復(fù)習(xí)根判別式與韋達(dá)定理

1、一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系復(fù)習(xí)課教學(xué)目標(biāo)（一）提高學(xué)生對(duì)于根的判別式的運(yùn)用能力；（二 ）提高學(xué)生對(duì)于根與系數(shù)關(guān)系的運(yùn)用能力.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：會(huì)用根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系解題 . 難點(diǎn)：根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系的綜合題； 不遺漏、 不重復(fù)地列出所解問題應(yīng)具備的 條件 .特別是容易忽略隱含條件 .教學(xué)設(shè)計(jì)過程（一）復(fù)習(xí)1.已知一元二次方程2 ax2+bx+c=0 （a 0）.（1） 它的根的判別式是什么 ?用什么記號(hào)表示根的判別式 ?（b2-4ac,用表示 ）（2） 敘述一元二次方程根的判別式的性質(zhì) .（一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a 0）當(dāng) 0 時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

2、當(dāng) =0 時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)0，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)， =0 ；沒有實(shí)數(shù)根時(shí)，0，即m- 9 時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)根；8（3）當(dāng)=8m+90，即m - 9時(shí)，方程沒有實(shí)根 .8例2 求證：關(guān)于 x的方程 x2+（m+2）x+2m-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。 分析： (1) 要證方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，就是證明其根的判別式 要大于零 .(2) 對(duì)于一個(gè)含有字母的代數(shù)式，要判斷其正負(fù)，通常下面方 法：通過配方變?yōu)椤?一個(gè)完全平方式 +正數(shù)”；或變?yōu)椤?- ( )2 正數(shù)” .解答過程略例 3 ( 1)已知關(guān)于 x的方程 3x2+6x-2=0 的兩根為 x1 ， x2，求 1 1 的

3、值.x1 x2分析：已知方程，求兩根組成代數(shù)式的值。這里主要說明解題格 式，學(xué)生完成過程 .(2) 已知關(guān)于 x的方程3x2-mx-2=0的兩根為 x1 ，x2，且1 1 3 ，求 m的值；求 x12+x22的值 .x1 x2例 4 P 為何值是，方程x2+3x+3+P(x2+x)=0(1) 有兩個(gè)相等實(shí)根； (2)試作一個(gè)一元二次方程， 使 P 的這些值是這個(gè)方程 的根.分析：從根的判別式性質(zhì)，可求出 P 值，從而寫出所求的一元二次方程 .但 根據(jù)方程根的性質(zhì)，可使解題過程簡(jiǎn)單些 .解：欲使方程 x2+3x+3+p(x2+x)=0 有等根，則方程 (1+p)x2+(3+p)x+3=0 的根

4、的判別式應(yīng)等于零 .即=(3+P)2-12(1+p)=0,整理，得 p2-6p-3=0.由已知 P是所求方程的根，因此二次方程 x2-6x-3=0就是所求方程 .例 5 若 ，是方程 x2+x-1=0 的兩根，求證： (1) 2=+2,2= +2;分析：由根與系數(shù)關(guān)系及方程根的定義，列出有關(guān)等式，由此得出(1)的結(jié)論.證明：由 , 是方程 x2+x-1=0 的兩根，得 2+-1=0, 2+-1=0. 由根與系數(shù)關(guān)系，得 +-1=,-1=.由，得=-1,式平方，得2= 2+2+1.由 2= 2+ + +1=-12+2把, 代入，得 2=0+ +所2,以 2=+2.由=-1,式平方，得2=2+2+

5、1,由 2=2+ + +1=-12+2,把代入，得 2=0+ +所2,以 2= +2;例 6 m 取什么值時(shí)，方程.(1) 有兩個(gè)實(shí)根； (2)有一個(gè)根為零； (3)兩根異號(hào)； (4)有兩個(gè)正數(shù)根 . 解： (1)=(-2m)2-4(2m-1)=4m-8m+4=-4m+4=4(-m+1).令 0即, 4(-m+1)0，所以 m1. 又由 m 可知，必須 m 0 ，把，結(jié)合在一起，當(dāng) 0m1時(shí)，原方程有 兩個(gè)實(shí)根；注意 此問的解答中，容易忽略條件 .(2) 由已知，兩根之積為零，即 2m-1=0,所以 m= 時(shí)，原方程有一個(gè)根為 零；(3) 由已知，兩根之積為負(fù)值，即 2m-1 0,所以 m 1

6、0, x20，所以 x1+x20 及 x1x20, 即但是僅憑條件，還不足以說明兩根都是正數(shù)，還必須有條件 0,即=4(-m+1) 0.由，得不等式組答：當(dāng) m1時(shí)，原方程有兩個(gè)正數(shù)根 .注意：如果忽略了條件，即答 m 時(shí)原方程有兩個(gè)正數(shù)根，這個(gè)答案就 錯(cuò)了.例如取 m=4，原方程為 x2-4x+7=0,但是這個(gè)方程的根的判別式 . =(-4)2-4 7=-80.即-6(3k-1)2-4 72(k2-1)0,得 k3. 要使 x1,x2 都是整數(shù)，必須 k+1 能整除 12，且 k-1 能整除 6.由 k+1 能整除 12，k+1 可為 1,2,3,4,6,12即 k 可為 0,1,2,3,5

7、,11. 由 k-1 能整除 6，k-1 可為 1,2,3,6即 k 可為 2,3,4,7.由，的共同解為 k=2,k=3,但由知 k3所, 以只能取 k=2.答：k=2 時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根 . 注意：不要忽略原題中一些關(guān)鍵詞所含的條件 .像“兩個(gè)”，限定了 k，1像“不相等”，限定了 0，即 k3，像“正整數(shù) ” ，限定了 k+1 可為 1,2,3,4,6,12且 k-1 可為 1,2,3,6.課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明 1.在復(fù)習(xí)舊知識(shí)時(shí)，把根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系的原定理與逆定理都提 出，并著重提 醒學(xué)生記住 .2.例 1不僅用到根的判別式性質(zhì)， 還用到方程根的概念 .例 2 不僅用到