《2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教案及課堂實(shí)錄(精)

1、 1 2.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案及課堂實(shí)錄 保俶塔實(shí)驗(yàn)學(xué)校 張小妹 一、 教學(xué)目標(biāo) 1知識(shí)目標(biāo)：理解橢圓的定義；明確焦點(diǎn)、焦距的概念；了解用橢圓定義推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 2能力目標(biāo)：學(xué)生感知數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活的普遍聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力； 3情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生不怕困難、勇于探索的優(yōu)良作風(fēng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的情趣，給學(xué)生以成功的體驗(yàn)，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的積極態(tài)度。 二、 重點(diǎn)、難點(diǎn)及關(guān)鍵 重點(diǎn)：橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用； 難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)； 三、 教學(xué)方法 啟發(fā)、探索 四、 教學(xué)媒體 運(yùn)用多媒體教學(xué) 五、 教學(xué)過程 1創(chuàng)設(shè)情境，引入概念。 首先用

2、幾何畫板展示地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌跡，形象地給出橢圓，然后請(qǐng)同 學(xué)們列舉一些實(shí)際生活中的橢圓形的例子。以生活中的橢圓引入。 此時(shí)教師指出：橢圓在實(shí)際生活中是很常見的，學(xué)習(xí)橢圓的有關(guān)知識(shí)也是十分必要的。那么如何統(tǒng)一地研究生活中出現(xiàn)的各種各樣的橢圓呢？這就是我們今天要探究的-橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程。 設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)由實(shí)際例子引入概念，使學(xué)生易于接受，同時(shí)激發(fā)出學(xué)生的求知欲，提高學(xué)習(xí)橢圓的興趣，也使他們的注意力集中到課堂上。 課堂實(shí)錄： 師：在上課之前呢，我們先來看一下太陽公轉(zhuǎn)的軌跡 (幾何畫板展示) 。 思考太陽公轉(zhuǎn)的軌跡是什么？ 生：橢圓。 師：是的。其實(shí)生活中橢圓形狀的東西也很多，如我們的操場(chǎng)，我們吃

3、的西瓜、 2 雞蛋等。今天我們就來研究下橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程。 2嘗試探究，形成概念動(dòng)手作圖。 工 具：紙板、細(xì)繩、圖釘 作 法：用圖釘穿過準(zhǔn)備好的細(xì)繩兩端的套內(nèi)，并把圖釘固定在兩個(gè)定點(diǎn)上，然后用筆尖繃緊繩子，使筆尖慢慢移動(dòng)，觀察畫出的是什么樣的一條曲線。 完成表格：圖釘間的距離與繩子長度的關(guān)軌 圖釘間的距離 繩子長度 無軌跡 圖釘間的距離 = 繩子長度 線段 圖釘間的距離 2a 無2c = 2a 2c 2c。 設(shè)計(jì)意圖：(1).通過畫圖給學(xué)生提供一個(gè)動(dòng)手操作、合作學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)； 調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。 (2).多媒體演示向?qū)W生說明橢圓的具體畫法，更直觀形象。 課堂實(shí)錄： 師：下面請(qǐng)同學(xué)們拿出學(xué)案和

4、事前準(zhǔn)備好的紙板、細(xì)繩和圖釘，動(dòng)手來作作圖。用圖釘穿過準(zhǔn)備好的細(xì)繩兩端的套內(nèi)，并把圖釘固定在兩個(gè)定點(diǎn)上，然后用筆 3 尖繃緊繩子，使筆尖慢慢移動(dòng)，觀察畫出的是什么樣的一條曲線，完成學(xué)案上的表格。 生：動(dòng)手作圖，分組討論完成表格。 師：我們一起來看看大家得到的結(jié)果正確與否（展示幾何畫板）： 1當(dāng)圖釘間的距離 繩子長度時(shí)，無軌跡。 2. 當(dāng)圖釘間的距離 = 繩子長度時(shí)，為線段。 3當(dāng)圖釘間的距離 2a時(shí)，無軌跡。 2. 當(dāng)2c = 2a時(shí)，為線段。 3當(dāng)2c 2c。 3標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)是本節(jié)課的難點(diǎn)，在推導(dǎo)時(shí)應(yīng)抓住 “建立坐標(biāo)系”和“簡(jiǎn)化方程”這兩個(gè)環(huán)節(jié)。 建系：教師結(jié)合建立坐標(biāo)系的

5、一般原則 -使點(diǎn)的坐標(biāo)、幾何量的表達(dá)式簡(jiǎn)單化， 并從“對(duì)稱美”、“簡(jiǎn)潔美”的角度出發(fā)作一 定的點(diǎn)撥，最后讓學(xué)生選擇合理的坐標(biāo)系。 設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)M（yx,）是橢圓上任意一點(diǎn)，且橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F1（-c,0）、F2（c,0）。 F1 F2 M x O P y 4 找?guī)缀侮P(guān)系：依據(jù)橢圓的定義，找到幾何關(guān)系MF1+MF2=2a。 列方程：依據(jù)橢圓的定義式MF1+MF2=2a列方程，并將其坐標(biāo)化?aycxycx22222?。 化簡(jiǎn)：通過移項(xiàng)、兩次平方后得到：?22222222caayaxca?，兩邊同除以)(222caa?得到：122222?cayax，為使方程簡(jiǎn)單、對(duì)稱、和諧，引入字母b，

6、令222cab?，|POb?且，可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 12222?byax（ab0）。 此時(shí)，思考cba,三條邊的關(guān)系：OPF1?中的三條邊的長度，222bac?。 給出標(biāo)準(zhǔn)方程：12222?byax（ab0）叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在x軸上。)0,(,0,21cFcF）（焦點(diǎn)坐標(biāo)：? 觀察標(biāo)準(zhǔn)方程的特征：方程右邊是1，左邊是兩個(gè)平方和。 猜想：將橢圓的x、y軸互換，猜想焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。在學(xué)生得出橢圓的兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后，請(qǐng)學(xué)生思考：兩者有什么區(qū)別？ 設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生自己去猜想橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，給學(xué)生較多的思考問題的時(shí)間和空間，變“被動(dòng)”為“主動(dòng)”，變“灌輸”為“發(fā)現(xiàn)”。教師結(jié)合猜想

7、加以引導(dǎo)。 通過分析可得：a在哪個(gè)分母下，焦點(diǎn)就在哪根軸上。 師：現(xiàn)在我們知道了橢圓的定義，那現(xiàn)在我們來研究下橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。首先我們建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系。 4應(yīng)用概念 例1判斷焦點(diǎn)位置，并求出cba,，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)。 （1）191622? yx （2）116922?yx （3）2222?yx 思考：如何確定焦點(diǎn)位置？ 1.化方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 2.比較分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就落在哪條軸上。 例2已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-2，0),(2，0)。 (1).若已知橢圓上任一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為102，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。 (2).若橢圓經(jīng)過點(diǎn)?25,23，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。 5 練習(xí)

8、1：寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 軸上焦點(diǎn)在xba,1,4).1(?軸上焦點(diǎn)在yca15,4).2(?52,10).3(?cba 練習(xí)2：橢圓13610022?yx上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于6，求點(diǎn)P到另一焦點(diǎn)F2的距離。 設(shè)計(jì)意圖：(1).掌握橢圓方程中a,b,c三者之間的關(guān)系。 (2).掌握運(yùn)用橢圓定義法、待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方(3).進(jìn)一步鞏固知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。 5課堂小結(jié) 焦點(diǎn)軸焦點(diǎn)軸 定義式 圖像 方程 焦點(diǎn) 焦距 a,b,c間的關(guān)系 實(shí)際應(yīng)用：橢圓在天文學(xué)、建筑學(xué)上有廣泛的應(yīng)用。在天文學(xué)上可以精確計(jì)算彗星出現(xiàn)的準(zhǔn)確時(shí)間；在建筑學(xué)上可以建造穩(wěn)固的橢圓形隧

9、道拱。同時(shí)橢圓具有美化效果，給人以美的感受。 設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)是對(duì)所學(xué)內(nèi)容作全面的小結(jié)，除了小結(jié)知識(shí)技能、數(shù)學(xué)方法以外，還對(duì)橢圓的實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行概括，使學(xué)生既學(xué)了知識(shí)，又培養(yǎng)了能力，同時(shí)也對(duì)橢圓有一個(gè)更全面深刻的認(rèn)識(shí)，為下節(jié)課的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。 知識(shí)拓展。 橢圓的九種畫法。 6 課后反思及點(diǎn)評(píng)： 這節(jié)課圍繞“認(rèn)識(shí)橢圓畫橢圓定義橢圓推導(dǎo)橢圓方程橢圓方程知識(shí)講解橢圓方程知識(shí)運(yùn)用”這一主線展開。在整個(gè)教學(xué)過程中，采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、探索討論法等教學(xué)方法，注重?cái)?shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的滲透，教學(xué)中學(xué)生通過觀看動(dòng)畫、動(dòng)手實(shí)踐，自己總結(jié)出橢圓定義，應(yīng)該說，還是比較好地達(dá)到了本堂課的預(yù)設(shè)教學(xué)目標(biāo)。下面從以下幾個(gè)方面來總

10、結(jié)一下本堂課的教學(xué)： 1從備課的情況來看。 應(yīng)該說，自己對(duì)本堂課的備課過程是不夠充分的，本節(jié)課是圓錐曲線的第一課時(shí)。它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了直線和圓的方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)用坐標(biāo)法研究曲線。橢圓的學(xué)習(xí)為后面研究雙曲線、拋物線提供了基本模式和理論基礎(chǔ)。因此這節(jié)課有承前啟后的作用。是本章和本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容。所以，備課的過程中對(duì)于如何更好地為圓錐曲線這章內(nèi)容作鋪墊沒有更好地進(jìn)行深思。在前一天的試講過程中，也發(fā)現(xiàn)了一些問題，都是備課不充分的體現(xiàn)。在以后的教學(xué)中，一定不能忽視對(duì)教材的連貫性、教材的熟悉程度、學(xué)生的知識(shí)水平的深入思考，才能為上好一堂課奠定基礎(chǔ)。 2從課堂的實(shí)施來看。 本節(jié)課還是采用了探究體驗(yàn)的方式

11、，學(xué)生在體驗(yàn)中去感知知識(shí)，接受新知。 首先我設(shè)置了一個(gè)地球繞太陽公轉(zhuǎn)的短片，觀察公轉(zhuǎn)軌道，學(xué)生從中可認(rèn)識(shí)橢圓、感受橢圓。生活中的實(shí)例及多彩的多媒體圖片可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參與的積極性。之后學(xué)生探索如何借助手中的細(xì)繩畫橢圓，從實(shí)踐中體會(huì)橢圓上的點(diǎn)所滿足的條件，逐漸把圖形語言轉(zhuǎn)化為文字語言，引導(dǎo)學(xué)生自主探索。進(jìn)而發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩定點(diǎn)近的不能再近時(shí)畫出的是圓，當(dāng)兩定點(diǎn)遠(yuǎn)的不能再遠(yuǎn)時(shí)畫出的是線段。通過這樣的實(shí)踐，學(xué)生對(duì)條件2a2c的理解水到渠成。這樣，不僅完善了橢圓的定義，也有助于培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑，養(yǎng)成勤于動(dòng)腦的良好思維習(xí)慣。有助于幫助學(xué)生自主學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。應(yīng)該說，這個(gè)過程達(dá)到了較好效果，學(xué)

12、生對(duì)于橢圓定義以及需要滿足的條件記憶深刻。 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)是本節(jié)課的難點(diǎn)。建立直角坐標(biāo)系、推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是兩個(gè)重要環(huán)節(jié)。結(jié)合我們學(xué)生的知識(shí)水平，考慮到課堂時(shí)間緊張，在幾個(gè)教師的討論下，決定適當(dāng)?shù)睾?jiǎn)化這個(gè)過程，采用PPT清楚明了地展示橢圓標(biāo)準(zhǔn) 7 方程的推導(dǎo)過程。這個(gè)過程有理有弊，雖然節(jié)約了時(shí)間，卻少了學(xué)生自我探究的過程。給出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程后，突出橢圓方程的特點(diǎn)：方程右邊是1，左邊是兩個(gè)平方和。 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用是本堂課的重點(diǎn)。在這個(gè)過程中，我循序漸進(jìn)地設(shè)置了一些例題，練習(xí)。由于課堂時(shí)間緊張，我覺得這個(gè)過程的深入還不夠，還需要在接下來的課中多加以練習(xí)。 3從作業(yè)反饋來看。 從學(xué)生的作業(yè)情況來看，大部分同學(xué)都較好地掌握了本節(jié)的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于橢圓方程中a,b,c三者之間的關(guān)系的題目能較好應(yīng)用，但對(duì)于與橢圓定義有關(guān)的題目和焦點(diǎn)位置需要討論的題目還有待進(jìn)一步鞏固。 8 附學(xué)案： 2.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 執(zhí)教人：張小妹 一探究動(dòng)手做圖。 工 具：紙板、細(xì)繩、圖釘 作法：用圖釘穿過準(zhǔn)備好的細(xì)繩兩端的套內(nèi)，并把圖釘固定在兩個(gè)定點(diǎn)上，然后用筆尖繃圖釘間的距離與繩子長度的關(guān)系 軌跡 圖釘間的距離 繩子長度 圖釘間的距離 = 繩子長度 圖釘間的距離圖釘間的距離 繩子長度 = 0 緊繩子，使筆尖慢慢移動(dòng)，觀察畫出的是什么樣的一條曲線。 圖釘間的距離