雙曲線練習(xí)題(20141226)課案

1、雙曲線練習(xí)題（20141226）2 21 -已知點(diǎn)F是雙曲線 篤一爲(wèi)=1 （a0, b0）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn), a b過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于 A B兩點(diǎn)， ABE是直角三角形，則該雙曲 線的離心率是（）A、3 B 、2 C 、-. 2 D、3【答案】B【解析】 AB丄x軸，又已知厶ABE是直角三角形，且必有 AE= BE ABE是等腰直角三角形，所以/ AEB= 90,/ AEF= 45，于是 AF= EF不妨設(shè)A點(diǎn)在x軸上方，則A ( c,a=a+ c試卷第28頁(yè)，總16頁(yè)2 2 2即 b = a （ a+ c）,得 c ac 2a = 0即 e e 2= 0，得

2、 e = 2 （e= 1 舍去）考點(diǎn)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的性質(zhì)，直線與雙曲線位置關(guān)系2 22.已知點(diǎn)P,代B在雙曲線 芻-乂-1 上,直線AB過坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線PA、PB的 a b斜率之積為則雙曲線的離心率為（A.U3B.)D.102【答案】【解析】試題分析：因?yàn)橹本€ AB過原點(diǎn)，且在雙曲線上，所以A, B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則可設(shè) A(x,y1),B(- x,- y) P(x2,y2)，所以kpA?kPBy2 - y1 ?y2 + *x2 - %2 2y2 - *2X2 -2X1二 y2-Y1X2,-捲22Y12 - ab21，又由,kPB二，2，由題意得x2 + x12程2 a2b2=1

3、，相減得2 2x2 -捲2a2 2y2 - %b2=0 ,2a2y2-2Y11x； - X； = 3b2 =為3e =彳.故正確答案為 A.3考點(diǎn)：1.直線與雙曲線；2.雙曲線的離心率2 2X y3 已知雙曲線1的右焦點(diǎn)為F,若過點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有124個(gè)交點(diǎn)，則此直線的斜率的取值范圍是()b.( C.-73 4333I33 /D3, 3【答案】A.【解析】y VX，過右焦點(diǎn)F(4,0)分別作兩2 2試題分析：雙曲線-1的漸近線方程是124條漸近線的平行線 11和|2，由下圖圖像可知，符合條件的直線的斜率的范圍是考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的斜率；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)2 2x y

4、4設(shè)F1、F2分別為雙曲線 2 =1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)若在雙曲線右支上a b存在點(diǎn)P，滿足PF2|= ff2 ,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)， 則該雙曲線的離心率為()A 54B 2C 41D5 3【答案】D【解析】試題分析：由已知得，在 PFjF2中，PF2=FF=2c ,由雙曲線定義得，PF 2a 2c ,過點(diǎn)F2作F2M _ PF“ ,垂足為M ,則在Rt PF2M中有2222225(a c)(2a )= (C2 化簡(jiǎn)得 5a 2ac-3c =0 , 3e -2e-5 = 0,得 e 二.3考點(diǎn)：1、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).6，則此雙曲線的漸近線

5、方程2為()A. y = 2x1D. y x2【答案】C【解析】B. y =、2xC.2 25.已知雙曲線務(wù)一與=1(a . 0,b . 0)的離心率為a b試題分析：由已知得,e2篤二？丄=3，故b 2，所以雙曲線的漸近線方程a a 2 a 2考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2y =1(a0，b 0)b226 對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)x m，直線3xy m = 0與雙曲線a最多有一個(gè)交點(diǎn)則，雙曲線的離心率等于A. V2B . 2 C . 3 D . yf0【答案】D【解析】試題分析：由條件可得：雙曲線的漸近線方程為 y=bx，又因?yàn)橹本€3x- y，m=0a2 2與雙曲線 篤一與=1(a0 ,

6、b - 0)最多有一個(gè)交點(diǎn)，所以直線3x-y，m=0與漸近a2 b2線方程y二_bx平行，所以-=3，所以雙曲線的離心率 e = C10a =、10 .aaa a考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì).2 27 .已知F2、Fj是雙曲線y - 2 =1(a0, b0)的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)F2關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)a b恰好落在以Fi為圓心，|OFi|為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為()A. 3B. 73C. 2D. V2【答案】C【解析】試題分析：設(shè) F2關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為P , F2P的中點(diǎn)為M，連接OM,PR，則OM / PF1二PR丄PF2，又 F1F2 = 2c , PFi = c，點(diǎn)F2到漸近線的距離d =-

7、bq = bJa2+b222*222小二(2c) =c +(2b )，即 c =4a , e = 2考點(diǎn)：雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用2 2XV228.已知雙曲線 耳=1(a 0, b0)的兩條漸近線均和圓C: x + V - 6x + 5= 0相a b切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為 ()22x_ y_ = i4 5C.2623【答案】A22、【解析】由x + V 6x + 5= 0知圓心C(3,0)，半徑r = 2.2又篤-a2y2 = 1的漸近線為b2bx ay= 0，且與圓C相切.由直線與圓相切，得=2,(a2 +b22 2即5b = 4a ,因?yàn)殡p曲線右焦點(diǎn)為圓C的圓心，所以

8、c = 3,從而9 = a2+ b2,由聯(lián)立，得a = 5, b = 4,2 2故所求雙曲線方程為 壬=1,選A.5429 .設(shè)F1, F2分別為雙曲線務(wù)a1(a0 , b0)的左，右焦點(diǎn)，若在雙曲線右支上存在一點(diǎn) P,滿足|PF2| = |F1F2|，且點(diǎn) 雙曲線的離心率 e為()43A. _B.CD5 5【答案】D【解析】設(shè)PR的中點(diǎn)為 M連接F2M,F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該5.3由題意知 |F 1F2I = |PF2| = 2c，則 F2ML PF,所以|MF2|即為點(diǎn)F2到直線PF1的距離，故|MF2| = 2a.由雙曲線的定義可知 |PFi| = |PF2| +

9、 2a = 2a + 2c,從而|F iM|= a + c,故可得(2c) = (a + c)與=1 (a 0,b 0)的一條漸近線平行于直線+ (2a) 2,得 e= - = 5 (負(fù)值舍去).a 32 210 設(shè) F2分別為雙曲線X2 一 y2 =1(a 0,b 0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一a b9點(diǎn)P使得| PFi | | PF2 |=3b,| PFi | | PF2 | ab,則該雙曲線的離心率為445A.B.C33【答案】B【解析】D.32 2試題分析：因?yàn)镻是雙曲線冷一爲(wèi)=1 a 0,b 0上一點(diǎn)a b所以 |PFi PF? =2a，又 PFi + PF?. =3b所以，(PF

10、i|+|PF2 f -(|PFi - PF2|f=9b2-4a2，所以 4 PF, PF? = 9b2 - 4a2又因?yàn)閲標(biāo)?討，所以有，弒二亦-右，即9辿la丿詈4=。解得:i人(舍去)所以e2c2a2 b2故選B.考點(diǎn)：i、雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程;2、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2Xii.已知雙曲線-al : y = 2x+ 10 ,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為2 2(A) J5 20(C)疋-覆=125 100【答案】A.【解析】X22y(B)- =1205(D)3x23y2-110025試題分析：K由已知得一=2, b = 2在方程y=2x，10中令y=0 ,得ax2520=1

11、，故選A.5b所2求雙曲線的方程為考點(diǎn)：1雙曲線的幾何性質(zhì)；2雙曲線方程的求法.12 已知FF2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是他們的一個(gè)公共點(diǎn)， 且.f1pf2 ,3則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為()A心3B.3C.3D.2【答案】A【解析】2 2試題分析:設(shè)橢圓方程為X . y2 ,2 a b= 1(a b 0),雙曲線方程為x：y2=1(“0,b0) ( ax )，半焦距為c,由面積公式得 宀旦占汽込，a b3所以 a2 al.3=(.3 1)c2，令-=2cosr， cc所以11 =a a1e e c c= 2cos日 +sin日 40, b0)的左焦點(diǎn)F(-c，0)作圓x2

12、+y2=a2的切線，切點(diǎn)為E， a b延長(zhǎng)FE交拋物線y2=4cx于點(diǎn)P, O為原點(diǎn)，若|FE|=|EP|，則雙曲線離心率為()A.【答案】A【解析】 試題分析：設(shè)曲線的右焦點(diǎn)為F ,則F 的坐標(biāo)為(c,0)，因?yàn)閽佄锞€為y2 = 4cx, 所以L為拋物線的焦點(diǎn) 因?yàn)镺為FF的中點(diǎn)，E為FP的中點(diǎn)，所以O(shè)E為 =PFF的中位線，屬于 OE/FF ,因?yàn)?|OE|=a,所以 | PF 2a ,又 PF _ PF , |FF=2c| , 所以| PF | = 2b| ,設(shè)P(x, y)，則由拋物線的定義可得x二c =2a , / x = 2a - c , 過點(diǎn)F作x軸的垂線，點(diǎn)P到該垂線的距離為2

13、a , 由勾股定理y2 +4a2 =4b2 ,即 4c(2a c) +4a2 =4(c2 a2),因?yàn)?e = ，所以 e2 e 1 = 0 , a因?yàn)閑 1 ,所以e =汩1 .2考點(diǎn)：雙曲線、拋物線及圓的性質(zhì)，雙曲線的離心率2 214已知雙曲線 篤-爲(wèi)=1(a 0,b 0)左、右焦點(diǎn)分別為 Fi -c,0 ,F2 c,0 ，若雙a b曲線右支上存在點(diǎn)p使得，則該雙曲線離心率的取值范圍為si nZPFT? si n/PFzRA.(o,2 -i)B. ( ,2 -1 , 1)C.(1.2 1【答案】【解析】由已知及正弦定理知,asin _ PF1F2csinPF2F1IPF2IIPF1Ixo=

14、_a ,ec ea _ a稱點(diǎn)恰落在以R為圓心,| OF| |為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為(設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為冷區(qū)Ka),則昱3=，所以,a + ex ca ct a ,e e即 4 -1，解得 1 ：e 空1 、2，選 C.e -e考點(diǎn)：雙 曲線的幾何性質(zhì)，正弦定理，雙曲線的第二定義.2 2X V15.已知 斤丁2是雙曲線 2=1(a0,b0)的左右焦點(diǎn)，點(diǎn) F2關(guān)于漸近線的對(duì)a bA. 2 B . 4 C . 、. 2 D . 、. 6 【答案】A【解析】試題分析：如圖所示，一方面：F2關(guān)于漸近線對(duì)稱的點(diǎn) N在圓F1上，依題意有:NF2 - OM且M是線段NF?的中點(diǎn)，于是 NR /MO

15、，即有NF? NR ；另一方面： 焦點(diǎn)F2到漸近線的距離F2M二b，故NF? =2b，再加上NR二c, F1F2 = 2c，于是在 Rt NF1F2中由勾股定理可得(2b)2 c2二(2c)2 ,即4(c2 - a2) = 3c2 ,整理得 4a2 =c2, e2 =4 , e =2，故選 A.y考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)2 21（a0, b0）16 若雙曲線a b的漸近線與圓2 2X2 y J相切，則雙曲線的J2 3A. 2 B2C3D離心率為（）【答案】C【解析】試題分析：漸近線方程為y =： bx 即 _bx -ay =0, a圓的圓心為 2,0，半徑為1。依題意可得即c =2b

16、。因?yàn)閏2 二 a2 b2，所以 a = 3b。所以一2b士。故C正確。3b 3考點(diǎn)：1雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2點(diǎn)到線的距離；3直線和圓的位置關(guān)系。17 已知F為雙曲線C: 二916 的左焦點(diǎn),P, Q為C上的點(diǎn).若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)A(5,0)在線段PQ上,則厶PQF的周長(zhǎng)為()A.11B.22C.33D.44【答案】D【解析】由雙曲線 C的方程，知a= 3, b = 4, c= 5,點(diǎn)A(5,0)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，且 |PQ| = |QA| + |PA| = 4b= 16,由雙曲線定義，|PF| - |PA| = 6, |QF| - |QA| = 6. |PF| + |QF|

17、= 12+ |PA| + |QA| = 28,因此 PQF的周長(zhǎng)為|PF| + |QF| + |PQ| = 28+ 16= 44,選 D.2 218.過雙曲線令-占胡(a 0,b 0)的左焦點(diǎn)F(-c,0) (c 0),作圓x2 y2 a b的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交雙曲線右支于點(diǎn) P，若OP = 2OE -OF，則雙曲線的離心率為（）A1052【答案】C【解析】試題分析：由OP =20EOF可知點(diǎn)E為PF的中點(diǎn).F|為右焦點(diǎn).連結(jié)PR,可得PR =a 且 OE, PR _ PF .又 PF - PR =2a, PF =3a .在三角形 PFFi 亠222 c VlO中.(2c) =a (3

18、a),.故選 C.a 2cosFfF?=64 2a9-4c2 32179 2e ，8 8要求e的最大值,即求cos F1PF2的最考點(diǎn)：1.雙曲線的性質(zhì).2.解三角形3直線與圓的位置關(guān)系55小值，當(dāng)COS./F1PF2二-1時(shí)，解得e .即e的最大值為一.33考點(diǎn)：雙曲線的定義，余弦定理，三角函數(shù)的最值20 .若動(dòng)圓M與圓C： (x + 4) 219已知雙曲線 仔-每=1,(a 0,b0)的左，右焦點(diǎn)分別為F2，點(diǎn)P在雙曲線a b的右支上，且| PF1戶4| PF2 |，則此雙曲線的離心率 e的最大值為 5【答案】-.+ y2= 2外切，且與圓 G : (x 4)2+ y2= 2內(nèi)切，則動(dòng)圓

19、圓心M的軌跡方程.2 2【答案】 1 仝=1（X ,2）214【解析】如圖所示，設(shè)動(dòng)圓 M的半徑為r , 則由已知 |MCi | = r + :. 2 , |MG| = r _ 2 , |MG| |MC2| = 2、2 .又 C( 4,0) , G(4,0), |CQ| = 8. 2、2 2).2142 - -x21 .設(shè)F1, F2為雙曲線二y2= 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，已知點(diǎn)P在此雙曲線上，且 PF1 2 PF2a=0.若此雙曲線的離心率等于顯，則點(diǎn)P到x軸的距離等于2【答案】5【解析】2 x ay2= 1 的離心率等于 ,= 5 , a2 = 4.2a4點(diǎn)P在雙曲線x222y2= 1 上, (|

20、PF 1| |PF2|) 2 = 16, 4即 |PF1|2+ |PF2|2 2|PF1|PF 2| = 16.又 PF1 2 PF2 = 0,二 PF丄 PR,解得 |PFi|PF 2| = 2.設(shè)P點(diǎn)到x軸的距離等于d,1 i則|F 1F2I 2 d = |PFi|PF 2|.解得 d =2 222 .設(shè)雙曲線= 1(a0)的漸近線方程為3x_2y二0,則a的值為【答案】2【解析】試題分析：雙曲線上ja.0)的漸近線為ydx ,9a3因?yàn)閥 x與a3x _2y =0重合，所以a=2考點(diǎn)：雙曲線的漸近線.2 2X y23.已知雙曲線 2 = i(a0, b0)的離心率為a be= 2，過雙曲

21、線上一點(diǎn)M作直線MA MB交雙曲線于 A, B兩點(diǎn)，且斜率分別為值為.【答案】3【解析】設(shè)點(diǎn)Mxo, yo), A(xi, yi),ki,k2,若直線AB過原點(diǎn)0,則ki2 k2的B X1, yi) , k1 =y0 yi k2= y0 +yiX0 - XiX0 Xi，即ki2k2=22y。y 122 ,X 0 X 12Xo2a2 Xi 2 a2 -X。Xi2a2_yoyib2=0,即 y0_Mi 一蛍所2 2 2x 0-x1 aki2k2 =2 a又離心率為e= 2,2所以 ki2 k2=二a2=e2 1= 3.24 .已知雙曲線x2It1的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則

22、PA pf2最小值為【答案】2【解析】25 .已知雙曲線2xC：2a2y2 =1的離心率為 3，點(diǎn)C 3,0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn).b(1)求雙曲線的方程;2 IF1F2I 2|PFi|PF 2| = 16,(2)經(jīng)過的雙曲線右焦點(diǎn) F2作傾斜角為30直線l，直線l與雙曲線交于不同的 A,B兩 點(diǎn)，求AB的長(zhǎng).【答案】(1)【解析】試題分析：(1)設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出2 2a ,b的值；(2)解決直線和橢圓的綜合問題時(shí)注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知； 有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè) 直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，

23、消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程第三步：求解判別 式厶：計(jì)算一元二次方程根第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系第五步：根據(jù)題設(shè)條件求 解問題中結(jié)論.試題解析:(1)雙曲線=1的離心率為 43，點(diǎn)C 3,0)是雙曲線經(jīng)過的雙曲線右焦點(diǎn)F?作傾斜角為30 直線l的方程為y2 3 x-3 ,32y =160,b0)，貝U Fi( c,0) , F2(c,0)，在 PF1F2 中，由余弦定理可得2 2 2IF1F2I = IPF1I + |PF2| 2|PF1|2|PF31222|2cos - = (|PF 1| |PF2|) + |PF1|2|PF 2|， 4c32=4a + |PF1|2|PF 2| . 1

24、又PF/? = 2、3 , - |PF1|2|PF 2|2sin2222222 C|PF1|2|PF 2| = 8, 4c = 4a + 8， c = a + 2， b = c a = 2,又 e = 2， ca小，22小22a, 4a = a + 2,. a =.2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2327 .（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知雙曲線 C1： 2x2 y2= 1.（1）過C1的左頂點(diǎn)引 G的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；設(shè)斜率為1的直線I交C1于P、Q兩點(diǎn).若I與圓x2+ y2= 1相切，求證：0P丄0Q;1J2【答案】（i）s=2|

25、0a|八亍2）見解析?！窘馕觥浚?）先把雙曲線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程可求出a值，從而得到左頂點(diǎn) 血,0 ，漸近線方程：y= J2x,然后可設(shè)出過點(diǎn) A與漸近線y=J2x平行的直線方程為 y= /2 x +，即y=2x+ 1它再與另一條漸近線方程聯(lián)立解方程組可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到所求三角形的高，度顯然等于|0A|，面積得解. 設(shè)直線PQ的方程是y= x+ b,因直線PQ與已知圓相切，故巴=1, 即 b2= 2.2y =x b 22由 22 得 x2 2bx b2 1 = 0 (*)2x -y =1設(shè) P(X1, yi)、Q(x2, y2),然后證 OP 2 OQ = X1X2+ yiy2 = xi

26、x2 + (xi+ b)(X2+ b)=2xix2 + b(xiHl+ X2)+ b2,借助(*)式方程中的韋達(dá)定理代入此式證明OP 2 OQ = 0即可X22( 42、(1)雙曲線Ci：y = 1，左頂點(diǎn)A ,0 ，漸近線方程:1 I 2丿2過點(diǎn)A與漸近線y= J2x平行的直線方程為y=J2：x+ ，即y=J2x+ 1.I 2丿”嚴(yán)42解方程組y_2x，得 X- 4 y 二 1 yi2所以所求三角形的面積為S= |OA|y|(2)設(shè)直線PQ的方程是y= x+ b，因直線8|b|2=1, 即卩 b2= 2.y =x b r2 22x - y 1得 x2 2bx b2 1= 0.為 +x2 =2

27、b設(shè) P(xi, yi)、Q(X2, y2),則彳2“x2 =_1 _b2又 yiy2= (Xi + b)(x2 + b)，所以2OP 2 OQ = X1X2+ yiy2= 2x1x2+ b(xi + X2)+ b=2( 1 b2) + 2b2+ b2 = b2 2= 0.故 OPL OQ.28 .第(1)小題滿分4分，第(2 )小題滿分6分，第(3 )小題滿分6分.2已知點(diǎn)Fi,F2為雙曲線C:x2 -與=1 (b 0)的左、右焦點(diǎn)，過 F2作垂直于X軸的直 b線，在x軸上方交雙曲線于點(diǎn) M，且 MRF2 = 30，圓O的方程為x2b2.(1)求雙曲線C的方程；(2)過圓O上任意一點(diǎn)Q(x0,y0)作切線丨交雙曲線C于A,B兩個(gè)不同點(diǎn)，AB中點(diǎn)為M ,求證：AB =2OM ；(3)過雙曲線C上一點(diǎn)P作兩條漸近線的垂線，垂足分別是R和P，求PR PP2的值2-/z-/JII I It I亠29【解析】本試題主要考查了雙曲線的運(yùn)用。解：(1 )設(shè) F2,M 的坐標(biāo)分別為 C.1 b2,0)( .1 b2, yo)(yo 0)1分2【答案】(1