一元二次方程知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)

1、方知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理1、概念一元二次方程知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)（1） 含有 個(gè)未知數(shù)。（2） 未知數(shù)的最高次數(shù)是（3） 是 方程。（4） 一元二次方程的一般形式是 。（1）法，適用于能化為(x +m )2=n(n0)的一元。一元二次方程（2） 法，即把方程變形為 ab=0 的形式， 2、解法 （a，b 為兩個(gè)因式）, 則 a=0 或二 （3） 法次（4） 法，其中求根公式是程當(dāng)（5） 當(dāng)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。 時(shí)，方程有沒(méi)有的實(shí)數(shù)根?？捎糜诮饽承┣笾殿}（1）一元二次方程的應(yīng)用 （2）（3）可用于解決實(shí)際問(wèn)題的步驟 （4）（5）（6）知識(shí)點(diǎn)歸類考點(diǎn)一 一元二次方程的定義如

2、果一個(gè)方程通過(guò)移項(xiàng)可以使右邊為 0，而左邊只含有一個(gè)未知數(shù)的二次多項(xiàng)式，那么這 樣的方程叫做一元二次方程。注意：一元二次方程必須同時(shí)滿足以下三點(diǎn)：方程是整式方程。它只含有一個(gè)未知數(shù)。 未知數(shù)的最高次數(shù)是 2.同時(shí)還要注意在判斷時(shí)，需將方程化成一般形式。例 下列關(guān)于x的方程，哪些是一元二次方程？x22+5=3；x2-6 x =0；（3）x +x =5；（4）-x2=0；（5）2 x ( x -3) =2 x2+1考點(diǎn)二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式為ax2+bx +c =0（a，b，c 是已知數(shù)，a 0）。其中 a，b，c 分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。2注意：（1）二

3、次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)。 （2）要準(zhǔn)確找出一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須把它先化為一般形式。（3）形如ax2+bx +c =0不一定是一元二次方程，當(dāng)且僅當(dāng) a 0 時(shí)是一元二次方程。例 1 將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。（1）5x2=72x； （2）(x-2)(x+3)=8； （3）(3x-4)(x+3)=(x+2)2例 2 已知關(guān)于 x 的方程 (m-1)xm 2+2-(m+1)x-2=0是一元二次方程時(shí)，則m =考點(diǎn)三 解一元二次方程的方法使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解

4、，如：當(dāng)x= 2時(shí)，x -3 x +2 = 0所以x =2 是 x2-3 x + 2 = 0方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。法一 直接開(kāi)平方法解一元二次方程若x 2 = a (a0 )，則x叫做 a 的平方根，表示為x = a，這種解一元二次方程的方法叫做直接開(kāi)平方法。（ 1 ）x2= a (a0 )的 解 是x = a；（ 2 ）(x+m )2=n (n0 )的 解 是x = n -m；（3）(mx + n )2=c (m0, 且 c 0 )的解是x =c -nm。例 用直接開(kāi)平方法解下列一元二次方程（1）9 x 2 -16 = 0； （2）(x+5 )2-16 = 0 ；

5、（3） (x-5 )2=(3x+1 )2法二 配方法解一元二次方程時(shí)，在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，使得含 未知數(shù)的項(xiàng)在一個(gè)完全平方式里，這種方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接開(kāi) 平方法了，這樣解一元二次方程的方法叫做配方法。注意 ：用配方法解一元二次方程x2+ px + q = 0，當(dāng)對(duì)方程的左邊配方時(shí)，一定記住在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方后，還要再減去這個(gè)數(shù)。 例 用配方法解下列方程：（1）x 2 + 6 x - 5 = 0； （2）x 2 -72x - 2 = 0法三 因式分解法如果兩個(gè)因式的積等于 0，那么這兩個(gè)方程中至少有一個(gè)等于 0，即若

6、pq=0 時(shí)，則 p=0 或 q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程的右邊化為 0；（2）將方程左邊 分解成兩個(gè)一次因式的乘積。（3）令每個(gè)因式分別為 0，得兩個(gè)一元一次方程。（4）解這兩 個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解。-4 ac 的值；（3）若 b2( )關(guān)鍵點(diǎn)：（1）要將方程右邊化為 0；（2）熟練掌握多項(xiàng)式因式分解的方法，常用方法有： 提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。例 用因式分解法解下列方程：（1）5 x2= 4 x； （2）(2 x 2 -3) -25 = 0； （3）x 2 -6 x +9 = (5-2 x)2。法四 公式法一元二次方程

7、ax 2 +bx +c =0(a0)的求根公式是：x =-b b 2 -4 ac2a用求根公式法解一元二次方程的步驟是：（1）把方程化為ax 2 +bx +c =0(a0)的形式，確定的值a, b.c（注意符號(hào)）；（2）求出b2 2-4 ac 0 ，則 a, b.把及b 2 -4 ac的值代人求根公式x =-b b 2 -4 ac2a，求出x , x1 2。例 用公式法解下列方程 （1） 2 x - 3 x -1 = 0； （2）(2 x x +)2 +1 = 0； （3）x 2 + x + 25 = 0技巧 選擇適合的方法解一元二次方程直接開(kāi)平方法用于解左邊的含有未知數(shù)的平方式，右邊是一個(gè)非

8、負(fù)數(shù)或也是一個(gè)含未知 數(shù)的平方式的方程因式分解要求方程右邊必須是 0，左邊能分解因式；公式法是由配方法推導(dǎo)而來(lái)的，要比配方法簡(jiǎn)單。注意：一元二次方程解法的選擇，應(yīng)遵循先特殊，再一般，即先考慮能否用直接開(kāi)平方法或 因式分解法，不能用這兩種特殊方法時(shí)，再選用公式法，沒(méi)有特殊要求，一般不采用配方法， 因?yàn)榕浞椒ń忸}比較麻煩。例 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋海?）(2x - 3 )2=9 (2x + 3 )2；（2）x2- 8 x + 6 = 0；（3） x + 2 ( x -1) = 0考點(diǎn)四 一元二次方程根的判別式一元二次方程ax2+bx +c =0(a0)根的判別式 b2-4 ac運(yùn)用根的判

9、別式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情況：（1） b2-4 ac 0 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2） b2-4 ac=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3） b 2 -4 ac0方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：把所有一元二次方程化為一般形式；確定a, b.c的值；計(jì)算b 2 -4 ac 的值；根據(jù) b 2 -4 ac的符號(hào)判定方程根的情況。bb1 2+x ； （2） (x-x )例 不解方程，判斷下列一元二次方程根的情況：（1）2 x 2 - 3 x - 5 = 0；（2）9 x 2 = 30 x - 25；（3）x 2 + 6 x +10 = 0考點(diǎn)五在方程

10、根的判別式的逆用 ax 2 +bx +c =0(a0)中，（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b 2 -4 ac0（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根2-4 ac=0（3）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根2-4 ac0注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為 0 這一條件。例m為何值時(shí)，方程(2m+1)x2+4 mx +2 m -3 =0的根滿足下列情況：（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)； （2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； （3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根； 考點(diǎn)六 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系若x , x12是一元二次方程ax2+bx +c =0(a0)的兩個(gè)根，則有x +x =- 1 2b b， x x =a a根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求值常用的轉(zhuǎn)化關(guān)系：（1）x12 +x 2 =(x+x )22 1 2-2 x x12（2）1 1 x +x + = 1 2x x x x1 2 1 2（3）( x +a )( x +a ) =x +x +a (x+x 1 2 1 2 12)+a2；（4）x -x12=(x-x12)2=(x+x12)2-4 x x1 2例 已知方程2 x2-5 x -3 = 0的兩根為