I Ia -b +c=0會(huì)發(fā)現(xiàn)：（1 ）等號(hào)右邊相同；（2）等號(hào)左邊最后一項(xiàng)相同；（3）第一個(gè)式子 x2

5、對(duì)應(yīng)了第二X2 =1個(gè)式子中的1，第一個(gè)式子中的X對(duì)應(yīng)了第二個(gè)式子中的-1.故.解得X= 1.x = -1227. 解：實(shí)數(shù)a是一元二次方程 X 2013X+仁0的解， a 2013a+仁0.2 2 a +1=2013a, a 2013a= 1.- -2.2 一元二次方程的解法專題一利用配方法求字母的取值或者求代數(shù)式的極值1. 若方程25x2-（ k-1）x+仁0的左邊可以寫成一個(gè)完全平方式；則 k的值為（）A. -9 或 11 B . -7 或 8 C . -8 或 9 C . -8 或 92. 如果代數(shù)式x2+6x+m2是一個(gè)完全平方式，貝Um= .3. 用配方法證明：無論 x為何實(shí)數(shù)，代

6、數(shù)式2x2+4x - 5的值恒小于零.專題二利用判定一元二次方程根的情況或者判定字母的取值范圍24. 已知a, b, c分別是三角形的三邊，則方程（a+b） x +2cx+ （a+b） =0的根的情況是（）A.沒有實(shí)數(shù)根B.可能有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根5. 關(guān)于x的方程kx2+3x+2=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.B.C.D .且WQ6. 定義：如果一元二次方程ax2 + bx+ c= 0 （a工0滿足a + b+ c= 0,那么我們稱這個(gè)方程為 鳳凰”方程已知ax2+ bx+ c= 0 （a0是 鳳凰”方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論正確

7、的是（）A . a = cB . a = b C. b = cD . a= b= c專題三解絕對(duì)值方程和高次方程7. 若方程（x2+y2-5 ） 2=64，則 x2+y2=.8. 閱讀題例，解答下題：例：解方程x2 |x 1仁0.解：（1 ）當(dāng) x 1 0， 即卩 xl 時(shí)，x2（ x 1） 1=0，. x2 x=0. 解得：X1=0 （不合題設(shè)，舍去），X2=1.22（2）當(dāng) x 1 v 0，即 x v 1 時(shí)，x + （x 1） 1=0， x +x 2=0.解得X1=1 （不合題設(shè)，舍去），X2= 2.綜上所述，原方程的解是x=1或x= 2.依照上例解法，解方程 x2+2|x+2| 4=0

8、.專題四 一元二次方程、二次三項(xiàng)式因式分解、不等式組之間的微妙聯(lián)系9. 探究下表中的奧秘，并完成填空：一兀一次方程兩個(gè)根一次二項(xiàng)式因式分解x2-2x-l-0X1=1 fX2-2x-rl (x-l) (x- i )x:-3x+2=0Xi=l ,二(a-1) (x-2)2x嚴(yán),血* 153宀42 (x-) (x-1)31 ,X-2x2*5x+2=2 (x-i )24x2-13x-3=0Xl=rQ =4.0T3x+3=4 (x-) (x-)10. 請(qǐng)先閱讀例題的解答過程，然后再解答：代數(shù)第三冊(cè)在解方程 3x (x+2) =5 (x+2)時(shí)，先將方程變形為 3x (x+2) -5 (x+2) =0,

9、這個(gè)方程左邊可以分解成兩個(gè)一次因式的積，所以方程變形為(x+2)( 3x-5)=0.我們知道，如果兩個(gè)因式的積等于0,那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0;反過來，如果兩個(gè)因式有一個(gè)等于 0,它們的積等于0因此，解方程(x+2) (3x-5 ) =0,就相當(dāng)于解方程5x+2=0或3x-5=0 ,得到原方程的解為 xi=-2 , X2=-.3a 0, a ： 0,根據(jù)上面解一元二次方程的過程，王力推測(cè)：a- b0,則有或者請(qǐng)判斷王b0 也 x2 是一元二次方程 x +4x- 3=0 的兩個(gè)根，2x1 (X2+5X2 -3) +a=2，貝U a=.12. (2012懷化)已知 冷飛是一元二次方程 a-

10、6x2 2ax a = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，是否存在實(shí)數(shù) a，使X1 + X1X2=4 + X2成立？若存在，求出 a的值；若不存在，請(qǐng)你說 明理由；bX1、X2,X1+X2=一,a求使(X1 +1) (X2+ 1 )為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù) a的整數(shù)值.13.(1)教材中我們學(xué)習(xí)了：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為cX1X2=-.根據(jù)這一性質(zhì)，我們可以求出已知方程關(guān)于 aX2為方程x2-2x-仁0的兩根，則：X2=，那么X1、X2的代數(shù)式的值.例如：已知X1、(1 ) X1+X2=, X1 請(qǐng)你完成以上的填空.2 2 2X1 +X2 =( x 1+X2) -2 x 1 X2=的值.(2

11、)閱讀材料：已知 m2_m_1=0.n2 n -1=0，且 mn =1 .求 _ 1解：由 n2 n 1=0可知 n = 0 . a 12 = 0 . /nn1 丄1=0.nn2又 m2 -m 一1 =0,且 mn -1,1 卩 m =丄nm,1 、 2 是方程Xn-x -1 = 0的兩根.m 1 =1. mJ=1.nn(3)根據(jù)閱讀材料所提供的的方法及(1)的方法完成下題的解答. 已知 2m2 -3m -1 =0, n2 3n -2 =0，且 mn -1.求 m2 厶的值.n知識(shí)要點(diǎn)：1.解一元二次方程的基本思想一一降次，解一元二次方程的常用方法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.2

12、. 一元二次方程的根的判別式=b-4ac與一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a豐0)的根的關(guān)系：當(dāng)厶0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)厶=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解； 0,22k0 時(shí)，a (x+h) +kk；當(dāng) a0, k0 時(shí)，a (x+h) +k0. 0,即卩 x- 2 時(shí)，x +2 (x+2) 4=0,二 x +2x=0.解得 Xi=O, X2= 當(dāng) x+2 v0,即卩 xv-2 時(shí)，x 2 (x+2) 4=0,二 x 2x 8=0.解得xi=4 (不合題設(shè)，舍去)，X2= 2 (不合題設(shè)，舍去).綜上所述，原方程的解是 x=0或x= 2.119.，- 3;, 3

13、.44發(fā)現(xiàn)的一般結(jié)論為：2若一兀一次方程ax +bx+c=0的兩個(gè)根為X1. X2,貝U2ax +bx+c=a (x - Xi) (x - X2).io.解析；王力的捲測(cè)是正確的.312，m n12 11 212, m+ n2=(m+ n) -2m n=(3)2-2 (丄)=1345x-l0.2z-305k-102k-30. a0. 又t a 6工0, az6.2aa由根與系數(shù)關(guān)系得：X1 + X2=, X1X2=.a -6a -62aa由一X1+ X1X2=4 + X2 得 X1+ X2 + 4=X1X2. + 4 =，解得 a=24.a -6a -6經(jīng)檢驗(yàn) a=24是方程2a + 4 =

14、一 的解.a -6 a -6(2) 原式 =X1 + X2 + X1X2 + 1 =HaF 1= 為負(fù)整數(shù)，a -6 a -66-a- 6 a 為1 或2, 3, 6.解得 a=7 或 8, 9, 12.13.解：(1) 2, 1, 6 .丄 2“3223(3)由 n+3n-2=0 可知 n 豐 0, 1+ 2=0. /. 2仁0.n n n n2 1 又 2m-3m-1=0,且 mrz 1，即 mz .n2.3 一元二次方程的應(yīng)用專題一、利用一元二次方程解決面積問題1. 在高度為2.8m的一面墻上，準(zhǔn)備開鑿一個(gè)矩形窗戶.現(xiàn)用9.5m長(zhǎng)的鋁合金條制成如圖所示的窗框.問：窗戶的寬和高各是多少時(shí)，

15、其透光面積為3m （鋁合金條的寬度忽略不計(jì)）2. 如圖：要設(shè)計(jì)一幅寬 20cm,長(zhǎng)30cm的矩形圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫、豎彩條的 寬度比為2: 3,如果要使所有彩條所占面積為原矩形圖案面積的三分之一，應(yīng)如何設(shè)計(jì)每 個(gè)彩條的寬度？3. 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)貴在舉一反三，觸類旁通.仔細(xì)觀察圖形，認(rèn)真思考，解決下面的問題：（1） 在長(zhǎng)為a m,寬為bm的一塊草坪上修了一條 1m寬的筆直小路（如圖（1）,則余下草坪的面積可表示為m2 ；（2） 現(xiàn)為了增加美感，設(shè)計(jì)師把這條小路改為寬恒為1m的彎曲小路（如圖（2）,則此時(shí)余下草坪的面積為 m2 ；（3）聰明的魯魯結(jié)合上面的問題編寫了一道應(yīng)用題，你能解決嗎？

16、相信自己哦?。ㄈ鐖D（3）,在長(zhǎng)為50m,寬為30m的一塊草坪上修了一條寬為 xm的筆直小路和一條長(zhǎng)恒為xm的彎曲小路（如圖 3）,此時(shí)余下草坪的面積為1421 m2 .求小路的寬x.專題二、利用一元二次方程解決變化率問題4. 據(jù)報(bào)道，我省農(nóng)作物秸桿的資源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30%大部分秸桿被直接焚燒了，假定我省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量不變，且合理利用量的增長(zhǎng)率相同，要使2014年的利用率提高到 60%求每年的增長(zhǎng)率.（取疋1.41 ）5某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染

17、幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過700臺(tái)？6. （ 2012 廣元）某中心城市有一樓盤，開發(fā)商準(zhǔn)備以每平方米7000元的價(jià)格出售，由于國(guó)家出臺(tái)了有關(guān)調(diào)控房地產(chǎn)的政策，開發(fā)商經(jīng)過兩次下調(diào)銷售價(jià)后，決定以每平方米5670元的價(jià)格銷售.（1）求平均每次下調(diào)的百分率；（2） 房產(chǎn)銷售經(jīng)理向開放商建議：先公布下調(diào)5%再下調(diào)15%這樣更有吸引力請(qǐng)問房 產(chǎn)銷售經(jīng)理的方案對(duì)購(gòu)房者是否更優(yōu)惠？為什么？專題三、利用一元二次方程解決市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)問題7. （2012 濟(jì)寧）一學(xué)校為了綠化校園環(huán)境，向某園林公司購(gòu)買了一批樹苗，園林公司規(guī)定：如果購(gòu)買樹苗不超過 60棵，每棵售價(jià)為120元；如

18、果購(gòu)買樹苗超過 60棵，每增加1棵，所 出售的這批樹苗每棵售價(jià)均降低0.5元，但每棵樹苗最低售價(jià)不得少于100元.該校最終向園林公司支付樹苗款 8800元.請(qǐng)問該校共購(gòu)買了多少棵樹苗？8. （ 2012 南京）某汽車銷售公司 6月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內(nèi)，每部汽車的售 價(jià)與銷售量有如下關(guān)系：若當(dāng)月僅售出1部汽車，則該部汽車的進(jìn)價(jià)為27萬元，每多售出1部，所有售出的汽車的進(jìn)價(jià)均降低0.1萬元/部；月底廠家根據(jù)銷售量一次性返利給銷售公司，銷售10部以內(nèi)（含10部），每部返利0.5萬元；銷售量在10部以上，每部返利1萬元.（1）若該公司當(dāng)月售出3部汽車，則每部汽車的進(jìn)價(jià)為 萬元. 如果汽車的

19、售價(jià)為28萬元/部,該公司計(jì)劃當(dāng)月盈利 12萬元，那么需要售出多少部汽車? （盈利=銷售利潤(rùn)+返利）專題四、利用一元二次方程解決生活中的其他問題條,它是幾邊形？如果不存在，說明得出9. （1）經(jīng)過凸n邊形（n 3）其中一個(gè)頂點(diǎn) 的對(duì)角線有（2）個(gè)凸多邊形共有14條對(duì)角線，它是幾邊形？（3）是否存在有21條對(duì)角線的凸多邊形？如果存在 結(jié)論的道理（1 ）觀察圖形，請(qǐng)?zhí)钆c下列表格:10.如圖每個(gè)正方形是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成.正方形邊長(zhǎng)1357n （奇數(shù)）紅色小正方形個(gè)數(shù)正方形邊長(zhǎng)2468n （偶數(shù)）紅色小正方形個(gè)數(shù)（2）在邊長(zhǎng)為n （n1）的正方形中，設(shè)紅色小正方形的個(gè)數(shù)為R,白色小正方形的個(gè)數(shù)

20、為F2，問是否存在偶數(shù) n,使P2=5R?若存在，請(qǐng)寫出 n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.知識(shí)要點(diǎn)：列方程解決實(shí)際問題的常見類型：面積問題，增長(zhǎng)率問題、經(jīng)濟(jì)問題、疾病傳播問題、生活 中的其他問題.溫馨提示：1. 若設(shè)每次的平均增長(zhǎng)（或降低）率為x,增長(zhǎng)（或降低）前的數(shù)量為a,則第一次增長(zhǎng)（或降低） 后的數(shù)量為a（1 x），第二次增長(zhǎng)（或降低）后的數(shù)量為a（1 x）2.2. 面積(體積)問題屬于幾何圖形的應(yīng)用題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合、平移成規(guī)則圖形，找出未知量與已知量的內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)面積(體積)公式列出一元二次方程.3. 列方程解決實(shí)際問題時(shí)， 方程的解必須使實(shí)際問題有意義，因此

21、要注意檢驗(yàn)結(jié)果的合理性 方法技巧：1. 變化率問題中常用 a (1 x) n=b,其中a是起始量，b是終止量，n是變出次數(shù)，x是變化率.變化率問題用直接開平方法求解簡(jiǎn)單2. 解決面積問題常常用到平移的方法，利用平移前后圖形面積不變建立等量關(guān)系 答案：1. 解:設(shè)高為x米，貝U寬為9 -2x米.由題意，得x 9.2x七. 33解得=1.5,x2 =3 (舍去，高度為2.8m的一面墻上).當(dāng) x=1.5 時(shí)，寬 9.5-.5-2x9.5-0.5-32.3答：高為1.5米,寬為2米.2.解：設(shè)橫、豎彩條的寬度分別為(20 6x) ( 30 4x) = (1 錯(cuò)誤！解，得X1 =錯(cuò)誤！未找到引用源。，

22、X2= 10(不合題意，舍去). 2x=錯(cuò)誤！未找到引用源。， 3x=錯(cuò)誤！未找到引用源。.答：每個(gè)橫、豎彩條的寬度分別為2xcm 3xcm，由題意，得未找到引用源。)20X30.整理，得6x2 65x + 50= 0.錯(cuò)誤！未找到引用源。 cm，錯(cuò)誤！未找到引用源。 cm.3.解：(1) a(b -1)(或 ab-a)； a(b-1)(或 ab-a)；(3) 將筆直的小路平移到草坪的左邊，則余下部分的長(zhǎng)為(50-x)m,將彎曲的小路的兩側(cè)重合， 則余下部分的寬為(30-x ) m,由題意得：(50-x)(30-x ) =1421.解得 x 1=1，x 2=79(舍去).答：小路的寬為1m.4

23、. 解：設(shè)我省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量為a，合理利用量的增長(zhǎng)率是X，由題意，得30%a (1+x) =60%a. x仟 0.41， X2 -2.41 (不合題意舍去).二 x 0.41 .答：每年的增長(zhǎng)率約為 41%5. 解：設(shè)每輪感染中平均每一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦，依題意，得21 + x + (1 + x) x= 81.整理得(1 + x) = 81.-X1= 8， X2= 10 (舍去).33( 1 + X) = (1 + 8) = 729 700 .答：每輪感染中平均每一臺(tái)電腦會(huì)感染8臺(tái)電腦，3輪感染后，被感染的電腦會(huì)超過 700臺(tái).6. 解：(1 )設(shè)平均每次下調(diào) p%，則有 7000(1 - p%)2 二 5670 . (1 - p%)2 二 0.81./ 1 p%0， 1 p%=0.9. p%=0.1=10%.答：平均每次下調(diào) 10%;(2)先下調(diào)5%，再下調(diào)15%，這樣最后單價(jià)為 7000元X (1 5%) X (1 15%) =5